微積分在經(jīng)濟管理中的應用.doc

目 錄 摘要I ABSTRACTII第一章 緒論11.1 引言11.2 研究經(jīng)濟問題常采用的方法11.3數(shù)學思想在經(jīng)濟管理中的應用1第二章 微分在經(jīng)濟管理中的應用32.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)32.2 總成本函數(shù)、總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)42.3 一元經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)52.4 多元經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)8第三章 彈 性9第四章 積分的經(jīng)濟應用11第五章 微積分在經(jīng)濟管理中的一些其他應用135.1 最小平均成本135.2最大利潤問題145.3 生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的最大利潤155.4 根據(jù)最大利潤原則確定商品價格17第五章 結(jié) 論18參考文獻19致謝20 微積分在經(jīng)濟管理中的應用 I 第一章 緒論1.1 引言現(xiàn)代化經(jīng)濟理論已經(jīng)從過去的經(jīng)濟定性分析發(fā)展成為量性分析和定性分析相結(jié)合。因而高等數(shù)學的一些方法如函數(shù)理論微積分、矩陣、概率統(tǒng)計、運籌學等知識在經(jīng)濟管理中都有了廣泛的應用。數(shù)學是一門高度抽象的理論性學科,又是一門應用廣泛的工具性學科,如何將抽象的數(shù)學理論應用到具體的實踐中去,以使數(shù)學這門古老、嚴謹、深刻的經(jīng)典科學和現(xiàn)代數(shù)學理論找到嶄新的應用市場，這在高等數(shù)學的教學過程以及經(jīng)濟學的研究過程中,都是至關重要的。實踐證明,用數(shù)學方法對經(jīng)濟問題所作的定性分析和定量分析是嚴謹?shù)摹⑸髅艿?可信的。1.2 研究經(jīng)濟問題常采用的方法隨著經(jīng)濟問題的多樣化和數(shù)學手段的豐富,研究經(jīng)濟問題的方法、方式也各有不同。在定量的描述、研究經(jīng)濟關系和經(jīng)濟規(guī)律的方法中,一種簡單的流程圖為:經(jīng)濟理論模型數(shù)學型估計模型、確定模型的未知量經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析經(jīng)濟預測政策評價、調(diào)整。其中,結(jié)構(gòu)分析包括:研究分析經(jīng)濟變量之間的內(nèi)在聯(lián)系和檢驗經(jīng)濟理論。經(jīng)濟預測包括:借助于科學的數(shù)學方法和技術手段,對未來的發(fā)展和狀況進行描述、分析,形成科學的假設和判斷。政策評價是指決策者從眾多的決策中選擇一種最優(yōu)的政策來執(zhí)行。其中用到彈性函數(shù)、乘數(shù)、生產(chǎn)技術系數(shù)、邊際效益等數(shù)學概念。1.3數(shù)學思想在經(jīng)濟管理中的應用在經(jīng)濟活動中生產(chǎn)者與消費者通過市場交換商品, 消費者購買商品是為了得到它的效用, 生產(chǎn)者提供商品為了獲取利潤, 而市場就是生產(chǎn)者和消費者之間的橋梁我們知道某種商品的市場需求量是商品價格的函數(shù), 一般說來將隨著價格的上漲而減少, 即需求量是市場價格的單調(diào)減少函數(shù), 與需求函數(shù)相反, 供給函數(shù)是隨著市場價格的上漲而增加。收入是生產(chǎn)者生產(chǎn)的商品售出后的收入, 生產(chǎn)者銷售某種商品的總收入取決于該商品的銷售和價格,成本函數(shù)固定成本廠房設備管理者的固定工資等和變動成本原材料勞動者的工資等, 利潤是生產(chǎn)者扣除成本的剩余部分它也是產(chǎn)量的函數(shù)。經(jīng)濟學中的一些問題與導數(shù)的聯(lián)系極為密切,涉及到的有邊際成本、邊際收益、邊際利潤、邊際需求等.邊際問題，邊際成本、邊際收益、邊際利潤、邊際需求在數(shù)學上可以表達為自總函數(shù)的導數(shù). 積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù)。為了研究經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律常需要建立某一經(jīng)濟函數(shù)及其導數(shù)和積分所滿足的關系式,并由此確定所研究函數(shù)形式,從而根據(jù)一些已知的條件來確定該函數(shù)的表達式.從數(shù)學上講就是建立微分方程并求解微分方程. 利用微分方程可以分析商品的市場價格與需求量(供給量) 之間的函數(shù)關系、預測可再生資源的產(chǎn)量,預測商品的銷售量、分析關于國民收入、儲蓄與投資的關系問題等。 經(jīng)濟管理是研究人們?nèi)绾畏峙溆邢拶Y源來滿足人們需要的一種方法，它的主要作用在于如何用已有的數(shù)學方法結(jié)合經(jīng)濟中的各種要素來使得人們利用最有限的資源獲得最大的 利益或者是風險最小的利益。以期滿足人們?nèi)找嬖鲩L的物質(zhì)文化需要。應該用什么合理的方法來解決影響經(jīng)濟管理的各種要素？在經(jīng)濟管理中我們主要需要知道需求和供給與價格的關系。從經(jīng)濟學中知道，需求是消費者在某一特定時期內(nèi)在不同的價格水平上愿意并且能夠買到的商品量。在經(jīng)濟學中的需求定理指當某種商品的價格下降時，買者對這種商品愿意而且能夠購買的數(shù)量就會增加；反之，當某種商品的價格上漲時，買者對這種商品愿意而且能夠購買到的數(shù)量就會減少。供給是指廠商在某一特定時期內(nèi)、在不同價格水平上愿意而且能夠提供出售的商品量，供給定理是：當某種商品的價格上漲時，賣者對這種商品愿意并且能夠提供的數(shù)量就會增加；反之，當某種商品的價格下降時，賣者對這種商品愿意并且能夠提供的數(shù)量就會減少。第二章 微分在經(jīng)濟管理中的應用2.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)2.1.1 需求函數(shù)需求量是指在特定時間內(nèi)，消費者打算并能夠購買的某種商品的數(shù)量，用表示，它與商品價格密切相關，通常降低商品價格使需求量增加；提高商品價格會使需求量減少。如果不考慮其它因素的影響（或其它因素不變），則是的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作它通常是一個單調(diào)減少函數(shù)。常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：（1）線性需求函數(shù) （2.1）（2）二次需求函數(shù) （2.2）（3）指數(shù)需求函數(shù) （2.3）有時也把的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)。2.1.1 供給函數(shù)供給量是指在特定時間內(nèi)，廠商愿意并能夠出售的某種商品的數(shù)量，用表示，假設除了商品的價格外影響供給的其它因素均不變，則是的函數(shù),它通常是一個單調(diào)增函數(shù)。常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：（1）線性供給函數(shù) （2.4）（2）指數(shù)供給函數(shù) （2.5）當時，市場的供需處于平衡狀態(tài)，此時的價格稱為均衡價格，需求（或供給）量稱為均衡數(shù)量.當商品由某廠商獨家生產(chǎn)時，廠商是價格的制定者，它自然會考慮消費者對價格的反應,并依需求規(guī)律組織生產(chǎn)，其產(chǎn)量即需求量，價格與產(chǎn)量（需求量）的關系由需求函數(shù)確定，稱該商品市場為完全壟斷市場；當商品由眾多互不占優(yōu)勢的廠商共同生產(chǎn)時，各廠商之間、消費者之間展開競爭并最終使市場處于均衡狀態(tài)，此時商品價格即為均衡價格,單一廠商或消費者的行為（改變產(chǎn)量或需求量）不再影響市場均衡，稱該商品市場為完全競爭市場。例 1 當雞蛋收購價為每公斤4.5元時，某收購站每月能收購5000公斤。若收購價每公斤提高0.1元，則收購時可增加400 公斤，求雞蛋的線性供給函數(shù)。解 設雞蛋的線性供給函數(shù)為 （2.6）由題意有 （2.7） （2.8）解得，所求供給函數(shù)為2.2 總成本函數(shù)、總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)在生產(chǎn)和經(jīng)營活動中,如果投入的各要素價格不變,則成本是產(chǎn)量或銷售量的函數(shù),稱為總成本函數(shù)。一般地,總成本由固定成本和可變成本兩部分組成 （2.9）其中固定成本與產(chǎn)量無關,如廠房、設備的折舊費、企業(yè)管理費等,可變成本隨產(chǎn)量的增加而增加,如原材料、動力、工人的工資等。常見的成本函數(shù)有 （2.10）以總成本除以產(chǎn)量,得平均成本函數(shù)其中與分別稱為平均固定成本與平均可變成本。廠商銷售單位的商品所得收入為,稱為總收入(益)函數(shù).設商品的價格為,則總收入函數(shù)為 （2.11）若商品的需求函數(shù)為,且產(chǎn)銷均衡,則總收入函數(shù)為 （2.12） 總利潤是總收入與總成本之差, 故總利潤函數(shù)為例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為1萬元,可變成本與產(chǎn)量(單位:噸)的立方成正比,已知產(chǎn)量為20噸時,總成本為1.004萬元.求總成本函數(shù)和平均成本函數(shù)。 解 總成本函數(shù) 將C(20)=1.004代入上式,得k =,則總成本函數(shù)為 平均成本函數(shù)為 2.3 一元經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)經(jīng)濟學上將函數(shù)的導數(shù)稱為邊際函數(shù).以總成本函數(shù)為例,其導數(shù)稱為邊際成本函數(shù),也記為MC,顯然。為在到產(chǎn)量間隔內(nèi)的平均成本,當很小時取(經(jīng)濟學上通常認為1個單位已經(jīng)相當小了),則說明在產(chǎn)量為時,生產(chǎn)最后一個單位的產(chǎn)品花費的成本約為,或者說在產(chǎn)量為時, 再生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品花費的成本約為。下面討論邊際成本與平均成本的關系.平均成本函數(shù)為 由于產(chǎn)量,則當時,此時增加產(chǎn)量將使平均成本減少；當時,故增加產(chǎn)量將使平均成本增加。例如 某電視機廠生產(chǎn)5萬臺電視機，在成本為6000萬元，平均成本為每臺1200元。當它生產(chǎn)第50001臺時，如其成本(即邊際成本)也是1200元，則平均成本不變；若此臺電視機的成本為1150元，即邊際成本小于平均成本，則多生產(chǎn)此臺電視機使平均成本下降；若此臺電視機的成本為1250元，即邊際成本大于平均成本，則多生產(chǎn)此臺電視機使平均成本增加?？偸杖牒瘮?shù)的導數(shù)稱為邊際收入函數(shù)，也記為，是企業(yè)在產(chǎn)量為時，再生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品增加的收入的近似值，也是銷售最后一個單位的產(chǎn)品所得到的收入的近似值，即最后哪個單位產(chǎn)品的售價。總利潤函數(shù)的導數(shù)稱為邊際利潤函數(shù)，是企業(yè)銷售最后一個單位的產(chǎn)品所得到的利潤的近似值，或多銷售一個單位的產(chǎn)品所得到的利潤的近似值。由于，則有即邊際利潤等于邊際收入與邊際成本之差。效用函數(shù)的導數(shù)稱為邊際效用函數(shù)，記作，表示消費者消費第單位的商品所獲得的效用，效用函數(shù)為為增函數(shù)，則。邊際效用為單調(diào)減函數(shù)，稱為邊際效用遞減規(guī)律。若的二階導數(shù)存在，則。設消費函數(shù)與儲蓄函數(shù)分別為與，稱為邊際消費傾向，記為，表示收入增加一單位時消費相應的增加量，即這一單位收入中被用來消費的部分稱為邊際儲蓄傾向，記為,表示收入增加一單位時儲蓄的增加量,由變量的實際含義及三者之間的關系不難得到 且例3 某商品由一企業(yè)壟斷生產(chǎn)，產(chǎn)品的需求函數(shù)為。 (1)計算需求的變化速度并說明其意義； (2)計算時，企業(yè)的邊際收入。 解 (1)需求的變化速度為常數(shù)，說明價格每上漲1單位，需求量將減少0.5單位。 (2)總收入函數(shù)為，邊際收入。當時，邊際收入分別為，時，此時增加產(chǎn)量將使總收入增加，時，此時增加產(chǎn)量總收入反而減少，由此可見，在時，總收入最大，此時價格為。由總收入函數(shù)的圖形亦可得相同結(jié)論。例4 某酸乳酪商行發(fā)現(xiàn)它的收入函數(shù)和成本函數(shù)分別為，的單位為千升，以千元計。邊際成本，它隨的增大而減少，即產(chǎn)量越高，單位產(chǎn)品成本越低.，表明在生產(chǎn)千升的基礎上，再多生產(chǎn)升，約需成本1.5元(由可看出與實際值非常接近)，表明在生產(chǎn)4千升的基礎上，再多生產(chǎn)升，只需成本0.75元。那么是否生產(chǎn)越多，賺錢就越多呢？解 邊際收入，說明在生產(chǎn)4千升的基礎上，再多生產(chǎn)升，總收入幾乎無變化。到底生產(chǎn)多少賺錢最多?這要從邊際利潤來討論。邊際利潤。當時，每多生產(chǎn)1升，總利潤將增加；時，再多生產(chǎn)1升，總利潤幾乎無變化；當時，生產(chǎn)越多，總利潤反而減少，這是由于產(chǎn)量增大導致價格下跌所至。由此可見,在生產(chǎn)3千升時，商行賺錢最多。如果經(jīng)濟量是時間的函數(shù)，則其導數(shù)表示時刻經(jīng)濟量的絕對變化速度，即單位時間內(nèi)經(jīng)濟量變化值的近似值。2.4 多元經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)與一元經(jīng)濟函數(shù)的邊際函數(shù)類似，多元經(jīng)濟函數(shù)的偏導數(shù)有其相應的經(jīng)濟意義。設需求函數(shù)為，這里為商品的需求量，為該商品的價格，為與此商品有關的另一商品的價格,為消費者的收入。偏導數(shù)分別稱為價格的邊際需求、相關價格的邊際需求和收入的邊際需求。在全微分中，令，即相關價格和收入不變，商品自身價格上漲1單位，則，即在相關價格和收入不變，商品自身價格上漲1單位時，需求量近似減少單位(因)，對有類似解釋。如果，說明兩商品是相互競爭的(也稱相關商品為替代品),如果，說明兩商品是相輔的(也稱相關商品為互補品)。如果，說明需求量與收入同方向變化，商品為正常品，如果，說明需求量與收入反方向變化，收入增加后需求量反而減少，說明商品為劣質(zhì)品。若廠商生產(chǎn)兩種產(chǎn)品, 產(chǎn)量分別為?？偝杀竞瘮?shù)為，其偏導數(shù)分別稱為兩種產(chǎn)品的邊際成本，記作其中表示在原有生產(chǎn)規(guī)模下，產(chǎn)品的產(chǎn)量不變，多生產(chǎn)1單位的產(chǎn)品所增加的成本，有類似意義。稱總收入函數(shù)的偏導數(shù)為兩種產(chǎn)品的邊際收入，記為分別表示在另一產(chǎn)品產(chǎn)量不變時，多生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品所引起的收入的改變量。生產(chǎn)函數(shù)的偏導數(shù)分別稱為資本的邊際產(chǎn)量和勞動的邊際產(chǎn)量，分別記為與，表示在另一投入要素不變時，單位要素對產(chǎn)量的貢獻。效用函數(shù)的偏導數(shù)分別為兩商品的邊際效用,記為表示在另一商品的消費量不變時，多消費一個單位的商品所增加的效用，通常情況下。例5 生產(chǎn)函數(shù)為，求時資本和勞動的邊際產(chǎn)量。解 資本和勞動的邊際產(chǎn)量分別為，在時第三章 彈 性商品價格的提高或降低會引起需求量的減少或增加，但價格變化以后，需求量所作出的反應或增減變化程度，不同的商品時不同的，同一種商品在不同的價格水平上也是不同的。所以需求的彈性可以用來衡量價格變動的比率所引起的需求量變動的比率，也就是兩者之間的靈敏程度。在經(jīng)濟學中，彈性可以理解為：它是一個因變量的相對變動和一個自變量的相對變動之比，以E來表示彈性系數(shù)，即：如果設數(shù)量變動的百分比為2，價格變動的百分比為1，則彈性系數(shù)為 （3.1）函數(shù)稱為的彈性函數(shù)，在處的彈性為其彈性函數(shù)在處的函數(shù)值.在，時，。設需求函數(shù)為，定義需求價格彈性 （3.2）表示在價格為時，價格上漲(或下跌)1%需求量約減少(或增加)，表明需求與價格反方向變化。 若，表示需求量的相對變化率高于價格的相對變化率，需求對價格的反應較強，價格變化，需求量的變化將超過，稱為彈性需求或富有彈性，一般高檔消費品屬此類。若，表示需求量的相對變化率低于價格的相對變化率，需求對價格的反應較弱，價格變化，需求量的變化將小于，稱為非彈性需求或缺乏彈性，一般生活必需品多屬此類。許多商品在不同的價位上，需求價格彈性的性態(tài)是不同的，一般當價格較低時是非彈性需求，當價格較高時是彈性需求。若，表示需求量的相對變化率與價格的相對變化率相同，需求對價格的反應按相同比例反方面進行，稱為單位彈性需求。時，價格的任何變動都不會改變需求量，這樣的商品并不多見，時，價格的微小變化將會引起需求的巨大變化，這樣的商品也不多見。但在完全競爭市場上，單個廠商的價格變化，在其余廠商作出反應之前，它面臨的需求曲線具有無窮大的彈性。對其余一元經(jīng)濟函數(shù)，可類似地定義其彈性，如供給彈性、成本彈性等。設某商品的需求函數(shù)為，這里為商品的需求量，為該商品的價格，若該商品是完全壟斷的，生產(chǎn)商的產(chǎn)銷均衡，則廠商的銷售收入為其中為需求價格彈性。當時，此時漲(降)價會使總收入減少(增加)。當時，此時漲(降)價會使總收入增加 (減少)。當時，。此時漲(降)價，總收入幾乎無變化。由可導函數(shù)取極值的必要條件，在R(P)的駐點唯一時，單位彈性可使總收入最大。收入的價格彈性為在價格變化很小時邊際收入與彈性的關系為第四章 積分的經(jīng)濟應用積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù)。設總量函數(shù)在區(qū)間上可導，其邊際函數(shù)為，則總有函數(shù) （4.1）當從變到時，的改變量為 （4.2）將改為產(chǎn)量，且時，將代之以總成本、總收入、總利潤，可得 （4.3）其中即為固定成本，為可變成本某商品的邊際利潤函數(shù)為，為該商品的銷售量，銷售此商品的盈虧平衡點為，求總利潤函數(shù)。解 因商品的盈虧平衡點為，則，代入上式可得，故總利潤函數(shù)為 設總量函數(shù)在區(qū)間上可導，其邊際函數(shù)為，則有總量函數(shù)當從變到時，的改變量為將改為產(chǎn)量且時，將代之以總成本，總收入，總利潤，可得其中即為固定成本，為可變成本.例 經(jīng)濟學家研究一口新油井的原油生產(chǎn)速度R(t),并建議用以下模型： 這里t的單位為年,A是平均速度(常數(shù)),而B是“變率”系數(shù)(常數(shù)).求出開始N年內(nèi)生產(chǎn)的石油的總和(取N為整數(shù)); 解 設開始N年內(nèi)生產(chǎn)的石油的總和為,由于,則 其中 則因此有 第五章 微積分在經(jīng)濟管理中的一些其他應用5.1 最小平均成本設成本函數(shù)為,求平均成本最小時的產(chǎn)量、邊際成本及最小平均成本。 解 平均成本函數(shù)為令得唯一駐點，又因為則在時，平均成本最小，最小平均成本為邊際成本函數(shù)為在時，。 一般地,若成本函數(shù)為，則平均成本函數(shù)為令得，故平均成本在處最小的必要條件為處的平均成本等于邊際成本又因為在駐點處，, 則,則等價于，從而平均成本在處最小的充分條件為為唯一正駐點且。5.2最大利潤問題一玩具經(jīng)銷商獨家銷售某種玩具，經(jīng)銷商的的收入函數(shù)為其中為銷售量。成本函數(shù)為求該經(jīng)銷商的最佳銷售方案及最大利潤。解 總利潤函數(shù)令得唯一駐點。又因為則在銷售量為3000時，總利潤最大。最大利潤為。一般地,因為，則在Q0處利潤最大的必要條件為Q0處的邊際收入等于邊際成本 由邊際收入與需求價格彈性的關系可將上式改寫為其中為處的價格，為價格為時的需求彈性。這也是廠商確定商品價格的方法之一。由得在處利潤最大的一個充分條件為5.3 生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的最大利潤某工廠預備生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當產(chǎn)量分別為時，總成本為已知兩產(chǎn)品售價分別為10元和9元，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時,工廠可獲最大利潤？最大利潤是多少？解 總利潤函數(shù)為 令解得駐點.又且,則在兩產(chǎn)品分別生產(chǎn)120與80時，工廠可獲最大利潤.最大利潤為. 當企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時，總收入函數(shù)與總成本函數(shù)分別為,則總利潤函數(shù)為令得總利潤最大的必要條件為即兩產(chǎn)品的邊際收入分別等于各自的邊際成本。若兩產(chǎn)品的市場都是完全競爭市場，其價格分別為常數(shù)，則兩產(chǎn)品的邊際收入即為各自價格，從而總利潤最大的必要條件為兩產(chǎn)品的邊際成本分別等于各自的價格此時則利潤最大的充分條件為5.4 根據(jù)最大利潤原則確定商品價格某商品進價為(元/件)，根據(jù)以往經(jīng)驗，當銷售價為(元/件)時