連續(xù)時間系統(tǒng)的響應問題.doc

連續(xù)時間系統(tǒng)的響應問題顏優(yōu)美 （200808054012）摘要：求系統(tǒng)微分方程的解，實際上就是求系統(tǒng)的全響應y(t)。系統(tǒng)微分方程的勸解分為齊次解和特解，線性系統(tǒng)的全響應y(t)，可分解為零輸入響應yzi(t)與零狀態(tài)響應yzs(t)。根據(jù)激勵的作用可分為自由響應和強迫，另一方面根據(jù)響應的形態(tài)課分為瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。各響應相互獨立，也相互具有關(guān)系。關(guān)鍵詞：解 響應 齊次解 特解 自由響應 強迫響應 零輸入響應 零狀態(tài)響應 暫態(tài)響應 穩(wěn)態(tài)響應正文：時域分析里面可以討論系統(tǒng)微分方程的齊次解，特解，全解，以及線性系統(tǒng)的全響應，零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應，瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。一 齊次解 特解 全解用微分方程的經(jīng)典求解法求解：(一)齊次解定義：微分方程y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) （1）當f(t)=0時，其其次微分方程的解就是齊次解。表1-1特征根齊次解單實根et重實根(Cr-1tr-1+Cr-2tr-2+C1t+C0)et一對共軛復根1，2=+或，其中重共軛復根例子1：求微分方程的齊次解。解：特征方程為 特征根為 ，齊次解為 （二）特解定義：特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)。將激勵函數(shù)f(t)代入微分方程式（1）的右端，代入后右端的函數(shù)式稱為“自由項”。通常，由觀察自由項在表1-2中選特解函數(shù)式，并代入方程，然后求得特解函數(shù)式中的特定系數(shù)，即可得特解。表1-2激勵分f（t）特解yp(t)tm 所有的特征根均不等于0 有r重等于0的特征根 不等于特征根 等于特征根 等于r重特征根或 所有的特征根均不等于或 其中 例子2：給定微分方程式若已知，求此方程的特解B(t)。 解 將e(t)代入方程右端的自由項為 由表2選函數(shù)式為 將此式代入方程得 根據(jù)等式兩端各相同冪次項的系數(shù)應相等的原則，可得 聯(lián)立解得到 所以特解為 （三）全解 定義：全解=齊次解+特解 例子3：描述某系統(tǒng)的微分方程為 （2_1） 求輸入，時的全響應。 解 特征方程為 (2_2) 特征根為 方程的齊次解為 可設方程的特解為 其一，二階導數(shù)分別為 將和f(t)代入式(2_1)得 因上式歲所有的成立，故有 由以上三式可解得P=Q=1，得特解 于是得方程的全解，即系統(tǒng)的全響應為 （2_3） 其一階導數(shù)為 令t=0，并代入初始條件，得 由上式可解得.將它們代入式（2_3），最后得該系統(tǒng)的全解 2 零輸入響應 零狀態(tài)響應 全響應 在對這兩個響應進行討論時，要考慮其初始狀態(tài)和起始狀態(tài)?？捎脹_擊匹配法進行求解。沖擊匹配法的步驟：（1） 將輸入f(t)代入微分方程。如等號右端含有及其各階導數(shù)，根據(jù)微分方程等號兩端各奇異函數(shù)的系數(shù)相等的原理，判斷方程右端y(t)的最高階導數(shù)所含導數(shù)的最高階次。（2） 令，對于進行積分（從-到t），逐次求得和（3） 將，和代入微分方程，根據(jù)方程等號兩端個奇異函數(shù)的系數(shù)相等，從而求得中的個待定系數(shù)。 (4) 分別對和等號兩端從0-到0+進行積分，一次求得各0+值y(0+)和y(0-)。（一）零輸入響應定義：沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（t=0-）所產(chǎn)生的響應。例子4： 起始狀態(tài) ,求系統(tǒng)的零輸入響應。解：此系統(tǒng)的特征方程為：其特征根為：，根據(jù)表1-1可得 它的導數(shù)為 將t=0代入以上二式，并考慮到起始條件，可得 對以上二式聯(lián)立求解得，于是零輸入響應為 （二）零狀態(tài)響應定義：不考慮起始時刻（t=0-）系統(tǒng)儲能的作用，僅由系統(tǒng)的外加激勵信號所產(chǎn)生的響應。例子5：描述某系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)為，系統(tǒng)輸入，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應滿足方程 （2）及初始狀態(tài) 。由于輸入，代入式（2）后等號右端將含有沖擊函數(shù)，故零狀態(tài)響應在t=0時將產(chǎn)生突變，其0+值不等于0-。為此，首先求得響應的0+值。將f(t)代入式（2）得 （3）按沖擊匹配法可求得0+的值的方法，令 （4a）對上式積分（從-到），得 (4b) (4c)式中r0(t),r1(t)和r2(t)均不含及其導數(shù)。將式(4)的各式代入式（3），不難求得a=2。對式（4）等號兩端積分（從0-到0+），得 又因為，得到 對于t0，式（3）可寫為 不難求得其齊次解為 ，其特解yp(t)=-1.于是有 -1將上面求得的兩個起始條件代入上式及其導數(shù)得 由上式可解得Czs1=2,Czs2=-1.最后，得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 ，t0（三）全響應定義：全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應例子6：描述某LIT系統(tǒng)的微分方程 （3）已知，求該系統(tǒng)的零輸入響應，零狀態(tài)響應和全響應。解：（1） 零輸入響應滿足方程其特征根為，故零輸入響應為 （3_1）將其初始值代入上式及其導數(shù)，得 由上式解得，將它們代入式（3_1），得系統(tǒng)的零輸入響應為 （2） 零狀態(tài)響應是初始狀態(tài)為0，且時，式（3）的解，即滿足方程 （3_2）及初始狀態(tài)。先求和，由于上式等號右端含有，令 積分得 將代入式（3_2）可求得a=2，將等號兩端從0-到0+積分，并考慮到，可求得 解上式，得 ，。對于t0，式（3_2）可寫為 不難求得其齊次解為，其特解為常數(shù)3，于是有 （3_3）將初始值代入上式及其導數(shù)，得 由上式可求得將它們代入式（3_3）,得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 （3） 全響應由零輸入響應和零狀態(tài)響應可求得全響應： 三.自由響應 強迫響應 （一）自由響應 定義:LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型常系數(shù)線性微分方程的全解由齊次解和特解組成，其次解的函數(shù)形式僅僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自由響應。 （二）強迫響應 定義：特解的形式由激勵信號確定，稱為強迫響應。如例子6：4 瞬態(tài)響應 穩(wěn)態(tài)響應 （一）瞬態(tài)響應 定義：指激勵接入以后，全響應中，隨t的增大而逐漸消失，稱為瞬態(tài)響應。（二）穩(wěn)態(tài)響應 定義：指激勵接入以后，全響應中，后一項隨t的增大，呈現(xiàn)等幅震蕩，稱為穩(wěn)態(tài)響應。如例子6： 5 關(guān)系 6 參考文獻（1） 管致中，夏恭格，孟橋.信號與線性系統(tǒng).第四版.北京：高等教育出版社，2004（2） 朱鐘霖，周寶珀編.信號與線性系統(tǒng)分析.北京