數(shù)學(xué)建模 梁寶平 徐杰.doc

運(yùn)動(dòng)員參賽問(wèn)題電子 1034 梁寶平 569244電子 1034 徐 杰 569180摘要 我們學(xué)校每年11月初，舉行大一新生運(yùn)動(dòng)會(huì)，我們?yōu)榱吮荣惖木饰覀冊(cè)谌哼M(jìn)行選拔，但我們學(xué)院有六個(gè)分院（系），為了公平的選舉我們顯然不可以按傳統(tǒng)的比例分配的方法）我們把學(xué)校的全體運(yùn)動(dòng)員的選拔利用Q值法來(lái)選拔 ，我們?cè)诮５倪^(guò)程中對(duì)全院的一年級(jí)人數(shù)做了統(tǒng)計(jì)，我們調(diào)查了學(xué)校的部分和體育有關(guān)的項(xiàng)目，我們建立了該模型。我們?cè)谶x運(yùn)動(dòng)員的時(shí)候我們采用抽樣調(diào)查方法，我們?yōu)榱搜芯康姆奖慵僭O(shè)每個(gè)班50人，我們采用特殊到一般的方法，不是對(duì)所有的院（系）都進(jìn)行研究。我們得到通項(xiàng)和后，同理求解即可。我們的模型通俗易懂，以下是我們建模的過(guò)程.一 問(wèn)題的分析1我們定義了一個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量選拔的公平記做P，每增加一次標(biāo)記加一記做PN（其中N屬于全體整數(shù)）；2我們用我們的指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)一套合理的方案；3如果學(xué)院（系）數(shù)或班級(jí)數(shù)有變化，我們的方案應(yīng)要做出調(diào)整；4結(jié)合實(shí)際我們比賽的成績(jī)以學(xué)院為單位的，因此我們只要比較兩個(gè)學(xué)院的總的班級(jí)數(shù)即可.二 問(wèn)題的假設(shè)1.為了研究的方便我們給每個(gè)院編號(hào)并且標(biāo)出班級(jí)數(shù)：A（機(jī)械工程學(xué)院46） B(電氣電子工程學(xué)院48) C（計(jì)算機(jī)工程學(xué)院21）D（經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院23） E（人文學(xué)院4） F（設(shè)計(jì)藝術(shù)系11）2.因?yàn)槊總€(gè)班級(jí)的人數(shù)相同因此我們只要比較每個(gè)分院的班級(jí)數(shù)即可；3.運(yùn)動(dòng)員是以整數(shù)計(jì)量的,并且為有限個(gè),設(shè)為N個(gè)；4.每個(gè)系別有有限個(gè)人,運(yùn)動(dòng)員是按各集體的人員多少來(lái)分配的；5.每個(gè)系別的每個(gè)人被選舉都是等可能的；6.在名額分配的過(guò)程中,分配是穩(wěn)定的,不受任何其他因素所干擾.三 符號(hào)說(shuō)明某系別的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)（a,b,c,d,e,f,表示每個(gè)分院的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)）P：表示某系別的學(xué)生人數(shù)（AA,BB,CC,DD,EE,FF,GG分別表示A B C D E F G F各分院的人數(shù)）；q：表示全院學(xué)生人數(shù)總數(shù)；N：表示總的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)；Q：表示某系的值；n:每院的運(yùn)動(dòng)員總數(shù)。四 模型建立和求解 通常人們都是按照人數(shù)比例來(lái)進(jìn)行分配的.當(dāng)比例中有小數(shù)時(shí),人們又按照慣例將多余的席位分給比例中小數(shù)最大者.我們能得出以出下結(jié)論： -(1)目標(biāo):建立公平的席位分配方案.4.1 引出絕對(duì)不公平值并給出相對(duì)不公平值設(shè)A,B兩院人數(shù)分別為；分別占有 和運(yùn)動(dòng)員總數(shù),則兩方每個(gè)席位所代表的人數(shù)分別為 和 .為了研究的方便，我們對(duì)A,B兩院的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行選拔，得到通項(xiàng)，在同理對(duì)C，D，E，F(xiàn)分別進(jìn)行討論：我們稱(chēng) 為.例 則； 又 則由上例可知,用絕對(duì)不公平程度作為衡量不公平的標(biāo)準(zhǔn),并不合理,下面我們給出相對(duì)不公平值. 若 則稱(chēng) 為對(duì)A的相對(duì)不公平值, 記為 ；若 則稱(chēng) -(2) 為對(duì)B的相對(duì)不公平值 ,記為 .4.2給出相對(duì)公平的席位分配方案如果兩院分別占有和位運(yùn)動(dòng)員,利用相對(duì)不公平值和討論,當(dāng)運(yùn)動(dòng)員數(shù)增加1個(gè)時(shí),應(yīng)該分配給A院還是B院.不妨設(shè),即對(duì)A院不公平,當(dāng)再分配一個(gè)運(yùn)動(dòng)員時(shí),有以下三種情況：I .當(dāng)時(shí),這說(shuō)明即使給A增加1個(gè)運(yùn)動(dòng)員,仍然對(duì)A不公平,所以這一個(gè)運(yùn)動(dòng)員顯然應(yīng)給A院.II.當(dāng)時(shí),這說(shuō)明給A增加1個(gè)運(yùn)動(dòng)員,變?yōu)閷?duì)B院不公平,此時(shí)院B有的相對(duì)不公平值為: -（3）III.當(dāng)時(shí),這說(shuō)明給B增加1位運(yùn)動(dòng)員,將對(duì)A不公平,此時(shí)對(duì)A的相對(duì)不公平值為: -（4）因?yàn)楣竭x拔運(yùn)動(dòng)員的原則是使相對(duì)不公平值盡可能小,所以如果 -（5）則這1位運(yùn)動(dòng)員給A院,反之這1位運(yùn)動(dòng)員給B院.由(3)(4)可知,(5)等價(jià)于 -（6）不難證明上述的第I種情況也與(6)式等價(jià),于是我們的結(jié)論是當(dāng)(6)式成立時(shí),增加的1位運(yùn)動(dòng)員于應(yīng)給A院,反之給B院.若記:則增加的1位運(yùn)動(dòng)員給Q值大的一方.五 思考 上述方法可以推廣到有個(gè)分院選拔運(yùn)動(dòng)員的情況.設(shè)第院人數(shù)為,已選有個(gè)運(yùn)動(dòng)員.當(dāng)運(yùn)動(dòng)員增加1位運(yùn)動(dòng)員時(shí),計(jì)算:則增加的1位運(yùn)動(dòng)員應(yīng)分配給Q值大的一方.這種席位分配的方法稱(chēng)為Q值法. 六 模型的分析和評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：1. 在Pi/i不相等的情況下，盡可能將不公平降低到最低限度，即最大限度的保持公平;2. 相對(duì)傳統(tǒng)方法我們的誤差更小，公平性更強(qiáng)；3. 我們采用特殊到一般的方法減少了運(yùn)算量便于求解.模型的缺點(diǎn)：1. Q值法不能解決“分配資格”問(wèn)題，且在總名額比較少或參加人數(shù)相差比較大的時(shí)候也可能存在較大“不公平”；2. 在實(shí)現(xiàn)中每班人數(shù)不一定有50人，存在一定的誤差；3. 當(dāng)i1時(shí)，Qi才有意義，這種方法要求參與分配的各方至少已有一個(gè)名額.模型的推廣： 選班委，各種選舉，分物資等七