數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美.doc

數(shù)學(xué)文化教案第一章 數(shù)學(xué)美學(xué) 授課教師：楊渭清第五節(jié) 數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美一、教學(xué)目標(biāo)：1、認(rèn)識(shí)反證法、RMI方法、抽象方法中的數(shù)學(xué)思想；2、理解數(shù)學(xué)方法的價(jià)值及重要作用；3、了解數(shù)學(xué)方法對(duì)于數(shù)學(xué)觀念的影響。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 正確理解直觀性原則與抽象方法的關(guān)系。三、教學(xué)過程：前面在許多地方已談到了數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)歸納法也是數(shù)學(xué)方法之一。這種通過有限的步驟去認(rèn)識(shí)無限的方法確實(shí)是意味深長(zhǎng)的。觀點(diǎn)與方法被認(rèn)為是兩個(gè)不同的方面，但是它們又常常是緊密聯(lián)系的，相互影響的，特別不可忽視的是，方法影響觀點(diǎn)。方法論具有越來越普遍的意義，它對(duì)人們理解事物的觀念有深刻的影響，甚至成為觀念的組成部分。數(shù)學(xué)方法對(duì)于數(shù)學(xué)觀念的影響，數(shù)學(xué)觀念與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系，也是我們關(guān)注的題目。我們從比較具體的方法說起。1、反證法在日常用語(yǔ)中，對(duì)于一件我們很想做的事，常用“不能不”去強(qiáng)調(diào)，或者起修辭的作用，例如說，“如此高尚的行為，我們不能不感動(dòng)”?！叭毡居乙韯?shì)力至今還不對(duì)二戰(zhàn)的戰(zhàn)爭(zhēng)罪行真誠(chéng)謝罪，我們對(duì)它不能不保持高度警惕”。數(shù)學(xué)中也常有運(yùn)用、“不能不”的時(shí)候，但是當(dāng)它運(yùn)用的時(shí)候，必須說出一個(gè)道理來，數(shù)學(xué)中的“反證法”就是在表達(dá)這個(gè)意思。用“反證法”證明某命題成立時(shí)，就是在論證說：這個(gè)命題不可能不成立。具體地說，一個(gè)命題，最簡(jiǎn)單的形式必包含有已知條件部分，有結(jié)論的部分。反證法的第一步就是假定結(jié)論不成立，然后通過一定的推導(dǎo)得出矛盾，從而說明：結(jié)論不成立是不可能的。什么叫做得出矛盾來了呢?或者推導(dǎo)出與已知條件相沖突的命題，或者是推導(dǎo)出與已有公理相沖突的命題，或者是推導(dǎo)出與已有定理相沖突、或與臨時(shí)的假定(論證之中的)相沖突的命題，或有自相矛盾的東西出現(xiàn)了。例如，我們要證明是無理數(shù)，如果從正面去說明它是無理數(shù)，那么就要通過對(duì)2開方，計(jì)算出它確是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。實(shí)際上這是不可能做到的，你可以開方計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后萬(wàn)位，百萬(wàn)位、億萬(wàn)位，但永遠(yuǎn)算不到無限?？墒?，從“反面”來證明，情況就不同了，不僅能證明，而且很簡(jiǎn)單。古希臘人就會(huì)按照下面的步驟來證明。假設(shè)不是無理數(shù)，即是有理數(shù)(或可比數(shù))，那么它必可可表示為既約的分?jǐn)?shù)(既約總是可以事先做到的，因而可假定既約)：兩邊平方，得： 可見，必為一偶數(shù)，記為，為正整數(shù)。于是又得這樣也成了偶數(shù)。至此我們得到一個(gè)矛盾：與都是偶數(shù)，而是既約的。當(dāng)要證明化成小數(shù)而且必定是無限循環(huán)小數(shù)時(shí)就不必用反證法。你去除一除，只有有限步就可看出結(jié)果來了，而且最多七步就得出結(jié)論了。對(duì)反證法的使用不是沒有不同看法的。因?yàn)榉醋C法要以排中律為前提，例如你在假定不是無理數(shù)后立即說它是有理數(shù)，這就把所有的數(shù)劃分為兩類了，不是無理數(shù)就是有理數(shù)，或者不是有理數(shù)就是無理數(shù)，排中了，沒有其他“中間”形態(tài)了。又如，我們也曾用到過“不是有限即無限”、“不是無限即有限”的命題，也用了排中的前提。可是，排中律是否普遍成立呢?這確實(shí)是值得注意的，尤其是在日常生活中運(yùn)用時(shí)要特別注意。我們?cè)倥e一例?，F(xiàn)有10本書，共3類，文學(xué)類(A類)，史學(xué)類(B類)，數(shù)學(xué)類(C類)，證明至少有一類書有4本或4本以上。這個(gè)問題很容易通過反證法證明。假設(shè)A類、B類、C類的書都不超過3本，那么，所有的書加起來就不超過9本。這與共有10本書相矛盾。所以，至少有一類書超過3本，即4本或4本以上。這個(gè)問題又相當(dāng)于：有10件物品，裝在3個(gè)抽屜里，那么有一個(gè)抽屜至少有4件物品。這是一個(gè)具體的抽屜原理問題，看似很簡(jiǎn)單，卻很有用。在任意的6個(gè)人中，一定可以找到3個(gè)相互認(rèn)識(shí)的人，或3個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人。你能證明這命題嗎?實(shí)際上，利用抽屜原理就不難證明?，F(xiàn)在，我們把6個(gè)人看做6件物品，然后將他們標(biāo)記為A、B、C、D、E、F。以F為基準(zhǔn)，將A、B、C、D、E這五件“物品”，分為兩類亦即“裝于兩個(gè)抽屜”，一類是“與F相識(shí)”的，另一類是“與F不相識(shí)”的。這時(shí)，相當(dāng)于把5件“物品”“A、B、C、D、E”放進(jìn)兩個(gè)抽屜，一個(gè)是“與F相識(shí)”的抽屜，另一個(gè)是“與F不相識(shí)”的抽屜。那么，兩“抽屜”中必有其一至少有這“3件物品”?，F(xiàn)在可以看到，無論是哪個(gè)“抽屜”中有“3件物品”，都將得到我們所需要的答案。如果“與F相識(shí)”的抽屜里有3個(gè)人，不妨說是A、B、C。這時(shí)，假若A、B、C 3人彼此不相識(shí)，那么已說明答案是成立的；假若A、B、C中至少有2人，例如A、B 2人相識(shí)，再加之以A與B都同F(xiàn)相識(shí)，因此，A、B、F 3人便是彼此相識(shí)的3位，這也說明了答案成立。如果“與F不相識(shí)”的抽屜里有3個(gè)人，仍不妨說是A、B、C、D、E中的A、B、C 3位。這時(shí)，若A、B、C 3人彼此相識(shí)，那么已說明答案成立；假若A、B、C中至少有兩人，例如A、B 2人不相認(rèn)，而他們又都與F不相識(shí)，這樣，A、B、F 3人就是彼此互不相識(shí)的3人。于是命題所說的答案也成立。我們由反證法很容易證明簡(jiǎn)單的抽屜原理，利用抽屜原理又可說明一些有趣的現(xiàn)象。在文學(xué)藝術(shù)領(lǐng)域里使用大概、可能之類的術(shù)語(yǔ)是無妨的，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，卻要求精確、準(zhǔn)確。也有一種討論大概或可能性大小的數(shù)學(xué)，但此時(shí)也要求把可能性大小準(zhǔn)確地算出來。數(shù)學(xué)方法給人的美感，其性質(zhì)有所不同，人們感覺到的是精美、優(yōu)美。2、RMI方法對(duì)形式邏輯，看你如何去欣賞，比如說三段式這種東西，你可能覺得它平淡無味?！胺踩硕加星楦?，張三也是一個(gè)人，張三也有情感”。這似乎沒有多大意思。但是，它在思想中、論說中體現(xiàn)出說服力，如果再加之以語(yǔ)言表達(dá)上的技巧，它也給人以特殊的美感。辯證邏輯則給人這種感覺，也叫邏輯美，是科學(xué)美的一種。RMI方法是體現(xiàn)了辯證思想的方法。從一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子開始。211，這很容易計(jì)算，一般學(xué)生能記得210 = 1 024，于是馬上可知211 =2 048。實(shí)在不記得210 = 1 024也無妨。24 = 16是很簡(jiǎn)單的，28 =162 = 256，再乘以4，也得到210 = 1 024。于是，211也很好算。相反，的計(jì)算就困難得多了。對(duì)2開3次方就不容易，對(duì)2開11次方就更不容易。但是，計(jì)算的對(duì)數(shù)很容易，很多人記得2的常用對(duì)數(shù)值是0.301 0，于是 接著，我們有對(duì)數(shù)表可查，查出0.027 3的反對(duì)數(shù)：1.065。而這就是的近似值，于是得： 以上，我們實(shí)際上經(jīng)歷了一個(gè)這樣的過程：本來是求2的11次方根，但我們先求；然后再求出即。簡(jiǎn)言之： 這是從還是回到了，但后一個(gè)與前一個(gè)不同，前者是由一個(gè)運(yùn)算所涵蓋著的，后者以一個(gè)具體數(shù)字顯現(xiàn)，即的值。以上的過程是走了一個(gè)曲折的路，化難為易。正是有了這種曲折才導(dǎo)致了進(jìn)步。這種曲折不是一般人走的彎路，而是一種創(chuàng)造，一種發(fā)明。這里，關(guān)鍵的工具是對(duì)數(shù)。對(duì)數(shù)出現(xiàn)后，不到一個(gè)世紀(jì)，就傳遍了世界上許多國(guó)家。它的出現(xiàn)與天文學(xué)有關(guān)，因此，尤其是天文學(xué)家們以十分欣喜的心情歡迎它。伽利略甚至以藝術(shù)般的語(yǔ)言說：“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我即可創(chuàng)造一個(gè)宇宙?！碑?dāng)今的人們，有更有效的方法和更高效率的工具來計(jì)算對(duì)數(shù)。然而，16世紀(jì)末至17世紀(jì)初，那時(shí)候就造出了常用對(duì)數(shù)表，其計(jì)算之困難與繁重實(shí)在令今人難以想象(是牛津大學(xué)一位教授與對(duì)數(shù)創(chuàng)始人納皮爾共同制作了當(dāng)初的常用對(duì)數(shù)表)。歷史上，科學(xué)家們?yōu)槿祟愇拿魉鞯钠D苦卓絕的努力有千千萬(wàn)萬(wàn)，對(duì)數(shù)的創(chuàng)立及其數(shù)表的制作僅為一例。再看一個(gè)例子。求和：.一般來說，等比級(jí)數(shù)的和容易求，有公式可套。這里給出的不是等比級(jí)數(shù)。而且我們還知道是無窮大。但大約可看出，當(dāng)加減交錯(cuò)時(shí)，不會(huì)是無窮大了。這個(gè)級(jí)數(shù)的和很難求，我們先繞繞彎子。首先，我們把它變成一個(gè)變動(dòng)的式子（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）：如果能知道它的和，然后令此和中的x = 1，那大約就可達(dá)到目的了。問題在于：這個(gè)變數(shù)級(jí)數(shù)的和容易求嗎？如果能求出，我們就通過一條“之”字路取得了成功。下面我們就來考慮這個(gè)變數(shù)級(jí)數(shù)和的計(jì)算。只要點(diǎn)點(diǎn)微積分知識(shí)就知道 這樣，如果一旦對(duì)前面那個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)微分，我們很快就會(huì)得到一個(gè)比較容易求和的級(jí)數(shù)了，它就是一個(gè)等比級(jí)數(shù) 此時(shí)的公比是()，于是得到我們很容易地求出了，卻不是；然而，再由來求出變成了求原函數(shù)(積分)的問題。但是，這個(gè)求原函數(shù)的問題也簡(jiǎn)單，由基本積分表即知 似應(yīng)考慮積分常數(shù)，但由于當(dāng)x = 0時(shí)y = 0，故可知積分常數(shù)是0，所以上述結(jié)果無誤。當(dāng)然，上述運(yùn)算過程中還有一些理論問題，這里就不細(xì)說了。若命x = 1，就得到： 關(guān)鍵在于對(duì)我們走過的路程的理解。與前一例相同的是，我們也是經(jīng)歷了一個(gè)“否定之否定”的程序，所不同的是，這里所使用的工具不是對(duì)數(shù)，而是微積分。對(duì)這個(gè)過程也可以標(biāo)示如下： 再比較一下就可明白，以上都是利用了兩個(gè)互逆的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)我們的目標(biāo)的。一個(gè)是對(duì)數(shù)與反對(duì)數(shù)，一個(gè)是微分與積分，一正一反解決了問題。其實(shí)，數(shù)學(xué)中互逆的運(yùn)算還很多。就拿加法與減法這樣簡(jiǎn)單的互逆運(yùn)算，我們也可加以利用。例如，這樣的式子，17世紀(jì)早期有的數(shù)學(xué)家還認(rèn)為在實(shí)數(shù)領(lǐng)域是不能分解的?，F(xiàn)在，一位普通的中學(xué)生也能分解它，用的方法就是一加一減，加進(jìn)一個(gè)，再減去一個(gè)；這一類方法是很多很多的。運(yùn)算可以被視為一種變換或映射，映射之后再反映過來。當(dāng)然，這對(duì)映射的性質(zhì)有一定要求。在滿足一定要求之后，就可利用來解決一些問題。這也是一種具有普遍性的方法。在一般人心目中，以為數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?yán)肅的、嚴(yán)格的，這也不錯(cuò)，但若以為數(shù)學(xué)是嚴(yán)酷的、冷酷的，那就不符合它的性格了。數(shù)學(xué)既是嚴(yán)肅的，又是很活潑的。不少喜愛數(shù)學(xué)的人，有的是為其活潑的表現(xiàn)形式所吸引，有的是為它的深刻所感染，有的則是兩種感受都起了作用。常人總以為抽象是數(shù)學(xué)枯燥無味的根源，其實(shí)不然。一方面，抽象的方法，不只是數(shù)學(xué)運(yùn)用，其他學(xué)科領(lǐng)域也用。例如；物理學(xué)中，討論剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，常把一個(gè)物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這就是抽象手法。討論天體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，說地球、火星、木星、繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)的軌道是一個(gè)橢圓，此時(shí)，也是視太陽(yáng)及其行星為一些幾何點(diǎn)(幾何點(diǎn)即無體積的點(diǎn)，或把體積“抽象”掉了)。語(yǔ)言學(xué)也是很抽象的，只是人們可能沒有強(qiáng)烈地感覺到這一點(diǎn)。語(yǔ)言文字不過是一些符號(hào)，符號(hào)本身就是抽象的結(jié)果。我們可以稍稍多想想“神”這個(gè)字有多抽象，“圣”這個(gè)字有多抽象，只是許多字我們并未仔細(xì)去想。文學(xué)也有抽象。詩(shī)歌就是很抽象的，“白日依山盡，黃河人海流”，就很抽象。小說中的人物一般也是經(jīng)過抽象“加工”的。繪畫也有抽象，你畫一個(gè)人，可能立體感很強(qiáng)，但無論怎樣要略去人的幾個(gè)側(cè)面，無論怎樣細(xì)致，面部微小的部分也會(huì)略去不少。音樂更有抽象，尤其是器樂，它只是用聲音來描述高山流水、林海雪原、濤濤大海以及人間的悲歡離合，一切視角效果都略去了，你只能通過聲音去想象背后的畫面?？墒?，對(duì)文學(xué)藝術(shù)中那些明擺著的抽象，人們并不感到抽象，而數(shù)學(xué)的抽象卻使人有鮮明的抽象感覺。這是為什么呢?確實(shí)，這兩種抽象也有差別。例如，“白日依山盡，黃河人海流，欲窮千里目，更上一層樓”這樣的詩(shī)句，雖然也相當(dāng)?shù)某橄?，語(yǔ)言異常簡(jiǎn)練，但畢竟這里還是有“日”，“山”，“河”，“海”，“目”，“樓”等形象的東西；不像數(shù)學(xué)式子那樣，幾乎什么也摸不著。例如，你從 中看見了什么?確實(shí)，如果不換個(gè)視角，就會(huì)有茫然的感覺；否則，這種式子也可能給你更豐富的想象。事實(shí)上，越會(huì)抽象的人，在一定的意義下講，又可能是越會(huì)把問題具體化的人。具體化與抽象化是相伴存在的，因?yàn)閷?duì)具體的深入認(rèn)識(shí)才能更好地抽象，因?yàn)槌橄蠖芨玫匕盐站唧w。有一個(gè)古老的問題，稱為七橋問題。在河床中有兩個(gè)小島A與B，連接這兩島與兩岸C、D的總共有7座橋，如上圖。問題是：能否從某地出發(fā)，走過所有的橋，但每座橋只經(jīng)過一次?這個(gè)問題似乎很容易，卻一直未找到答案。18世紀(jì)，有位數(shù)學(xué)家參與研究。他首先做的事是將七橋圖變成了另一個(gè)圖，見下圖。在這個(gè)圖中，只有4個(gè)點(diǎn)6條線了。這樣做，把兩岸面積的大小略去了，把島的大小、形狀也省去了，把橋的長(zhǎng)短、曲直、寬窄等也全不考慮了。去掉的東西很多，表明抽象程度很高。但需注意，這種抽象把問題的本質(zhì)方面都留下了嗎? 事實(shí)上，被簡(jiǎn)化的或典型化的圖只剩下點(diǎn)和線，因此可稱之為一個(gè)點(diǎn)線圖，那么，問題的本質(zhì)方面是；圖中點(diǎn)與線的連接方式是否準(zhǔn)確地反映了橋、島、兩岸的相互關(guān)聯(lián)？雖然形狀已大小不一樣，但這個(gè)點(diǎn)線圖是正確反映了實(shí)質(zhì)問題的，因此，這種抽象可稱之為科學(xué)抽象。這種抽象也反映了一種數(shù)學(xué)思想，它要抓住問題的最實(shí)質(zhì)性的方面而舍去對(duì)這一問題暫時(shí)無關(guān)的方面，以便有效地推動(dòng)問題的研究。這么一抽象，原來的“一次性走過所有橋”的問題，就變成了“一筆畫”問題，即把一個(gè)“點(diǎn)線圖”(或網(wǎng)絡(luò))用一筆畫出來的可能性問題。這么一抽象，就可以不讓一些非實(shí)質(zhì)性的方面模糊我們的視線。下面的兩個(gè)點(diǎn)線圖，左邊的一個(gè)能一筆畫成，右邊的一個(gè)雖也很簡(jiǎn)單，但一筆畫不出：在左圖中，通過每個(gè)頂點(diǎn)的線條(或棱)數(shù)為偶數(shù)：(2，4，2)；在右圖中，通過每個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)為奇數(shù)：(1，3，3，1)。這也許是問題的要害。事實(shí)上，除了起點(diǎn)和終點(diǎn)外，過其他點(diǎn)即中間點(diǎn)(因須進(jìn)出各一次)的棱數(shù)是偶數(shù)乃一必要條件?，F(xiàn)在，再來看看那個(gè)七橋圖，過A、B、C、D 4個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)分別是3，5，3，3，都是奇數(shù)。正是這種特性，決定了七橋問題的答案：不可能一次性走過七橋。從這個(gè)問題的解決，我們不僅可以看到抽象方法所顯示的力量，應(yīng)當(dāng)也可看到抽象的藝術(shù)。在這個(gè)問題的處理過程中，抽象程度不同一般。一般認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是形與數(shù)，而在這個(gè)問題的研究中，形狀也不是我們關(guān)注的對(duì)象，線(棱)的長(zhǎng)短、曲直這樣的數(shù)量關(guān)系及形狀特征也不是我們關(guān)注的，惟一被我們注意的是點(diǎn)以及點(diǎn)與點(diǎn)之間的連接方式。數(shù)學(xué)有一個(gè)分支叫拓?fù)鋵W(xué)，按照以上方式來處理問題正是拓?fù)鋵W(xué)所做的。有一張關(guān)于建立校園網(wǎng)的拓?fù)鋱D，一時(shí)間，有好幾位問：什么叫拓?fù)鋱D?網(wǎng)絡(luò)中心放在實(shí)驗(yàn)大樓，然后有幾個(gè)中間站分別設(shè)在圖書館、文學(xué)院大樓、理學(xué)院大樓及財(cái)務(wù)大樓，再由這些中間站伸向各教學(xué)樓及其他各用戶。這個(gè)圖并不需要一個(gè)原形的校園圖，各中間站與中心的真實(shí)距離與方位并不重要，各中間站與各用戶之間的真實(shí)距離與方位也不是重要的，重要的是中心、中間站、用戶之間的連接方式，中心、中間站、用戶等都可用點(diǎn)來表示，而它們之間則用線來連接，而關(guān)鍵在于點(diǎn)與點(diǎn)如何聯(lián)系。這正是一個(gè)具有拓?fù)湫再|(zhì)的圖。如果有兩張這樣的圖，點(diǎn)與線相同，點(diǎn)線連接方式也相同，但點(diǎn)與點(diǎn)距離不同、連線的曲直不同，那實(shí)際上是兩張相同的圖，這就是在拓?fù)湟饬x下講的。拓?fù)鋵W(xué)的誕生與發(fā)展進(jìn)一步表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象程度。然而，抽象方法的優(yōu)美也進(jìn)一步展現(xiàn)在人們面前。雖然充分領(lǐng)略這一點(diǎn)并不容易。在我國(guó)傳統(tǒng)的教育理論中，特別強(qiáng)調(diào)直觀性原則。其實(shí)，這是一條帶有很大片面性的原則。第一，人的認(rèn)識(shí)能力的提高，既表現(xiàn)在善于直觀上，更表現(xiàn)在通過直觀到抽象