離散數(shù)學(xué) 關(guān)系的閉包.ppt

1 4 4關(guān)系的閉包 閉包定義閉包的構(gòu)造方法集合表示矩陣表示圖表示閉包的性質(zhì) 2 一 閉包定義 定義設(shè)R是非空集合A上的關(guān)系 R的自反 對稱或傳遞 閉包是A上的關(guān)系R 使得R 滿足以下條件 1 R 是自反的 對稱的或傳遞的 2 R R 3 對A上任何包含R的自反 對稱或傳遞 關(guān)系R 有R R 一般將R的自反閉包記作r R 對稱閉包記作s R 傳遞閉包記作t R 3 由閉包的定義可知 R的自反 對稱 傳遞 閉包是含有R并且具有自反 對稱 傳遞 性質(zhì)的 最小 的關(guān)系 如果R已是自反的二元關(guān)系 顯然有 R r R 同樣 當(dāng)R是對稱的二元關(guān)系時(shí)R s R 當(dāng)R是傳遞的二元關(guān)系時(shí) R t R 且反之亦然 4 二 關(guān)系的閉包運(yùn)算 1 已知一個集合中的二元關(guān)系R 則r R s R t R 是唯一的 它是包含R的最小的自反 對稱 傳遞 關(guān)系 2 若R是自反 對稱 傳遞 的 則r R s R t R 就是R本身 3 若R不是自反 對稱 傳遞 的 則可以補(bǔ)上最少序偶 使之變?yōu)樽苑?對稱 傳遞關(guān)系 從而得到r R s R t R 5 例 設(shè) a b c R 求r R s R t R 解 r R s R t R 例 設(shè) a b R 則r R s R t R R 6 設(shè)R是A上的二元關(guān)系 x A 將所有 x x R的有序?qū)拥絉上去 使其擴(kuò)充成自反的二元關(guān)系 擴(kuò)充后的自反關(guān)系就是R的自反閉包r R 例如 A a b c d R a a b d c c R的自反閉包r R a a b d c c b b d d 于是可得 定理 R是A上的二元關(guān)系 則R的自反閉包r R R IA 1 構(gòu)造R的自反閉包的方法 三 閉包的構(gòu)造方法 7 2 構(gòu)造R的對稱閉包的方法 每當(dāng) a b R 而 b a R時(shí) 將有序?qū)?b a 加到R上去 使其擴(kuò)充成對稱的二元關(guān)系 擴(kuò)充后的對稱關(guān)系就是R的對稱閉包s R 例如 A a b c d e R a a a b b a b c d e R的對稱閉包s R a a a b b a b c c b d e e d 定理 R是A上二元關(guān)系 是其逆關(guān)系 則R的對稱閉包s R R 由逆關(guān)系的定義可知 8 3 構(gòu)造R的傳遞閉包的方法 設(shè)R是A上的二元關(guān)系 每當(dāng) a b R和 b c R而 a c R時(shí) 將有序?qū)?a c 加到R上使其擴(kuò)充成R1 并稱R1為R的傳遞擴(kuò)張 R1如果是傳遞關(guān)系 則R1是R的傳遞閉包 如果R1不是傳遞關(guān)系 繼續(xù)求R1的的傳遞擴(kuò)張R2 如果R2是傳遞關(guān)系時(shí) 則R2是R的傳遞閉包 如果R2不是傳遞關(guān)系時(shí) 繼續(xù)求R2的的傳遞擴(kuò)張R3 如果A是有限集 R經(jīng)過有限次擴(kuò)張后 定能得到R的傳遞閉包 擴(kuò)張后的傳遞關(guān)系就是R的傳遞閉包t R 定理 設(shè)R為A上的關(guān)系 則有t R R R2 R3 說明 對于有窮集合A A n 上的關(guān)系 上式中的并最多不超過Rn 9 思考 設(shè)A a b c d R 求r R s R t R 解 r R R R0 s R R R 1 t R R R2 R3 R4 R2 R3 R4 R2 于是t R R R2 R3 10 閉包的構(gòu)造方法 續(xù) 設(shè)關(guān)系R r R s R t R 的關(guān)系矩陣分別為M Mr Ms和Mt 則 Mr M EMs M M Mt M M2 M3 E是和M同階的單位矩陣 M 是M的轉(zhuǎn)置矩陣 注意在上述等式中矩陣的元素相加時(shí)使用邏輯加 11 閉包的構(gòu)造方法 續(xù) 設(shè)關(guān)系R r R s R t R 的關(guān)系圖分別記為G Gr Gs Gt 則Gr Gs Gt的頂點(diǎn)集與G的頂點(diǎn)集相等 除了G的邊以外 以下述方法添加新邊 考察G的每個頂點(diǎn) 如果沒有環(huán)就加上一個環(huán) 最終得到Gr 考察G的每條邊 如果有一條xi到xj的單向邊 i j 則在G中加一條xj到xi的反方向邊 最終得到Gs 考察G的每個頂點(diǎn)xi 找從xi出發(fā)的每一條路徑 如果從xi到路徑中任何結(jié)點(diǎn)xj沒有邊 就加上這條邊 當(dāng)檢查完所有的頂點(diǎn)后就得到圖Gt 12 實(shí)例 例1設(shè)A a b c d R R和r R s R t R 的關(guān)系圖如下圖所示 R r R s R t R 南寧空調(diào)回收南寧空調(diào)出租仧莒彾 MicrosoftOfficePowerPoint 是微軟公司的演示文稿軟件 用戶可以在投影儀或者計(jì)算機(jī)上進(jìn)行演示 也可以將演示文稿打印出來 制作成膠片 以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中 利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿 還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開面對面會議 遠(yuǎn)程會議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿 MicrosoftOfficePowerPoint做出來的東西叫演示文稿 其格式后綴名為 ppt pptx 或者也可以保存為 pdf 圖片格式等 14 定理R是A上關(guān)系 則 R是自反的 當(dāng)且僅當(dāng)r R R R是對稱的 當(dāng)且僅當(dāng)s R R R是傳遞的 當(dāng)且僅當(dāng)t R R 證明略 因?yàn)橛砷]包定義即可得 定理R是A上關(guān)系 則 R是自反的 則s R 和t R 也自反 R是對稱的 則r R 和t R 也對稱 R是傳遞的 則r R 也傳遞 證明 因?yàn)镽自反 得r R R 即R IA R r s R s R IA R R 1 IA R IA R 1 r R R 1 R R 1 s R s R 自反 15 類似可以證明t R 也自反 證明 證明t R 對稱 t R 1 R R2 Rn 1 R 1 R2 1 Rn 1 R 1 R 1 2 R 1 n R R2 Rn R對稱 R 1 R t R 所以t R 也對稱 類似可以證明r R 也對稱 證明 證明r R 傳遞 先用歸納法證明下面結(jié)論 R IA i IA R R2 Ri i 1時(shí)R IA IA R結(jié)論成立 假設(shè)i k時(shí)結(jié)論成立 即 R IA k IA R R2 Rk 16 當(dāng)i k 1時(shí) R IA k 1 R IA k R IA IA R R2 Rk IA R IA R R2 Rk R R2 Rk 1 IA R R2 Rk Rk 1所以結(jié)論成立 t r R t R IA R IA R IA 2 R IA 3 IA R IA R R2 IA R R2 R3 IA R R2 R3 IA t R IA R R傳遞t R R r R 所以r R 也傳遞 17 定理設(shè)R1 R2是A上關(guān)系 如果R1 R2 則 r R1 r R2 s R1 s R2 t R1 t R2 證明 r R1 IA R1 IA R2 r R2 類似可證 定理設(shè)R是A上關(guān)系 則 sr R rs R tr R rt R st R ts R 證明 sr R r R r R 1 R IA R IA 1 R IA R 1 IA 1 R IA R 1 IA R R 1 IA s R IA rs R 的證明用前邊證明的結(jié)論 R IA k IA R R2 Rk很容易證明 這里從略 18 因R s R 得t R ts R st R sts