黎曼猜想簡介.docx

黎曼猜想簡介數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的女皇，數(shù)論是數(shù)學(xué)的女皇。 -K.F.Gauss比哥德巴赫猜想更“輝煌”的猜想 20 世紀(jì) 70 年代后期，徐遲先生的哥德巴赫猜想風(fēng)靡神州大地，陳景潤這個名字和“皇冠上的明珠”這一詞匯令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里閃光，陳景潤研究員本來已離那皇冠上的明珠僅一步之遙了，可是那明珠卻又因陳景潤的離去而變得似乎遙不可及。但就在1995年，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯(A. Wiles, 1953-)卻出人意外地解決了358 年懸而未決的費馬猜想(即費馬大定理)，摘取了這顆歷史更加悠久、似乎更加奇異的夜明珠，讓人好不驚異，它使純粹數(shù)學(xué)再次引人注目。 當(dāng)我們仰望數(shù)學(xué)群山，發(fā)現(xiàn)在群山之巔，好像都鑲嵌著寶珠或明珠，等待能攀登上峰頂?shù)挠率空。绲掳秃詹孪?、費馬猜想等就像位于鄰近山峰不同峰頂上的明珠。而當(dāng)我們仰望那最高峰，隱約看見有一顆更加明亮而碩大的寶珠，在純粹數(shù)學(xué)巔峰閃光，那就是具有近 160 年歷史的黎曼猜想。讓我們從 1858 年講起吧。 1858 年的一天，習(xí)慣于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德國格廷根的街道上，忽然，他腦海里奇思迸發(fā)，急忙趕回家中，寫下了一篇劃時代的論文，題目叫做“論不大于一個給定值的素數(shù)的個數(shù)”。論文于1859 年發(fā)表，這是黎曼生前發(fā)表的惟一一篇數(shù)論論文，然而卻成了解析數(shù)論的開山作。就是在這篇大作中，黎曼先生提出了劃時代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于 1826 年 9 月 17 日出生在德國漢諾威的布列斯倫茨。他的父親是位牧師，母親是個法官的女兒，黎曼在 6 個兄弟姐妹中排行老二。 黎曼 6 歲左右開始學(xué)習(xí)算術(shù)，很快他的數(shù)學(xué)才能就顯露出來。10 歲時，他的算術(shù)和幾何能力就超過了教他的職業(yè)教師。14 歲時，黎曼進(jìn)入文科中學(xué)，文科中學(xué)校長施馬爾夫斯(C. Schmalfuss)發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)才能，便將自己的私人數(shù)學(xué)藏書借給這位生性沉靜的孩子，一次，黎曼居然借走了著名數(shù)學(xué)家勒讓德寫的859 頁的大 4 開本數(shù)論 ，并用 6 天時間讀完了它，大約這就是他對數(shù)論感興趣的開始。 1846 年春，19 歲的黎曼注冊進(jìn)入格廷根大學(xué)攻讀神學(xué)，后轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)和哲學(xué)。1847 年春，黎曼轉(zhuǎn)學(xué)到柏林大學(xué)，在那里就讀了兩年，師從著名數(shù)學(xué)家雅可比(C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P.G.L. Dirichilet)等。在大師的指導(dǎo)下，黎曼進(jìn)步很快，神不知鬼不覺地進(jìn)入世界數(shù)學(xué)前沿。 黎曼先生的論著不多，但卻非常深刻。 1851 年 11月，他提交了一篇題為“復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)”的論文作為博士學(xué)位論文，論證了現(xiàn)在通稱的“柯西-黎曼條件”，奠定了復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)，一舉通過博士論文答辯，獲得博士學(xué)位。 1854 年6月10 日，由“數(shù)學(xué)王子”高斯(K.F.Gauss,1777-1855)任主考官，黎曼發(fā)表了題為“論幾何學(xué)的基本假設(shè)”的就職演講，提出用流形的概念理解空間的實質(zhì)，創(chuàng)立了黎曼幾何，一舉通過答辯成為格廷根大學(xué)講師；后于 1857 年升任副教授，1859年接替狄里赫利任教授。就憑上述3篇論著，黎曼奠定了他在數(shù)學(xué)史上不可替代的偉大地位。黎曼幾何后來成為愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學(xué)形式而廣為傳播，以至有人開玩笑說，上帝簡直就是專門為愛因斯坦廣義相對論準(zhǔn)備了黎曼幾何。而且，至今沒有幾個人能像黎曼那樣在博士論文中就提出了如此突出的創(chuàng)新思想。黎曼的其他數(shù)學(xué)創(chuàng)造均被數(shù)學(xué)界確認(rèn)無疑，惟有黎曼猜想，卻難倒了一代又一代杰出數(shù)學(xué)家。理解黎曼猜想 相對而言，黎曼猜想比數(shù)論中的其他猜想要復(fù)雜些，因為其他數(shù)論猜想很多是關(guān)于整數(shù)、素數(shù)等數(shù)字本身的，而黎曼猜想則涉及復(fù)變函數(shù)，要說清楚必須用數(shù)學(xué)符號表述。 要理解黎曼猜想，首先得從黎曼函數(shù)(讀作 Zeta 函數(shù))說起。 早在 1749 年，著名數(shù)學(xué)家歐拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了實變量形式的函數(shù)，他證明當(dāng) s1 時，下面的恒等式(現(xiàn)在稱為歐拉恒等式)成立：其中叫和號，這里表示從n=1 開始，累加至；叫積號，這里表示對所有 p求連乘積。p 表示素數(shù)。而黎曼 1859 年的創(chuàng)新是將變量 s 看作復(fù)變量，并引進(jìn)記號：這就是黎曼函數(shù)，其中s=+it為復(fù)變量，實部記作Res=。使(s)=0的點叫做(s)的零點。負(fù)偶數(shù)-2，-4，-6，都是(s)的零點，叫做平凡零點，平凡零點都是實零點；此外發(fā)現(xiàn)的所有零點都具有 1/2+it 形式，叫做非平凡零點，非平凡零點都是復(fù)零點。簡單地說，黎曼猜想就是想像(s)=0 時 Res=1/2，即所有非平凡零點都位于=1/2 這條直線上。這條直線叫做臨界線。 嚴(yán)格地說，黎曼猜想由黎曼在 1859 年的那篇著名論文中提出的 6 個猜想構(gòu)成:(1) (s)在帶狀區(qū)域 01中有無窮多個零點(亦即(s) =0 在帶狀區(qū)域01中有無窮多個解)。這種零點叫做非平凡零點。(2) 以N(T)表示(s)在矩形區(qū)域0 1，0 tT中的零點個數(shù)，則有 N(T)(T/2)log(T/2 )-T/2 (3)以表示(s)的非平凡零點， 表示對所有非平凡零點求和，則級數(shù) 收斂，而級數(shù) 發(fā)散。(4)A=-log2和 B為常數(shù)時， 。 (5)(s)的全部非平凡零點的實部都是 1/2。(6)對于函數(shù) 稱為黎曼素數(shù)函數(shù) 其中 為曼哥特函數(shù)。以上 6 個猜想除(5)外均已被證實，現(xiàn)在就留下猜想(5)未被證明，這就是通常所說的黎曼猜想。純粹數(shù)學(xué)航標(biāo)解決黎曼猜想的意義何在？一句話，黎曼猜想就像是純粹數(shù)學(xué)航標(biāo)，可以指引純粹數(shù)學(xué)的航向。 從現(xiàn)有數(shù)學(xué)研究和推論看黎曼猜想是合理的，因此希望最終能證明它?；蛘咴O(shè)法找出(s)的哪怕只是一個不在1/2線上的非平凡零點，就可以否認(rèn)黎曼猜想。與費馬猜想有些類似的歐拉(L. Euler, 1707-1783)猜想就是因為發(fā)現(xiàn)反例而被否證的一個例子。歐拉是舉世公認(rèn)的少數(shù)幾個大數(shù)學(xué)家之一，對數(shù)學(xué)做出過極大貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)中以他的名字命名的公式、方程、定理等比比皆是。有人曾問數(shù)學(xué)大師克萊因：“你認(rèn)為數(shù)學(xué)中最偉大的公式是什么？” 克萊因毫不含糊地回答：“歐拉公式?！睘槭裁茨兀繐?jù)說克萊因的解釋是：歐拉公式它把數(shù)學(xué)中 5 個最重要的數(shù)聯(lián)系在一起：0，1，i和e。由此，簡單之中蘊(yùn)涵的深刻可見一斑，歐拉的功績也昭然在目。而歐拉猜想則是說：當(dāng) n4時，方程無解。自歐拉猜想提出 200 多年來，既未能證明它又未能否證它。雖然不少數(shù)學(xué)家認(rèn)為歐拉猜想應(yīng)能成立，但 1988 年，哈佛大學(xué)的埃爾基(N. Elkies)教授卻發(fā)現(xiàn)了一個反例，隨后埃爾基還證明 4 次方情形有無窮多個解。這說明未經(jīng)證明的猜想是多么不可靠，無論提出它的人多么著名和偉大，猜想必須證明。黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通過它可以將純粹數(shù)學(xué)中的許多問題聯(lián)系在一起。下面分三個方面說明： 首先，黎曼函數(shù)與狄里赫利(P. G. L. Dirichlet, 1805-1859)L函數(shù)一道構(gòu)成解析數(shù)論的核心。設(shè) q1，是模 q 的特征，則復(fù)變函數(shù) 上式稱為對應(yīng)于特征的狄里赫利 L 函數(shù)。顯然，狄里赫利 L 函數(shù)是黎曼函數(shù)的推廣，相應(yīng)于狄里赫利L函數(shù)有廣義黎曼猜想：L函數(shù)的所有非平凡零點都在臨界直線= 1/2上。 解析數(shù)論在很大程度上是圍繞黎曼函數(shù)和狄里赫利 L 函數(shù)的零點性質(zhì)展開的，許多數(shù)論函數(shù)的母函數(shù)最終也都與黎曼函數(shù)和狄里赫利 L 函數(shù)有關(guān)。解析數(shù)論的一個最基本、最重要的內(nèi)容，就是研究黎曼函數(shù)和狄里赫利 L 函數(shù)及其零點性質(zhì)。 代數(shù)數(shù)論在很大程度上則是圍繞戴德金(J. W. R. Dedelkind, 1831-1916) 函數(shù) 展開的： 其中 A 過代數(shù)數(shù)域 K 的整數(shù)環(huán)的所有非零理想。 的解析性質(zhì)包含了數(shù)域 K的許多算術(shù)和代數(shù)信息。 也是黎曼函數(shù)的一個推廣。實際上，數(shù)論研究的中心問題可以歸納如下： 對于各種數(shù)論研究對象 X，可以考慮構(gòu)造一個復(fù)變函數(shù)或L，使得或L的解析特性(包括零點和極點特性、函數(shù)方程等)能反映 X的算術(shù)和代數(shù)特性。 因此，黎曼函數(shù)和狄里赫利 L函數(shù)處于數(shù)論的中心地位。其次，以黎曼猜想為基礎(chǔ)，可以證明許多有趣的推論，尤其是有些推論后來被無條件地證明了，這樣，就加強(qiáng)了人們認(rèn)為黎曼猜想成立的信心。例如，如果黎曼猜想成立，則函數(shù)在除=1/2以外的地方就肯定沒有零點，這樣，在=1上顯然也沒有零點。于是，法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)馬(Hadamard)和比利時數(shù)學(xué)家德萬普(de la Vallee Poussin)據(jù)此在 1896 年分別獨立證明了素數(shù)定理： 當(dāng)x時 后來，素數(shù)定理被許多數(shù)論專家用其他方法進(jìn)一步證明或改進(jìn)，現(xiàn)已確認(rèn)無疑。 第三，通過研究黎曼猜想的等價命題、強(qiáng)命題、弱命題、關(guān)系命題等，可以將純粹數(shù)學(xué)的一些核心問題緊密地聯(lián)系在一起，使之構(gòu)成一個美妙的系統(tǒng)。 黎曼猜想的等價命題如劉維爾(Liouville)函數(shù)猜想：對任何0，有 其中(n)是劉維爾函數(shù) 黎曼猜想的強(qiáng)命題如梅頓(Mertens)猜想(1897年由奧地利數(shù)學(xué)家梅頓提出)： 對于 x1, 其中 而(n)是梅比烏斯(Mobius)函數(shù)。由梅頓猜想可以立即推出黎曼猜想。但 1983 年奧丁科(Odlyzko)和里爾(Riele)借助計算機(jī)證明了梅頓猜想是錯誤的，推翻了這個猜想。因此，比黎曼猜想強(qiáng)的猜想似乎很難成立。 黎曼猜想的弱命題如韋伊猜想：對于虧格為g的曲線 C，有 由韋伊猜想可以推出 的所有零點在Re s=1/2上。1934 年哈斯(H.Hasse)證明它對于橢圓曲線成立；1948 年韋伊證明對于一般代數(shù)曲線成立；1973年德列(P. Deligne)證明對于一般代數(shù)簇成立；使曲線的黎曼猜想得到證明。這樣，比黎曼猜想弱的命題似乎不難成立。 既然比黎曼猜想強(qiáng)的猜想很難成立，比黎曼猜想弱的猜想不難成立，那么問題的關(guān)鍵就是黎曼猜想本身了。與之相關(guān)的還有貝赫-斯維訥通-戴爾(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想，是說對于有理數(shù)域 Q 上的橢圓曲線 E，L(E,s)在 s=1 上有一零點，其零點階 r 等于 E 的蒙德爾-韋伊(Mordell-Weil)群的秩。該猜想已被克萊數(shù)學(xué)會與黎曼猜想一道列入七個千禧年數(shù)學(xué)難題之一。 因此，黎曼猜想成為純粹數(shù)學(xué)的核心問題之一。解決了黎曼猜想，純粹數(shù)學(xué)的許多問題就將迎刃而解。素數(shù)分布的一些猜想素數(shù)在正整數(shù)中的分布時疏時密很不規(guī)則，致使很多看起來很通俗易懂的問題長期得不到滿意的解答。1912年德國數(shù)學(xué)家蘭道收集了當(dāng)時未解決的四個古老的猜想： 1) 有無窮多個自然數(shù)n,使得 是素數(shù); 2) 哥德巴赫猜想：任何一個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素樹之和； 3) 孿生素數(shù)猜想：存在無窮多對素數(shù)，它們的差為2； 4) 杰波夫猜想：對于一切自然數(shù)n，在 和 之間至少存在一個素數(shù)。 以上介紹了關(guān)于素數(shù)分布的猜想的一部分，雖然通俗易懂，要想證明或推翻，即使是前進(jìn)一步，都是極為困難的，但是正如希爾伯特所說的，黎曼猜想的證明將會對這些問題的解決起到至關(guān)重要的作用。如哥德巴赫猜想是 1742 年提出的，詳細(xì)的來說包括兩點：(1)每個不小于 6 的偶數(shù)是 2個奇素數(shù)之和；(2)每個不小于 9 的奇數(shù)是 3 個奇素數(shù)之和。其中(2)已被證明，(1)的最好結(jié)果是 1973 年陳景潤證出的“充分大偶數(shù)是一個素數(shù)與一個素因子不超過2 的數(shù)之和”(簡稱“1+2”)，是用篩法證得的。有人認(rèn)為，篩法已經(jīng)被陳景潤發(fā)揮到了極限，今后要推進(jìn)哥德巴赫猜想研究大約只能采用其他創(chuàng)新方法了。而且，值得指出的是：迄今為止，哥德巴赫猜想研究的最好結(jié)果是在廣義黎曼猜想成立的前提下證得的，而哥德巴赫猜想本身已經(jīng)成為數(shù)論中一個相對孤立的猜想。華林問題與哥德巴赫猜想相結(jié)合，形成華林-哥德巴赫問題：充分大的正整數(shù)是否可以表示成為有限個素數(shù)的 k 次方和？這是一個華林問題和哥德巴赫猜想的孿生難題，現(xiàn)在只證明了任一充分大的奇數(shù)可以表示成為 9 個素數(shù)的立方和。素數(shù)論中著名的猜想和難題不少，值得一提的還有： 高斯猜想：將實整數(shù)的素因子惟一分解定理推廣到復(fù)整數(shù)是數(shù)學(xué)王子高斯的一大數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，但是，對某些實代數(shù)數(shù)域中的代數(shù)整數(shù)，素因子惟一分解定理卻不一定成立。引進(jìn)類數(shù)h后，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)h=1時，素因子惟一分解定理才成立。然而，計算類數(shù)卻是非常困難的數(shù)學(xué)問題，高斯猜想是說，類數(shù)h=1 的實二次數(shù)域(屬于實代數(shù)數(shù)域)有無窮多。這是一個有近 200 年歷史的代數(shù)數(shù)論難題。另外，素數(shù)論中還有三個古老的問題： 完全數(shù)問題。等于自己因數(shù)之和的正整數(shù)叫完全數(shù)，例如 6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，等等。現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)均為偶數(shù)。完全數(shù)問題是：奇完全數(shù)是否存在？完全數(shù)究竟有多少？這是一個從古希臘延續(xù)至今懸而未決的最古老數(shù)論難題，已有 2500多年歷史。 親和數(shù)問題。真因子之和互為對方的一對正整數(shù)叫親和數(shù)，例如 220和 284，220 的真因子和為 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而 284 的真因子和為 1+2+4+71+142=220。親和數(shù)問題是：是否存在由一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成的親和數(shù)？親和數(shù)究竟有多少？這也是一個古希臘時代流傳下來的難題。 合同數(shù)問題。三邊均為有理數(shù)的三角形叫有理三角形，可以作為有理三角形面積數(shù)的正整數(shù)叫合同數(shù)。例如 6就是邊長分別為 3，4，5的三角形的面積數(shù)，因而是個合同數(shù)。合同數(shù)問題是：究竟哪些正整數(shù)是合同數(shù)？這是一個具有1000多年歷史的問題，目前只確切知道 4000以下的正整數(shù)中的合同數(shù)。 著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基曾曾經(jīng)說：我們數(shù)論知識的積累，不僅依靠已經(jīng)證明了的理論，而且也依靠那些未知的猜想。 也就是說，人們在研究這些猜想的過程中豐富了自己的知識，從而促進(jìn)了數(shù)論和數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展。黎曼猜想的進(jìn)展時至今日，人們?yōu)樽C明黎曼猜想做了很多驚人的工作： 1968年美國威斯康