高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航二數(shù)形結(jié)合思想專題突破講義文.docx

二、數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合方法一函數(shù)圖象數(shù)形溝通法模型解法函數(shù)圖象數(shù)形溝通法，即通過函數(shù)圖象來分析和解決函數(shù)問題的方法，對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終，因此這種方法是最常用的溝通方法破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：分析數(shù)理特征，一般解決問題時(shí)不能精確畫出圖象，只能通過圖象的大概性質(zhì)分析問題，因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問題畫出函數(shù)圖象，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象數(shù)形轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化得出結(jié)論，通過觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論典例1設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x0，時(shí)，0f(x)1；當(dāng)x(0，)且x時(shí)，f(x)0.則函數(shù)yf(x)sin x在3，3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A4 B5C6 D8解析當(dāng)x0，時(shí)，0f(x)1，f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x3，3時(shí)，0f(x)1.當(dāng)x(0，)且x時(shí)，f(x)0，當(dāng)x時(shí)，f(x)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x0，時(shí)，0f(x)1，定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出ysin x和yf(x)的草圖如圖，由圖知yf(x)sin x在3，3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故選C.答案C思維升華由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x1)，當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x3，則關(guān)于x的方程f(x)|cos x|在上的所有實(shí)數(shù)解之和為()A7 B6C3 D1答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)與y|cos x|的圖象，由圖知關(guān)于x的方程f(x)|cos x|在上的實(shí)數(shù)解有7個(gè)不妨設(shè)7個(gè)解中x1x2x3x4x5x6x7，則由圖得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在上的所有實(shí)數(shù)解的和為42107，故選A.方法二幾何意義數(shù)形溝通法模型解法幾何意義數(shù)形溝通法即在解決問題的過程中對(duì)題目中的一些代數(shù)式進(jìn)行幾何意義分析，將其轉(zhuǎn)化為與幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)的問題，通過解決幾何問題達(dá)到解決代數(shù)問題的目的此方法適用于難以直接解決的抽象問題，可利用圖形使其直觀化，再通過圖形的性質(zhì)快速解決問題破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：分析特征，一般從圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把要解決的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題得出結(jié)論，將幾何問題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問題中，進(jìn)而得出結(jié)論典例2如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23，則的最大值為()A. B. C. D.解析方程(x2)2y23的幾何意義為坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為M(2,0)，半徑為r(如圖)，而則表示圓M上的點(diǎn)A(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)的連線的斜率所以該問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)A在以M(2,0)為圓心，以為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值由圖可知當(dāng)OAM在第一象限，且直線OA與圓M相切時(shí)，OA的斜率最大，此時(shí)OM2，AM，OAAM，則OA1，tanAOM，故的最大值為，故選D.答案D思維升華解決此類問題需熟悉幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，一般從構(gòu)成幾何圖形的基本因素進(jìn)行分析，主要有(1)比值可考慮直線的斜率(2)二元一次式可考慮直線的截距(3)根式分式可考慮點(diǎn)到直線的距離(4)根式可考慮兩點(diǎn)間的距離跟蹤演練2設(shè)點(diǎn)P(x，y)滿足：則的取值范圍是()A. B.C. D1,1答案B解析作出不等式組所表示的可行域，如圖陰影部分所示(包括邊界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t，f(t)t，根據(jù)t的幾何意義可知，t為可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，連接OA，OB，顯然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即t2.由于函數(shù)f(t)t在上單調(diào)遞增，故f(t)，即的取值范圍是.方法三圓錐曲線數(shù)形溝通法模型解法圓錐曲線數(shù)形溝通法是根據(jù)圓錐曲線中許多對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合思想，快速解決某些相應(yīng)的問題破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：畫出圖形，畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形，以及相應(yīng)的線段、直線等數(shù)形求解，通過數(shù)形結(jié)合，利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解得出結(jié)論，結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，得出所要求解的結(jié)論典例3已知點(diǎn)P在拋物線y24x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B.C(1,2) D(1，2)解析點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖所示，設(shè)焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為S，則|PF|PQ|PS|PQ|，故當(dāng)S，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)P，Q的縱坐標(biāo)都是1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，代入y24x得x0，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選A.答案A思維升華破解圓錐曲線問題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種，一種是通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式，另一種是通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論跟蹤演練3已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使APF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案解析因?yàn)?2)284，所以點(diǎn)A(2,4)在拋物線x28y的內(nèi)部，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作ABl于點(diǎn)B，連接AQ，由拋物線的定義可知，APF的周長(zhǎng)為