例談積分計算中對稱性的應用開題報告.doc

本科學生畢業(yè)論文（設計） 開題報告 題 目 例談積分計算中對稱性的應用 姓 名 學 號_院 系_專 業(yè)_ _指導教師_職 稱_ _年月日論文（設計）題目例談積分計算中對稱性的應用學科分類（二級）110.34題目來源（a.教師擬題；b.學生自擬；c.教師科研課題；d.其他）a本選題的根據(jù)：1）說明本選題的研究意義和應用價值2）簡述本選題的研究現(xiàn)狀和自己的見解1、 本選題的研究意義和應用價值數(shù)學分析是高等院校數(shù)學專業(yè)本科生最重要的基礎課之一，而積分計算又是數(shù)學分析中的重點和難點，其重要性是不言而喻的。對稱性不僅是數(shù)學美的重要特征，運用在積分求解的方法中又是一個非常重要的方法，因而探討對稱性在積分計算中的應用就非常必要。在某些復雜的積分計算和證明的過程中，特別是涉及二重和三重的積分計算問題用常規(guī)的方法解決十分困難，.若能注意并充分利用積分區(qū)域的對稱性、被積函數(shù)的奇偶性以及積分變量的輪換對稱性探求積分計算的簡化途徑，利用其結(jié)果計算，可以簡化計算過程，提高解題效率，對于有些原本并不具有對稱性的問題，我們要善于根據(jù)問題的特點構(gòu)造對稱性，從而達到簡化問題的目的。積分計算中對稱性在很多學科領域內(nèi)有著重要的應用，例如天文學、力學、化學、生物學、工程學等。在現(xiàn)實生活中我們運用對稱性可以輕松的解決一些實際問題，例如求某些面積、體積、弧長等。在學習過程中，常常發(fā)現(xiàn)自己在計算積分時，把簡單的問題復雜化而增加了積分計算的難度，若在積分的計算中能充分利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性以及輪換對稱性，（重復，再修改）就能簡化積分計算過程，從而能節(jié)省更多的時間，也使得學習更輕松、更具科學性、有效性。二、本選題的研究現(xiàn)狀和自己的見解 1、研究現(xiàn)狀 積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學家阿基米德在拋物線求積法中利用窮竭法求出拋物線弓形的面積，人們沒有用極限，是“ 有限”開工的窮竭法。阿基米德的貢獻真正成為積分學的萌芽。經(jīng)過18、19 世紀一大批數(shù)學家的努力，特別是在法國數(shù)學家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴格地證明了微積分基本定理即牛頓萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個基本嚴格的完整體系。積分的計算求解方法有很多種，在這里我主要討論的是運用對稱性求解積分的方法。積分計算中對稱性的應用問題可分為三類來討論，即一重積分、二重積分和三重積分。對于積分計算中對稱性的應用問題，研究到現(xiàn)在有： 對稱性在一重積分的計算中的應用1）利用函數(shù)的奇偶性求定積分函數(shù)在區(qū)間-a,a上可積，若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則。這種方法首先要是判斷函數(shù)在區(qū)間上是否可積，再利用函數(shù)的對稱性來求積分。它主要用于奇函數(shù)和偶函數(shù)的積分計算。2）利用第一類曲線積分的對稱性定理求積分 設平面內(nèi)光滑曲線,與關于（或）軸對稱，函數(shù)在上連續(xù)，根據(jù)函數(shù)關于（或）的奇偶性求積分。 設平面內(nèi)光滑曲線,與關于軸對稱且方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么： （）若是關于的偶函數(shù)，則（）若是關于的奇函數(shù)，則, 設是平面上關于直線對稱的一條曲線弧的問題。3）利用第二類曲線積分的對稱性求積分 主要討論投影元素的正負，考察在對稱點上的符號。 積分曲線T關于,具輪換對稱性問題。 設是平面上關于對稱的一條光滑曲線弧，任意,有，討論，在軸（y軸）投影方向求積分的問題。 對稱性在二重積分的計算中的應用1）利用二重積分的對稱性定理求積分 對于函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)的問題，考慮是關于（或）的奇函數(shù)或偶函數(shù)。 討論有界閉區(qū)域D關于x軸和y軸均對稱，函數(shù)在D上連續(xù)且關和均為偶函數(shù)的問題。 對于有界閉區(qū)域D關于原點對稱，函數(shù)在上連續(xù)的問題，判斷函數(shù)的奇偶性。2） 利用第一類曲面積分的對稱性定理求積分若積分曲面可以分成對稱的兩部分，在對稱點上被積函數(shù)的絕對值相等即光滑曲面關于(或,或)坐標面對稱?？紤]關于 (或,或)為奇函數(shù)還是偶函數(shù)。3） 利用第二類曲面積分的對稱性定理求積分利用對稱性計算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號，我以曲面積分為例來討論，當曲面指定側(cè)上動點的法線方向與軸正向成銳角時，面積元素在面上的投影為正；當曲面指定側(cè)上動點的法線方向與軸正向成鈍角時，面積元素在面上的投影為負。在利用對稱性時，我們必須考慮積分路線的方向和曲面的側(cè)，確定投影元素的符號。 對稱性在三重積分的計算中的應用利用對稱性求三重積分時，要注意（1）積分區(qū)域關于坐標面的對稱性，（2）被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標的奇偶性。一般地，當積分區(qū)域關于平面對稱，且被積函數(shù)是關于的奇函數(shù)，則三重積分為零；若被積函數(shù)是關于的偶函數(shù)，則三重積分為在平面上的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍。1、 2、自己的見解積分計算中對稱性的應用問題給我們的學習和計算積分帶來很大的方便。在學習中從大一開始就接觸數(shù)學分析，接觸積分的計算，它是學習的重點，考試中占有很大的比重，也是貫穿于整個大學的數(shù)學學習中。運用對稱性求積分是簡便計算的一種常用方法，在做積分的計算習題時，用常規(guī)的方法解決十分困難，.若能注意并充分利用積分區(qū)域的對稱性、被積函數(shù)的奇偶性以及積分變量的輪換對稱性探求積分計算的簡化途徑，利用其結(jié)果計算，可以簡化計算過程，提高解題效率，對于有些原本并不具有對稱性的問題，我們要善于根據(jù)問題的特點構(gòu)造對稱性，從而達到簡化問題的目的。研究的主要內(nèi)容：研究的內(nèi)容主要為：對稱性在積分計算的應用中的一些定理和對稱性在積分計算的應用中的一些例題。一、對稱性在一重積分的計算中的定理及應用1、函數(shù)的奇偶性求定積分2、第一類曲線積分的對稱性定理求積分（一）函數(shù)的奇偶性求定積分1、函數(shù)的奇偶性求定積分的相關定理2、舉例應用（二）第一類曲線積分的對稱性求積分1、第一類曲線積分的對稱性求積分的相關定理2、舉例應用（三）第二類曲線積分的對稱性求積分1、第二類曲線積分的對稱性求積分的相關定理 2、舉例應用二、對稱性在二重積分的計算中的定理及應用（一）二重積分的對稱性定理求積分1、二重積分的對稱性求積分的相關定理2、舉例應用（二）第一類曲面積分的對稱性定理求積分1、第一類曲面積分的對稱性定理2、舉例應用（三）第二類曲面積分的對稱性定理求積分1、第二類曲面積分的對稱性定理2、舉例應用三、對稱性在三重積分的計算中的定理及應用 1、對稱性在三重積分的計算中的相關定理 2、舉例應用 參考文獻：1 殷錫鳴等.高等數(shù)學（下）M. 上海：華東理工大學出版社.2005.304-331.2 吉米多維奇.數(shù)學分析習題集題解（六）M.濟南：山東科學技術(shù)出版社.2002.105-144.3 同濟大學應用數(shù)學系.（下）M.上海：同濟大學出版社.2003.306-321.4 劉玉鏈，付沛東.數(shù)學分析講義（下）M.北京：高等數(shù)學教育出版社，1996.5 林源渠.高等數(shù)學復習指導語與典型例題題分析M.機械工業(yè)出版社，2002.6 伍勝健.數(shù)學分析（第一冊）M.北京：北京大學出版社.2009.8.7 伍勝健.數(shù)學分析（第二冊）M.北京：北京大學出版社.2010.2.8 伍勝健.數(shù)學分析（第三冊）M.北京：北京大學出版社.2010.8.主要研究方法：1.調(diào)查法：通過圖書館和互聯(lián)網(wǎng)查找論文信息。2.文獻研究法：通過查閱文獻和書籍，認真研讀論文設計中將會用到的理論和方法，了解本選題的發(fā)展趨勢，了解積分計算中對稱性的應用問題的方法。3.描述性研究法：將已有的解法、理論通過自己的理解和驗證，敘述并解釋出來。4.思維方法：對積分計算中對稱性的應用問題的求解方法進行歸納演繹、類比推理、抽象概括、思辯想象、分析各種解法及舉例說明。研究進度計劃：2013年5月28日-2013年6月24日 確定畢業(yè)論文題目2013年6月25日-2013年7月5日 在教師的指導下完成開題報告2013年8月21日-2013年8月25日 將畢業(yè)論文開題報告終稿交指導老師審核2013年9月2日-2013年9月3日 論文開題報告答辯2013年9月4日-2013年10月9日 論文初稿的撰寫和修改2013年11月7日-2013年11月11日 論文終稿審核2013年11月12號-201