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XXXX教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號(hào) 學(xué)員編號(hào): 年 級(jí):高三 課時(shí)數(shù): 學(xué)員姓名: 輔導(dǎo)科目:數(shù)學(xué) 學(xué)科教師: 學(xué)科組長(zhǎng)簽名及日期學(xué)員家長(zhǎng)簽名及日期課 題排列組合授課時(shí)間: 備課時(shí)間: 教學(xué)目標(biāo)排列組合的綜合運(yùn)用重點(diǎn)、難點(diǎn)分清排列組合,綜合運(yùn)用考點(diǎn)及考試要求排列、組合是每年高考必定考查的內(nèi)容之一,縱觀全國(guó)高考數(shù)學(xué)題,每年都有12道排列組合題,考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)、思維能力 教學(xué)過程:一、知識(shí)要點(diǎn)1 排列與組合的應(yīng)用題,是高考常見題型,其中主要考查有附加條件的應(yīng)用問題 解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主,應(yīng)先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置 (3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法,后一種方式叫間接(剔除)解法 2 在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí),應(yīng)注意 (1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理;(3)分析題目條件,避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏;(4)列出式子計(jì)算和作答 3 解排列與組合應(yīng)用題常用的方法有 直接計(jì)算法與間接(剔除)計(jì)算法;分類法與分步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆綁法等八種 4 經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是 分類討論思想;轉(zhuǎn)化思想;對(duì)稱思想 二、例題選講一相鄰問題捆綁法: 題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組,當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列. 【例1】五人并排站成一排,如果必須相鄰且在的右邊,那么不同的排法種數(shù)有 【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 二相離問題插空法 :元素相離(即不相鄰)問題,可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列,再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.【例1】七人并排站成一行,如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰,那么不同的排法種數(shù)是 【例2】 書架上某層有6本書,新買3本插進(jìn)去,要保持原有6本書的順序,有 種不同的插法(具體數(shù)字作答)【例2】 高三(一)班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序,要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是 【例3】 某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成,其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行,工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行,有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 【例5】某市春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目,導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目,但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè),并且已經(jīng)排好的10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變,則該晚會(huì)的節(jié)目單的編排總數(shù)為 種.【例6】.馬路上有編號(hào)為1,2,3,9九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞,但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞,也不能關(guān)掉兩端的兩盞,求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種?【7】 3個(gè)人坐在一排8個(gè)椅子上,若每個(gè)人左右兩邊都有空位,則坐法的種數(shù)有多少種?【例8】 停車場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車位置,今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起,不同的停車方法有多少種?三元素分析法(位置分析法):某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置,可先排這個(gè)或幾個(gè)元素;再排其它的元素?!纠?】 2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作,若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作,其余三人均能從事這四項(xiàng)工作,則不同的選派方案共有 ( )A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種【例2】 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念,若老師不站兩端則有不同的排法有多少種?【例3】 有七名學(xué)生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種?四多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮,再分段處理。【例1】(1) 6個(gè)不同的元素排成前后兩排,每排3個(gè)元素,那么不同的排法種數(shù)是( )A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種(2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法種數(shù)為(A)(B) (C)(D) (3)8個(gè)不同的元素排成前后兩排,每排4個(gè)元素,其中某2個(gè)元素要排在前排,某1個(gè)元素排在后排,有多少種不同排法?五定序問題縮倍法(等幾率法):在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序,可用縮小倍數(shù)的方法.【例1】.五人并排站成一排,如果必須站在的右邊(可以不相鄰)那么不同的排法種數(shù)是( )【例2】 書架上某層有6本書,新買3本插進(jìn)去,要保持原有6本書的順序,有多少種不同的插法?【例3】將A、B、C、D、E、F這6個(gè)字母排成一排,若A、B、C必須按A在前,B居中,C在后的原則(A、B、C允許不相鄰),有多少種不同的排法? 六標(biāo)號(hào)排位問題(不配對(duì)問題) 把元素排到指定位置上,可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入,第二步再排另一個(gè)元素,如此繼續(xù)下去,依次即可完成.【例1】 將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)方格里,每格填一個(gè)數(shù),則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有( )A、6種 B、9種 C、11種 D、23種【例2】 編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位,其中有且只有兩個(gè)的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法是( ) A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 【例3】:同室4人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式共有( ) (A)6種(B)9種(C)11種(D)23種 【例4】:五個(gè)人排成一列,重新站隊(duì)時(shí),各人都不站在原來的位置上,那么不同的站隊(duì)方式共有( )(A)60種(B)44種(C)36種(D)24種 七不同元素的分配問題(先分堆再分配):注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方式?分成1本、2本、3本三組;分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人1本,一個(gè)人2本,一個(gè)人3本;分成每組都是2本的三個(gè)組;分給甲、乙、丙三人,每個(gè)人2本;分給5人每人至少1本。【解析】 :(1) (2) (3) (4) (5)【例2】將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案有 種(用數(shù)字作答)【例3】 5名志愿者分到3所學(xué)校支教,每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者,則不同的分派方法共有 (A)150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 【例4】 將9個(gè)(含甲、乙)平均分成三組,甲、乙分在同一組,則不同分組方法的種數(shù)為( ) A70B140C280D840 【例5】 將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的個(gè)班實(shí)習(xí),每班至少名,最多名,則不同的分配方案有( )(A)種(B)種 (C)種(D)種【例6】 某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè),則該外商不同的投資方案有( )種 A16種 B36種 C42種 D60種【例7】(1)5本不同的書,全部分給4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少一本,不同的分法種數(shù)為( )A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 (2)12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分配方案有多少種?【例8】 有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù),甲需2人承擔(dān),乙丙各需一人承擔(dān),從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選法種數(shù)是( ) A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種【例9】.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè),其中甲同學(xué)不到銀川,乙不到西寧,共有多少種不同派遣方案?高考資源網(wǎng) 【例10】 四個(gè)不同球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒中,則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種?八排數(shù)問題(注意數(shù)字“0”)【例1】(1)由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( )A、210種 B、300種 C、464種 D、600種(2)從1,2,3,100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種?九染色問題:涂色問題的常用方法有:(1)可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;(2)根據(jù)相對(duì)區(qū)域是否同色分類討論;(3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題?!纠?】 將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色,如果只有5種顏色可供使用,那么不同的染色方法的總數(shù)是_. 規(guī)律小結(jié) 涂色問題的常用方法有:(1)可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;(2)根據(jù)相對(duì)區(qū)域是否同色分類討論;(3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。十“至多”“至少”問題用間接法或分類:十 幾何中的排列組合問題:【例1】 已知直線(是非零常數(shù))與圓有公共點(diǎn),且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù),那么這樣的直線共有 條 學(xué)生鞏固練習(xí) 一、優(yōu)先考慮: 對(duì)有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列,通常是先排特殊元素或特殊位置,再考慮其它的元素或其它的位置。例1(1)由0、1、2、3、4、可以組成 個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。(2) 由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中小于50000的偶數(shù)共有 個(gè)。(3) 5個(gè)人排成一排,其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共有 種。二、“捆”在一起:有要求元素相鄰(即連排)的排列問題,可以先將相鄰的元素看作一個(gè)“整體”與其它元素排列,然后“整體”內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2(1) 有3位老師、4名學(xué)生排成一排照相,其中老師必須在一起的排法共有 種。(2) 有2位老師和6名學(xué)生排成一排,使兩位老師之間有三名學(xué)生,這樣的排法共有 種。三、插空檔:有要求元素不相鄰(即間隔排)的排列問題,可以制造空檔插空。例3(1)五種不同的收音機(jī)和四種不同的電視機(jī)陳列一排,任兩臺(tái)電視機(jī)不靠在一起,有 種陳列方法。(2)6名男生6名女生排成一排,要求男女相間的排法有 種。四、減去特殊情況(即逆向思考):先算暫時(shí)不考慮限制條件的排列或組合種數(shù),然后再?gòu)闹袦p去所有不符合條件的排列或組合數(shù)。例4(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。(2) 由0、1、2、3、4、可以組成 個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。(3)集合有8個(gè)元素,集合有7個(gè)元素,有4個(gè)元素,集合有3個(gè)元素且滿足下列條件:的集合有幾個(gè)。(4)從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4100米的接力賽,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少種參賽方案?五、先組后排:排列、組合綜合題,通常都是先考慮組合后考慮排列。例5(1)用1、2、3、9這九個(gè)數(shù)字,能組成由3個(gè)奇數(shù)數(shù)字、2個(gè)偶數(shù)數(shù)字的不重復(fù)的五位數(shù)有 個(gè)。(2)有8本不同的書,從中取出6本,獎(jiǎng)給5位數(shù)學(xué)優(yōu)勝者,規(guī)定第一名(僅一人)得2本,其它每人一本,則共有 種不同的獎(jiǎng)法。(3)有五項(xiàng)工作,四個(gè)人來完成且每人至少做一項(xiàng),共有 種分配方法。六、除以排列數(shù):對(duì)某些元素有順序限制的排列,可以先不考慮順序限制排列后,再除去規(guī)定順序元素個(gè)數(shù)的全排列。例6(1)有4名學(xué)生和3位老師排成一排照相,規(guī)定兩端不排老師且老師順序固定不變,那么不同的排法有 種。(2)由0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字,十位數(shù)字小于百位數(shù)字,則這樣的數(shù)共有 個(gè)。(3)書架上放有5本書(15冊(cè)),現(xiàn)在要再插入3本書,保持原有的相對(duì)順序不變,有 種放法。七、對(duì)象互調(diào):有些排列或組合題直接就題論題很難入手,但換個(gè)角度去考慮便順利求得結(jié)果又易理解。例7(1)一部電影在四個(gè)單位輪放,每單位放映一場(chǎng),可以有 種放映次序。(2)一排有8個(gè)座位,3人去坐,要求每人左右兩邊都有空位的坐法有 種。(3)有6個(gè)座位3人去坐,要求恰好有兩個(gè)空位相連的不同坐法有 種。八、分情況研究:分情況研究(即分類計(jì)算)復(fù)雜的排列、組合綜合題,常常通過畫簡(jiǎn)圖、按元素的性質(zhì)“分類”;按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”等方法。分情況研究求得結(jié)果,尤其對(duì)含數(shù)字“0”的排列,常分“有0”及“無0”兩種情況研究,在“有0”時(shí),排列的“首位”又是“特殊”位置要優(yōu)先考慮。例8(1)從編號(hào)為了1、2、3 9的九個(gè)球中任取4個(gè)球,使它們的編號(hào)之和為奇數(shù),再把這四個(gè)球排成一排,共有多少種不同的排法?(2)用0、1、2、39這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù),其中含有三個(gè)奇數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?(3)用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)的五位數(shù)中,若按從小到大的順序排列23140是第幾個(gè)數(shù)?排 列 與 組 合 (思考方法18訓(xùn)練)一優(yōu)先考慮1現(xiàn)有6名同學(xué)站成一排:(1)甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法?(2)甲不站排頭,且乙不站排尾有多少種不同的排法?2用,5組成無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),共可以組成多少個(gè)? 二插空3有6名同學(xué)站成一排:甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法?4有4男4女排成一排,要求(1)女的互不相鄰有 種排法;(2)男女相間有 種排法。三捆在一起5由1、2、3、4、5組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),其中2、3必須排在一起,4、5不能排在一起, 則不同的5位數(shù)共有_個(gè)。6有2位老師和6名學(xué)生排成一排,使兩位老師之間有三名學(xué)生,這樣的排法共有 種。四逆向思考7某小組有6名同學(xué),現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽,至少有1名女生入選時(shí)的不同選法有16種,則小組中的女生數(shù)為_。86名同學(xué)站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法?五先組后排9有4名學(xué)生參加3相不同的小組活動(dòng),每組至少一人,有 種參加方式。10從兩個(gè)集合和中各取兩個(gè)元素組成一個(gè)四位數(shù),可組成 個(gè)數(shù)。六除以排列數(shù)11書架上放有6本書,現(xiàn)在要再插入3本書,保持原有的相對(duì)順序不變,有 種放法。129人(個(gè)子長(zhǎng)短不同)排隊(duì)照相,要求中間的最高,兩旁依次從高到矮共有種 排法。 七對(duì)象互調(diào):13某人射擊8槍命中4槍,這4槍中恰有3槍連在一起的不同種數(shù)是 。14三個(gè)人坐在一排7個(gè)座位上,(1)若3個(gè)人中間沒有空位,有 種坐法。(2)若4個(gè)空位中恰有3個(gè)空位連在一起,有 種坐法。八分情況(即分類)15用組成無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù),若按從小到大的順序排列,則數(shù)12340是第_個(gè)數(shù)。16某車間有8名會(huì)車工或鉗工的工人,其中6人會(huì)車工,5人會(huì)鉗工,現(xiàn)從這些工人中選出 2人分別干車工和鉗工,問不同的選法有多少種?九和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題。例9和:(1)用0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?這些三位數(shù)的和是多少?整除:(2)用0、1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中、能被5整除的數(shù)有多少個(gè)?、能被3整除的數(shù)有多少個(gè)?、能被6整除的數(shù)有多少個(gè)?倍數(shù):(3)在1、2、3 100這100個(gè)自然數(shù)中,每次取不等的兩數(shù)相乘,使它們的積是7的倍數(shù),這樣的取法共有多少種?(取7,11與取11,7認(rèn)為是同一種取法)(4)在1、2、3 30這三十個(gè)數(shù)中,每取兩兩不等的三個(gè)數(shù),使它們的和是3的倍數(shù),共有多少種不同的取法?約數(shù):(5)數(shù)2160共有多少個(gè)正約數(shù)(包括1和本身在內(nèi))?其中共有多少個(gè)正的偶約數(shù)?十、分配、分組問題:解題時(shí)要注意“均勻”與“非均勻”的區(qū)別、分配與分組(分堆)的區(qū)別。例10(1)將12本不同的書、分給甲、乙、丙三人,每人各得4本有 種分法。、平均分成三堆,有 種分法。(2)7本不同的書、全部分給6個(gè)人,每人至少一本,共有 種不同的分法。、全部分給5個(gè)人,每人至少一本,共有 種不同的分法。(3)六本不同的書,分給甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,問各有多少種分法?a、甲一本、乙二本、丙三本;有 種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本;有 種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本;有 種分法。d、一人一本、一人一本、一人四本;有 種分法。排 列 與 組 合 (思考方法全訓(xùn)練)一八 :15名男生和2名女生站成一列,男生甲必須站在正中間,2名女生必須站在甲前面,不同的站法共有 種(用數(shù)字作答)。2翰林39. 398人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰,但這3人不同時(shí)相鄰的排法有_種.3現(xiàn)有6張同排連座號(hào)的電影票, 分給3名老師與3名學(xué)生, 要求師生相間而坐, 則不同的分法數(shù)為_. 4在200件產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)在從中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有 種。5現(xiàn)從某校5名學(xué)生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態(tài)”、和“環(huán)保”三個(gè)夏令營(yíng),要求每個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)至少有選出的一人參加,且每人只參加一個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng),則不同的參加方案的種數(shù)是_.(寫出具體數(shù)字)6將A、B、C、D、E、排成一排,其中按A、B、C順序(即A在B前,C 在B 后)的排列總數(shù)為 。 1 2 3 4 57如果從一排10盞燈中關(guān)掉3盞燈,那么關(guān)掉的是互不相鄰的3盞燈的方法有 。8(1)如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰 地區(qū)不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著 色方法共有 種。(以數(shù)字作答)(2)同室人各寫了一張賀年卡先集中起來,然后每人從中取回一張別人送出的賀卡,這張賀年卡不同的分配方式有_種。九和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題17(1) 由2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),求:這些數(shù)的數(shù)字之和;這些數(shù)的和。 (2)由0、2、5、7、9這5個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)?18(1)在1、2、3、4 、50這50個(gè)自然數(shù)中,每次取出2個(gè)(無論先后),使他們的積是13的倍數(shù),這樣的取法有多少種?(2) 420共有多少個(gè)正約數(shù)? 14175共有多少個(gè)正約數(shù)?十分配、分組問題:19六本不同的書,分給甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,問各有多少種分法? 甲一本、乙二本、丙三本;有 種分法。 一人一本、一人二本、一人三本;有 種分法。 甲一本、乙一本、丙四本;有 種分法。 一人一本、一人一本、
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