高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇專題通關(guān)攻略專題六解析幾何1_6_3定點(diǎn)定值存在性問題課件理新人教版

第三講定點(diǎn) 定值 存在性問題 知識(shí)回顧 1 定點(diǎn) 定值 存在性問題的解讀 1 定點(diǎn)問題 在解析幾何中 有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程 不論參數(shù)如何變化 其都過某定點(diǎn) 這類問題稱為定點(diǎn)問題 2 定值問題 在解析幾何中 有些幾何量 如斜率 距離 面積 比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無關(guān) 這類問題統(tǒng)稱為定值問題 3 存在性問題的解題步驟 先假設(shè)存在 引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程 組 或不等式 組 解此方程 組 或不等式 組 若有解則存在 若無解則不存在 得出結(jié)論 2 幾個(gè)重要結(jié)論 1 直線與圓錐曲線相交的問題 牢記 聯(lián)立方程 根與系數(shù)的關(guān)系 定范圍 運(yùn)算推理 2 有關(guān)弦長問題 牢記弦長公式 AB x1 x2 y1 y2 及根與系數(shù)的關(guān)系 設(shè)而不求 有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題 要牢記圓錐曲線定義的運(yùn)用 以簡化運(yùn)算 3 涉及弦中點(diǎn)的問題 牢記 點(diǎn)差法 是聯(lián)系中點(diǎn)坐標(biāo)和弦所在直線的斜率的好方法 4 求參數(shù)范圍的問題 牢記 先找不等式 有時(shí)需要找出兩個(gè)量之間的關(guān)系 然后消去另一個(gè)量 保留要求的量 不等式的來源可以是 0或圓錐曲線的有界性或題目條件中的某個(gè)量的范圍等 易錯(cuò)提醒 1 對概念理解不準(zhǔn)確致誤 直線與雙曲線 拋物線相交于一點(diǎn)時(shí) 不一定相切 反之 直線與雙曲線 拋物線相切時(shí) 只有一個(gè)交點(diǎn) 2 忽略直線斜率不存在的情況致誤 過定點(diǎn)的直線 若需設(shè)直線方程 應(yīng)分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解 3 混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度致誤 在表示三角形面積時(shí) 用頂點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離表示三角形邊長的距離要注意符號(hào) 考題回訪 1 2016 北京高考 已知橢圓C a b 0 的離心率為 A a 0 B 0 b O 0 0 OAB的面積為1 1 求橢圓C的方程 2 設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn) 直線PA與y軸交于點(diǎn)M 直線PB與x軸交于點(diǎn)N 求證 AN BM 為定值 解析 1 離心率e 所以a 2b OAB的面積為ab 1 所以a 2 b 1 所以橢圓C的方程為 y2 1 2 設(shè)P x0 y0 當(dāng)直線BP的斜率存在時(shí) 直線AP方程為y x 2 直線BP方程為y x 1 所以所以所以 AN BM 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上 所以代入上式得 AN BM 當(dāng)BP的斜率不存在時(shí) N 0 0 M 0 1 AN BM 4 因此 AN BM 為定值4 2 2015 全國卷 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C y 與直線y kx a a 0 交于M N兩點(diǎn) 1 當(dāng)k 0時(shí) 分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程 2 y軸上是否存在點(diǎn)P 使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí) 總有 OPM OPN 說明理由 解析 1 由題設(shè)可得M 2 a N 2 a 或M 2 a N 2 a 又y 故y 在x 2處的導(dǎo)數(shù)值為 曲線C在點(diǎn) 2 a 處的切線方程為y a x 2 即x y a 0 y 在x 2處的導(dǎo)數(shù)值為 曲線C在點(diǎn) 2 a 處的切線方程為y a x 2 即x y a 0 2 存在符合題意的點(diǎn)P 證明如下 設(shè)P 0 b 為符合題意的點(diǎn) M x1 y1 N x2 y2 直線PM PN的斜率分別為k1 k2 將y kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 從而當(dāng)b a時(shí) 有k1 k2 0 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ) 故 OPM OPN 所以點(diǎn)P 0 a 符合題意 熱點(diǎn)考向一圓錐曲線中的定點(diǎn)問題命題解讀 主要考查直線 曲線過定點(diǎn)或兩條直線的交點(diǎn)在定曲線上 以解答題為主 典例1 已知p m 0 拋物線E x2 2py上一點(diǎn)M m 2 到拋物線焦點(diǎn)F的距離為 1 求p和m的值 2 如圖所示 過F作拋物線E的兩條弦AC和BD 點(diǎn)A B在第一象限 若kAB 4kCD 0 求證 直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn) 解題導(dǎo)引 1 依據(jù)點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離及拋物線的定義求p 進(jìn)而求出拋物線方程 然后代入M點(diǎn)的坐標(biāo)求得m 2 設(shè)出直線AB AC的方程及點(diǎn)A B C D的坐標(biāo) 根據(jù)kAB 4kCD 0找出四點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系 從而可求出經(jīng)過的定點(diǎn) 規(guī)范解答 1 由點(diǎn)M m 2 到拋物線焦點(diǎn)F的距離為 結(jié)合拋物線的定義得 即p 1 所以拋物線的方程為x2 2y 把點(diǎn)M m 2 的坐標(biāo)代入 可解得m 2 2 顯然直線AB AC的斜率都存在 分別設(shè)AB AC的方程為y k1x b y k2x 聯(lián)立得x2 2k1x 2b 0 聯(lián)立得x2 2k2x 1 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 則x1x2 2b x1x3 1 同理 x2x4 1 故kAB 4kCD 注意到點(diǎn)A B在第一象限 x1 x2 0 所以 0故得x1x2 4 2b 4 所以b 2 即直線恒經(jīng)過點(diǎn) 0 2 一題多解 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 顯然直線AC BD的斜率都存在 設(shè)AC的方程為y kx 聯(lián)立得x2 2kx 1 0 所以x1x3 1 同理 x2x4 1 故kAB 4kCD 注意到點(diǎn)A B在第一象限 x1 x2 0 所以故得x1x2 4 直線AB的方程為化簡得即直線AB恒經(jīng)過點(diǎn) 0 2 規(guī)律方法 動(dòng)線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法 1 動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題 解法 設(shè)動(dòng)直線方程 斜率存在 為y kx t 由題設(shè)條件將t用k表示為t mk 得y k x m 故動(dòng)直線過定點(diǎn) m 0 2 動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題 解法 引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程 再根據(jù)其對參變量恒成立 令其系數(shù)等于零 得出定點(diǎn) 變式訓(xùn)練 2016 合肥二模 已知橢圓E a b 0 經(jīng)過點(diǎn) 2 2 且離心率為 F1 F2是橢圓E的左 右焦點(diǎn) 1 求橢圓E的方程 2 若點(diǎn)A B是橢圓E上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn) A B不是長軸的端點(diǎn) 點(diǎn)P是橢圓E上異于A B的一點(diǎn) 且直線PA PB分別交y軸于點(diǎn)M N 求證 直線MF1與直線NF2的交點(diǎn)G在定圓上 解析 1 由條件得a 4 b c 2 所以橢圓E的方程為 2 設(shè)B x0 y0 P x1 y1 則A x0 y0 直線PA的方程為y y1 x x1 令x 0 得y 故同理可得 所以 所以 F1M F2N 所以直線F1M與直線F2N的交點(diǎn)G在以F1F2為直徑的圓上 加固訓(xùn)練 已知橢圓C a b 0 的離心率e 短軸長為2 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 如圖 橢圓左頂點(diǎn)為A 過原點(diǎn)O的直線 與坐標(biāo)軸不重合 與橢圓C交于P Q兩點(diǎn) 直線PA QA分別與y軸交于M N兩點(diǎn) 試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn) 與直線PQ的斜率無關(guān) 請證明你的結(jié)論 解析 1 由短軸長為2 得b 由e 得a2 4 b2 2 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 2 以MN為直徑的圓過定點(diǎn)F 0 證明如下 設(shè)P x0 y0 則Q x0 y0 且 即因?yàn)锳 2 0 所以直線PA方程為 y x 2 所以M 0 直線QA方程為 y x 2 所以N 0 以MN為直徑的圓為 x 0 x 0 y y 0 即x2 y2 因?yàn)閤02 4 2y02 所以x2 y2 2y 2 0 令y 0 則x2 2 0 解得x 所以以MN為直徑的圓過定點(diǎn)F 0 熱點(diǎn)考向二圓錐曲線中的定值問題命題解讀 以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景 考查轉(zhuǎn)化與化歸思想以解答題為主 和對定值問題的處理能力 常涉及式子 面積的定值問題 典例2 2015 全國卷 已知橢圓C 9x2 y2 m2 m 0 直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸 l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A B 線段AB的中點(diǎn)為M 1 證明 直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值 2 若l過點(diǎn)延長線段OM與C交于點(diǎn)P 四邊形OAPB能否為平行四邊形 若能 求此時(shí)l的斜率 若不能 說明理由 解題導(dǎo)引 1 將直線y kx b k 0 b 0 與橢圓C 9x2 y2 m2 m 0 聯(lián)立 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式證明 2 由四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分求解證明 解析 1 設(shè)直線l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 將y kx b代入9x2 y2 m2得 k2 9 x2 2kbx b2 m2 0 故于是直線OM的斜率即kOM k 9 所以直線OM的斜率與l的斜率的積是定值 2 四邊形OAPB能為平行四邊形 因?yàn)橹本€l過點(diǎn)所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k 0 k 3 由 1 得OM的方程為y 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入l的方程得四邊形OAPB為平行四邊形 當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分 即xP 2xM 于是解得因?yàn)閗i 0 ki 3 i 1 2 所以當(dāng)l的斜率為4 或4 時(shí) 四邊形OAPB為平行四邊形 規(guī)律方法 求解定值問題的兩大途徑 1 首先由特例得出一個(gè)值 此值一般就是定值 然后證明定值 即將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù) 某些變量 無關(guān) 2 先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示 再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子 分母約分得定值 變式訓(xùn)練 2016 中原名校聯(lián)盟二模 已知橢圓C a b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為F1 F2 點(diǎn)B 0 為短軸的一個(gè)端點(diǎn) OF2B 60 1 求橢圓C的方程 2 如圖 過右焦點(diǎn)F2 且斜率為k k 0 的直線l與橢圓C相交于D E兩點(diǎn) A為橢圓的右頂點(diǎn) 直線AE AD分別交直線x 3于點(diǎn)M N 線段MN的中點(diǎn)為P 記直線PF2的斜率為k 試問k k 是否為定值 若為定值 求出該定值 若不為定值 請說明理由 解析 1 由條件可知a 2 b 故所求橢圓方程為 2 設(shè)過點(diǎn)F2 1 0 的直線l方程為 y k x 1 由可得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0因?yàn)辄c(diǎn)F2 1 0 在橢圓內(nèi) 所以直線l和橢圓都相交 即 0恒成立 設(shè)點(diǎn)E x1 y1 D x2 y2 則因?yàn)橹本€AE的方程為 y x 2 直線AD的方程為 y x 2 令x 3 可得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)直線PF2的斜率為k 所以k k 為定值 加固訓(xùn)練 如圖所示 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 設(shè)橢圓E 1 a b 0 其中b a 過橢圓E內(nèi)一點(diǎn)P 1 1 的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A C和B D 且滿足其中 為正常數(shù) 當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí) 對應(yīng)的 1 求橢圓E的離心率 2 求a與b的值 3 當(dāng) 變化時(shí) kAB是否為定值 若是 請求出此定值 若不是 請說明理由 解題導(dǎo)引 1 由b a求離心率 2 由時(shí) C為橢圓的右頂點(diǎn) 求點(diǎn)A坐標(biāo) 代入橢圓方程 求a b 3 設(shè)出點(diǎn)A B C D的坐標(biāo) 利用點(diǎn)差法求kAB與kCD 再根據(jù)kAB kCD求解 解析 1 因?yàn)閎 a 所以b2 a2 得a2 c2 a2 所以e2 e 2 因?yàn)镃 a 0 所以由得將它代入到橢圓方程中 得解得a 2 負(fù)值舍去 所以a 2 b 3 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 由得同理將A B坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減得3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 即3 x1 x2 4 y1 y2 kAB 0 同理 3 x3 x4 4 y3 y4 kCD 0 而kAB kCD 所以3 x3 x4 4 y3 y4 kAB 0 所以3 x3 x4 4 y3 y4 kAB 0 所以3 x1 x3 x2 x4 4 y1 y3 y2 y4 kAB 0 即6 1 8 1 kAB 0 所以kAB 為定值 熱點(diǎn)考向三圓錐曲線中的存在性問題命題解讀 以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景 考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力 命題角度一點(diǎn) 線的存在性問題 典例3 2016 臨汾二模 已知橢圓C a b 0 的離心率為 以原點(diǎn)O為圓心 橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x y 6 0相切 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 已知點(diǎn)A B為動(dòng)直線y k x 2 k 0 與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn) 問 在x軸上是否存在定點(diǎn)E 使得為定值 若存在 試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值 若不存在 請說明理由 題目拆解 解答本題第 2 問 可拆解成兩個(gè)小題 假設(shè)存在定點(diǎn)E m 0 把用k m表示 尋找滿足定值需要的條件 規(guī)范解答 1 由e 得即c a 又以原點(diǎn)O為圓心 橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2 y2 a2且與直線2x y 6 0相切 所以a 代入 得c 2 所以b2 a2 c2 2 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 由得 1 3k2 x2 12k2x 12k2 6 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 所以根據(jù)題意 假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E m 0 使得為定值 則 x1 m y1 x2 m y2 x1 m x2 m y1y2 k2 1 x1x2 2k2 m x1 x2 4k2 m2 要使上式為定值 即與k無關(guān) 3m2 12m 10 3 m2 6 得m 此時(shí) 所以在x軸上存在定點(diǎn)E使得為定值 值為 命題角度二字母參數(shù)值的存在性問題 典例4 2016 長沙二模 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知F1 F2分別是橢圓E a b 0 的左 右焦點(diǎn) A B分別是橢圓E的左 右頂點(diǎn) D 1 0 為線段OF2的中點(diǎn) 且 1 求橢圓E的方程 2 若M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn) 異于點(diǎn)A B 連接MF1并延長交橢圓E于點(diǎn)N 連接MD ND并分別延長交橢圓E于點(diǎn)P Q 連接PQ 設(shè)直線MN PQ的斜率存在且分別為k1 k2 試問是否存在常數(shù) 使得k1 k2 0恒成立 若存在 求出 的值 若不存在 說明理由 解題導(dǎo)引 1 根據(jù)條件D 1 0 為線段OF2的中點(diǎn) 且以及a2 b2 c2 即可求解 2 將直線MD的方程與橢圓方程聯(lián)立 利用根與系數(shù)的關(guān)系即可建立k1 k2所滿足的一個(gè)關(guān)系式 從而可探究 的存在性 規(guī)范解答 1 因?yàn)?所以因?yàn)閍 c 5 a c 化簡得2a 3c 點(diǎn)D 1 0 為線段OF2的中點(diǎn) 所以c 2 從而a 3 b 左焦點(diǎn)F1 2 0 故橢圓E的方程為 2 存在滿足條件的常數(shù) 設(shè)M x1 y1 N x2 y2 P x3 y3 Q x4 y4 則直線MD的方程為x 代入橢圓方程整理得 所以y1