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5 4坡印亭定理和坡印亭矢量 電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律 坡印亭定理 坡印亭矢量是描述電磁場(chǎng)能量流動(dòng)的物理量 5 4 1坡印亭定理 PoyntingTheorem 在時(shí)變場(chǎng)中 電 磁能量相互依存 總能量密度為 體積V內(nèi)儲(chǔ)存的能量 設(shè)體積元dV中儲(chǔ)存的能量wdV隨時(shí)間的變化率為 取體積分 得 物理意義 體積V內(nèi)電源提供的功率 減去電阻消耗的熱功率 減去電磁能量的增加率 等于穿出閉合面S的電磁功率 特殊情況 若體積內(nèi)含有電源則 坡印亭定理 它描述了空間一點(diǎn)電磁能量傳輸或流動(dòng)特性 表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量 亦稱為功率流密度 S的方向代表波傳播的方向 也是電磁能量流動(dòng)的方向 5 4 2坡印亭矢量 以導(dǎo)體表面為閉合面 則導(dǎo)體吸收的功率為 表明 導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的 例5 4 1導(dǎo)線半徑為a 長(zhǎng)為l 電導(dǎo)率為 試用坡印亭矢量計(jì)算導(dǎo)線損耗的能量 電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗 另一部分傳遞給負(fù)載 電場(chǎng)強(qiáng)度 磁場(chǎng)強(qiáng)度 例5 4 2用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過(guò)程 設(shè)電纜為理想導(dǎo)體 內(nèi)外半徑分別為R1和R2 解 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為零 電磁場(chǎng)分布如圖所示 電場(chǎng)強(qiáng)度 穿出任一橫截面的能量相等 電源提供的能量全部被負(fù)載吸收 電磁能量是通過(guò)導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的 導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用 這表明 單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面A的總能量為 磁場(chǎng)強(qiáng)度 坡印亭矢量 5 5 1電磁場(chǎng)基本方程的相量形式 5 5正弦電磁場(chǎng) 正弦電磁場(chǎng)的相量形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量類同 后者有三要素 振幅 標(biāo)量 常數(shù) 頻率和相位 前者也有三要素 振幅 矢量 空間坐標(biāo)的函數(shù) 頻率和相位 如果F的三個(gè)分量初相位相同 則有 1 正弦時(shí)變場(chǎng)量的相量形式 2 正弦電磁場(chǎng)基本方程組的相量形式 5 5 2坡印亭定理的相量形式 在正弦電磁場(chǎng)中 坡印亭矢量的瞬時(shí)形式為 稱之為平均功率流密度 S在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為 容易證明 同理 其實(shí)部為平均功率流密度 虛部為無(wú)功功率流密度 取體積分 利用高斯散度定理 有 閉合面S內(nèi)吸收的功率為 有功功率無(wú)功功率 坡印亭定理的相量形式推導(dǎo)過(guò)程 取散度 展開(kāi)為 此項(xiàng)可用于求解電磁場(chǎng)問(wèn)題的等效電路參數(shù) 例5 5 1平板電容器如圖所示 當(dāng)兩極板間加正弦工頻交流電壓u t 時(shí) 試分析電容器中儲(chǔ)存的電磁能量 解 忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場(chǎng) 則電場(chǎng)滿足無(wú)旋性質(zhì) 可表示為 根據(jù)全電流定律 由位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 整理得 圖5 5 1兩圓電極的平板電容器 顯然 電容器中儲(chǔ)存電場(chǎng)能量 磁場(chǎng)能量忽略不計(jì) 電磁場(chǎng)近似為EQS場(chǎng) 復(fù)坡印亭矢量 電容器吸收功率 無(wú)功功率 圖5 5 1兩圓電極的平板電容器 解 忽略邊緣效應(yīng)及位移電流 則時(shí)變磁場(chǎng)可用恒定磁場(chǎng)的方法計(jì)算 為什么 顯然 螺線管中儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量 電場(chǎng)能量忽略不計(jì) 電磁場(chǎng)近似為MQS場(chǎng) 從安培環(huán)路定律 得 從電磁感應(yīng)定律 得 復(fù)坡印亭矢量 螺線管吸收的功率 無(wú)功功率 例5 5 2N匝長(zhǎng)直螺線管 通有正弦交流電流i t 試分析螺線管儲(chǔ)存的電磁能量 結(jié)束 注 磁鐵與靜電荷產(chǎn)生的磁 電場(chǎng)不構(gòu)成能量的流動(dòng) 在靜態(tài)場(chǎng)中 場(chǎng)量是動(dòng)態(tài)平衡下的恒定量 坡印亭定理為 在靜態(tài)場(chǎng)中 場(chǎng)域內(nèi)無(wú)源即 Ee 0坡印亭定理為 在靜態(tài)場(chǎng)中 場(chǎng)域內(nèi)無(wú)源且為非導(dǎo)體即 0坡印亭定理為 一般情況下的坡印亭定理 求解絕緣介質(zhì)中的電場(chǎng) 設(shè)介質(zhì)中的漏電流為 因此 代入 1 得 設(shè)單位長(zhǎng)度有n匝線圈 應(yīng)用