2.3　函數(shù)的奇偶性與周期性.DOC

2.3函數(shù)的奇偶性與周期性2014高考會這樣考1.判斷函數(shù)的奇偶性；2.利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)；3.考查函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性的綜合應用復習備考要這樣做1.結(jié)合函數(shù)的圖像理解函數(shù)的奇偶性、周期性；2.注意函數(shù)奇偶性和周期性的綜合問題；3.利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題1 奇、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作奇函數(shù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱2 奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(2)在公共定義域內(nèi)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)3 周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期難點正本疑點清源1 函數(shù)奇偶性的判斷(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立2 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反1 (課本改編題)已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是_答案解析由f(x)是偶函數(shù)知，f(x)f(x)，即ax2bxa(x)2bx，2bx0，b0.又f(x)的定義域應關(guān)于原點對稱，即(a1)2a0，a，故ab.2 (2011廣東)設(shè)函數(shù)f(x)x3cos x1.若f(a)11，則f(a)_.答案9解析令g(x)f(x)1x3cos x，g(x)(x)3cos(x)x3cos xg(x)，g(x)為定義在R上的奇函數(shù)又f(a)11，g(a)f(a)110，g(a)g(a)10.來源:又g(a)f(a)1，f(a)g(a)19.3 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x(0，)時，f(x)lg x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是_答案(1,0)(1，)解析畫草圖，由f(x)為奇函數(shù)知：f(x)0的x的取值范圍為(1,0)(1，)4 函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，則()Af(x)是偶函數(shù) Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函數(shù)答案D解析因為f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，所以f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，即f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，于是f(x2)f(x2)，即f(x)f(x4)，所以函數(shù)f(x)是周期T4的周期函數(shù)所以f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函數(shù)5 (2011大綱全國)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f等于()A B C. D.答案A解析f(x)是周期為2的奇函數(shù)，ffff2.題型一判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).思維啟迪：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱若對稱，再驗證f(x)f(x)或其等價形式f(x)f(x)0是否成立解(1)由，得x3.f(x)的定義域為3,3又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(2)由，得1x|x|0知f(x)ln(x)的定義域為R，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的定義域為R，又f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；由0得1x1，f(x)ln 的定義域為(1,1)，又f(x)ln ln1lnf(x)，則f(x)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的個數(shù)為5.題型二函數(shù)的奇偶性與周期性例2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 013)思維啟迪：(1)只需證明f(xT)f(x)，即可說明f(x)是周期函數(shù)；(2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0上的解析式，進而求f(x)在2,4上的解析式；(3)由周期性求和(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1.探究提高判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x) (T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x2)，當2x3時，f(x)x，則f(105.5)_.答案2.5解析由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函數(shù)的周期為4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)22.53，由題意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例3設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當4x4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間思維啟迪：可以先確定函數(shù)的周期性，求f()；然后根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性、周期性畫出函數(shù)圖像，求圖形面積、寫單調(diào)區(qū)間解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱又當0x1時，f(x)x，且f(x)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖像如圖所示當4x4時，f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB44.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k1,4k1 (kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為4k1,4k3 (kZ)探究提高函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，可以利用函數(shù)的周期性、對稱性確定函數(shù)圖像，充分利用已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上是增函數(shù)可以推知，f(x)在2,2上遞增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)(2)函數(shù)yf(x)(x0)是奇函數(shù)，且當x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式fx(x)0的解集解yf(x)為奇函數(shù)，且在(0，)上為增函數(shù)，yf(x)在(，0)上也是增函數(shù)，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1)，則即0x(x)1，解得x或x0.若fx(x)0f(1)，則由x(x)1，解得x.原不等式的解集是x|x或x0等價轉(zhuǎn)換要規(guī)范典例：(12分)函數(shù)f(x)的定義域Dx|x0，且滿足對于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；來源:(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍審題視角(1)從f(1)聯(lián)想自變量的值為1，進而想到賦值x1x21.(2)判斷f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(x)的關(guān)系從而想到賦值x11，x2x，即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出現(xiàn)f(M)f(N)的形式，再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為MN的形式求解規(guī)范解答解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.2分(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：4分令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù)7分(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.8分由f(3x1)f(2x6)3，變形為f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等價于f|(3x1)(2x6)|f(64)9分又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得x或x3或3x5.來源:x的取值范圍是x|x或x3或3x512分溫馨提醒數(shù)學解題的過程就是一個轉(zhuǎn)換的過程解題質(zhì)量的高低，取決于每步等價轉(zhuǎn)換的規(guī)范程度如果每一步等價轉(zhuǎn)換都是正確的、規(guī)范的，那么這個解題過程就一定是規(guī)范的等價轉(zhuǎn)化要做到規(guī)范，應注意以下幾點：(1)要有明確的語言表示如“M”等價于“N”，“M”變形為“N”(2)要寫明轉(zhuǎn)化的條件如本例中：f(x)為偶函數(shù)，不等式(*)等價于f|(3x1)(2x6)|f(64)(3)轉(zhuǎn)化的結(jié)果要等價如本例：由于f|(3x1)(2x6)|f(64)|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.若漏掉(3x1)(2x6)0，則這個轉(zhuǎn)化就不等價了.方法與技巧1 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式2 奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應用定義的等價形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，反之也成立利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖像的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性失誤與防范1 判斷函數(shù)的奇偶性，首先應該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件2 判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(x)f(x)，而不能說存在x0使f(x0)f(x0)對于偶函數(shù)的判斷以此類推3 分段函數(shù)奇偶性判定時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性.A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012廣東)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()Aysin x Byx3Cyex Dyln答案D解析由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項為奇函數(shù)，C項為非奇非偶函數(shù)，D項為偶函數(shù)2 (2012天津)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析選項A中函數(shù)ycos 2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足題意；選項C中的函數(shù)為奇函數(shù)；選項D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選B.3 (2011遼寧)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a等于()A. B. C. D1答案A解析f(x)f(x)，(2a1)x0，a.4 已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當x(0,2)時，f(x)2x2，則f(7)等于()A2 B2 C98 D98答案A解析f(x4)f(x)，f(x)是周期為4的函數(shù)，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而當x(0,2)時，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故選A.二、填空題(每小題5分，共15分)5 設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為_答案1解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化簡得x(exex)(a1)0.因為上式對任意實數(shù)x都成立，所以a1.6 設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)_.答案3解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，因此f(x)f(x)0.當x0時，可得f(0)0，可得b1，此時f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3.來源:7 已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出以下四個命題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點對稱；函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號為_答案解析由f(x)f(x3)f(x)為周期函數(shù)，且T3，為真命題；又yf關(guān)于(0,0)對稱，yf向左平移個單位得yf(x)的圖像，則yf(x)的圖像關(guān)于點對稱，為真命題；又yf為奇函數(shù)，ff，fff(x)，ff(x)，f(x)f(x3)ff(x)，f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上的單調(diào)函數(shù)所以為真命題，為假命題三、解答題(共22分)8 (10分)已知函數(shù)f(x)x2 (x0)(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；來源:(2)若f(1)2，試判斷f(x)在2，)上的單調(diào)性解(1)當a0時，f(x)x2，f(x)f(x) ，函數(shù)是偶函數(shù)當a0時，f(x)x2 (x0)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，這時f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1x2，x1x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)9 (12分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4時，函數(shù)f(x)的解析式(1)證明由函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)來源:(2)解由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0時，f(x).x5，4時，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時，函數(shù)f(x).B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2011安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x2x，則f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.2 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無法計算答案C解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，來源:f(2 013)f(2 015)0.3 設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，則a的取值范圍是()Aa1或a Ba1C1a Da答案C解析函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函數(shù)的最小正周期T3，則f(1)f(2)，由1，解得1a.二、填空題(每小題5分，共15分)4 (2011浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.答案0解析函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.5 已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，則f(2 015)_.答案解析方法一令x1，y0時，4f(1)f(0)f(1)f(1)，解得f(0)，令x1，y1時，4f(1)f(1)f(2)f(0)，解得f(2)，令x2，y1時，4f(2)f(1)f(3)f(1)，解得f(3)，依次求得f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，可知f(x)是以6為周期的函數(shù)，f(2 015)f(33565)f(5).方法二f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)cos x，f(2 015)cos.6 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知當x0,1時，f(x)1