高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)3指數(shù)函數(shù)二課件北師大版必修1

3指數(shù)函數(shù) 二 第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 掌握指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合所得的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的判斷 2 能借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小 3 會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程 不等式 4 了解與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)奇偶性的判斷方法 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考 知識(shí)點(diǎn)一不同底指數(shù)函數(shù)圖像的相對(duì)位置 y 2x與y 3x都是增函數(shù) 都過點(diǎn) 0 1 在同一坐標(biāo)系內(nèi)如何確定它們兩個(gè)的相對(duì)位置 答案 答案經(jīng)描點(diǎn)觀察 在y軸右側(cè) 2x 3x 即y 3x圖像在y 2x上方 經(jīng) 0 1 點(diǎn)交叉 位置在y軸左側(cè)反轉(zhuǎn) y 2x在y 3x圖像上方 一般地 在同一坐標(biāo)系中有多個(gè)指數(shù)函數(shù)圖像時(shí) 圖像的相對(duì)位置與底數(shù)大小有如下關(guān)系 梳理 1 在y軸右側(cè) 圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小 在y軸左側(cè) 圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小 即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè) 底數(shù)按逆時(shí)針方向變大 這一性質(zhì)可通過令x 1時(shí) y a去理解 如圖 2 指數(shù)函數(shù)y ax與y a 0且a 1 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 思考 知識(shí)點(diǎn)二比較冪的大小 若x1 x2 則a與a a 0且a 1 的大小關(guān)系如何 答案 答案當(dāng)a 1時(shí) y ax在R上為增函數(shù) 所以a a 當(dāng)0 a 1時(shí) y ax在R上為減函數(shù) 所以a a x1 x2 x1 x2 x1 x2 梳理 一般地 比較冪大小的方法有 1 對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小 利用指數(shù)函數(shù)的來判斷 2 對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小 利用指數(shù)函數(shù)的的變化規(guī)律來判斷 3 對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小 則通過來判斷 單調(diào)性 圖像 中間值 思考 知識(shí)點(diǎn)三解指數(shù)方程 不等式 若 則x1 x2的大小關(guān)系如何 答案當(dāng)f x 在區(qū)間 m n 上單調(diào)遞增 減 時(shí) 若x1 x2 m n 則f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 所以 當(dāng)0 a 1時(shí) x1 x2 當(dāng)a 1時(shí) x1 x2 此原理可用于解指數(shù)方程 不等式 答案 梳理 簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法 1 形如af x ag x 的不等式 可借助y ax的求解 2 形如af x b的不等式 可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式 再借助y ax的求解 3 形如ax bx的不等式 可借助兩函數(shù)y ax y bx的圖像求解 單調(diào)性 單調(diào)性 知識(shí)點(diǎn)四與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性 思考 答案 一般地 有形如y af x a 0 且a 1 函數(shù)的性質(zhì) 1 函數(shù)y af x 與函數(shù)y f x 有的定義域 2 當(dāng)a 1時(shí) 函數(shù)y af x 與y f x 具有的單調(diào)性 當(dāng)0 a 1時(shí) 函數(shù)y af x 與函數(shù)y f x 的單調(diào)性 相同 梳理 相同 相反 題型探究 例1解下列關(guān)于x的方程 解答 類型一解指數(shù)方程 32x 4 3 2 x 2 2x 4 2 x 2 x 2 解答 2 22x 2 3 2x 1 0 解 22x 2 3 2x 1 0 4 2x 2 3 2x 1 0 令t 2x t 0 則方程可化為4t2 3t 1 0 1 af x b型通常化為同底來解 2 解指數(shù)方程時(shí)常用換元法 用換元法時(shí)要特別注意 元 的范圍 轉(zhuǎn)化為解二次方程 用二次方程求解時(shí) 要注意二次方程根的取舍 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1解下列方程 1 33x 2 81 解答 解 81 34 33x 2 34 3x 2 4 解得x 2 3 52x 6 5x 5 0 解答 解令t 5x 則t 0 原方程可化為t2 6t 5 0 解得t 5或t 1 即5x 5或5x 1 x 1或x 0 命題角度1比較大小例2比較下列各題中兩個(gè)值的大小 1 1 7 2 5 1 7 3 類型二指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 解答 解 1 7 1 y 1 7x在 上是增函數(shù) 2 5 3 1 7 2 5 1 7 3 2 1 70 3 1 50 3 解答 解方法一 1 7 1 5 在 0 上 y 1 7x的圖像位于y 1 5x的圖像的上方 而0 3 0 1 70 3 1 50 3 1 70 3 1 50 3 3 1 70 3 0 83 1 解答 解 1 70 3 1 70 1 0 83 1 0 80 1 1 70 3 0 83 1 當(dāng)兩個(gè)數(shù)不能利用同一函數(shù)的單調(diào)性作比較時(shí) 可考慮引入中間量 常用的中間量有0和 1 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2比較下列各題中的兩個(gè)值的大小 1 0 8 0 1 1 250 2 解答 解 0 0 8 1 y 0 8x在R上是減函數(shù) 0 2 0 1 0 8 0 2 0 8 0 1 即0 8 0 1 1 250 2 解答 命題角度2解指數(shù)不等式例3解關(guān)于x的不等式 a2x 1 ax 5 a 0 且a 1 解答 解 1 當(dāng)01時(shí) a2x 1 ax 5 2x 1 x 5 解得x 6 綜上所述 當(dāng)01時(shí) 不等式的解集為 x x 6 解指數(shù)不等式的基本方法是先化為同底指數(shù)式 再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化為常規(guī)的不等式來解 注意底數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3已知 a2 a 2 x a2 a 2 1 x 則x的取值范圍是 答案 解析 命題角度3與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的單調(diào)性問題例4 1 求函數(shù)y 的單調(diào)區(qū)間 解答 在 3 上 y x2 6x 17是減少的 在 3 上 y x2 6x 17是增加的 解答 同理可得減區(qū)間是 2 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題歸根結(jié)底是由x1 x2到f x1 與f x2 的大小 再到g f x1 與g f x2 的大小關(guān)系問題 注意在此過程中不等號(hào)的變化 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練4求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1 y 解答 解設(shè)y au u x2 2x 3 由u x2 2x 3 x 1 2 4 得u在 1 上為減函數(shù) 在 1 上為增函數(shù) 當(dāng)a 1時(shí) y關(guān)于u為增函數(shù) 當(dāng)01時(shí) 原函數(shù)的增區(qū)間為 1 減區(qū)間為 1 當(dāng)0 a 1時(shí) 原函數(shù)的增區(qū)間為 1 減區(qū)間為 1 解答 解已知函數(shù)的定義域?yàn)?x x 0 而根據(jù)y 的圖像可知在區(qū)間 1 和 1 上 y是關(guān)于u的減函數(shù) 原函數(shù)的增區(qū)間為 1 和 1 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 若a 0 5 b 0 5 c 0 5 則a b c的大小關(guān)系是A a b cB a b cC a c bD b c a 答案 2 3 4 5 1 解析 2 方程42x 1 16的解是 答案 2 3 4 5 1 解析 3 函數(shù)f x 的遞增區(qū)間為A 0 B 0 C 1 D 1 答案 2 3 4 5 1 解析 f x 的遞增區(qū)間為u x x2 1的遞減區(qū)間 即 0 4 設(shè)0 a 1 則關(guān)于x的不等式的解集為 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 0 a 1 y ax在R上是減函數(shù) 1 又 2x2 3x 2 2x2 2x 3 解得x 1 5 若指數(shù)函數(shù)y ax在 1 1 上的最大值與最小值的差是1 則底數(shù)a 解析若0 a 1 則a 1 a 1 即a2 a 1 0 若a 1 則a a 1 1 即a2 a 1 0 答案 解析 2 3 4 5 1 規(guī)律與方法 1 比較兩個(gè)指數(shù)式值的大小的主要方法 1 比較形如am與an的大小 可運(yùn)用指數(shù)函數(shù)y ax的單調(diào)性 2 比較形如am與bn的大小 一般找一個(gè) 中間值c 若amc且c bn 則am bn 2 解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式問題的注意點(diǎn) 1 形如ax ay的不等式 可借助y ax的單調(diào)性求解 如果a的值不確定 需分01兩種情況進(jìn)行討論 2 形如ax b的不等式 注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形