大綱高等幾何.doc

高綱0870江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱 29790高等幾何江蘇教育學(xué)院編江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會(huì)辦公室一、 課程性質(zhì)及其設(shè)置目的與要求（一）課程性質(zhì)與特點(diǎn)高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一，本課程在學(xué)生具備初等幾何、解析幾何與高等代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何的基本知識(shí)，使他們能用變換群觀點(diǎn)來(lái)看待幾何學(xué)，加深對(duì)幾何學(xué)和幾何空間概念的理解。本課程的主旨在于拓展讀者的幾何空間知識(shí)，學(xué)習(xí)了解變換群觀點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到訓(xùn)練理性思維的能力，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的目的。本課程包括了許多著名的定理，奇妙的圖形。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，可以有效地提高數(shù)學(xué)審美意識(shí)。本大綱要求本課程的內(nèi)容處理上實(shí)行解析法與綜合法并用，以解析法為主。（二）課程設(shè)置目的與要求課程內(nèi)容包括：變換群與幾何學(xué)；射影平面；射影變換；二次曲線的射影理論；射影幾何的子幾何。課程設(shè)置目的和要求：一方面使得學(xué)生拓寬眼界，擴(kuò)大知識(shí)領(lǐng)域，提高抽象思維能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他課程打下基礎(chǔ)。另一方面使學(xué)生加深對(duì)中學(xué)幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解, 使得學(xué)生加深對(duì)中學(xué)幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解，從而獲得用高觀點(diǎn)來(lái)處理中學(xué)幾何問(wèn)題的能力，為未來(lái)的中學(xué)幾何教學(xué)打下基礎(chǔ)。二、 課程內(nèi)容與考核目標(biāo)第一章 變換群與幾何學(xué)（一）課程內(nèi)容1變換與變換群 2仿射坐標(biāo)和仿射平面3仿射變換4歐氏平面和保距變換5幾何學(xué)與變換群的關(guān)系（二）學(xué)習(xí)與考核要求本章是基于變換群的觀點(diǎn)，對(duì)幾何學(xué)的高度抽象概括，給出研究幾何學(xué)的變換群觀點(diǎn)。掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和代數(shù)表達(dá)式；理解仿射坐標(biāo)和圖形的仿射性質(zhì)，掌握仿射對(duì)應(yīng)圖形；掌握保距變換的性質(zhì)和代數(shù)表達(dá)式；特別是基本仿射不變性-平行性和基本仿射不變量-單比，及其計(jì)算方法。第二章 射影平面（一）課程內(nèi)容1擴(kuò)大仿射平面2射影平面3交比與調(diào)和共軛4對(duì)偶原理（二）學(xué)習(xí)與考核要求本章作為學(xué)習(xí)全課程的基礎(chǔ)和中心內(nèi)容，重點(diǎn)講解歐氏平面的拓展過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出射影直線和影射平面的概念和模型，使得學(xué)生明確了解歐氏直線和射影直線、歐氏平面和影射平面的區(qū)別和聯(lián)系。要求考生靈活運(yùn)用Desargues 定理及其逆定理，它是證明三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)的有效工具之一。齊次坐標(biāo)是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，要求考生掌握并正確使用，會(huì)求兩點(diǎn)連線方程及兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)、會(huì)判斷三點(diǎn)是否共線。對(duì)偶原理是射影幾何的靈魂（包括幾何對(duì)偶和代數(shù)對(duì)偶），要求考生掌握并靈活應(yīng)用，會(huì)作對(duì)偶圖形，會(huì)寫(xiě)對(duì)偶命題。而交比是射影基本不變量，它是研究射影變換的工具和基礎(chǔ)，要求熟練掌握交比與調(diào)和比的概念、性質(zhì)、應(yīng)用及計(jì)算方法。掌握完全四點(diǎn)形的調(diào)和性及其性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用。第三章 射影變換（一）課程內(nèi)容1一維射影變換2直射變換 3對(duì)射變換與配極（二）學(xué)習(xí)與考核要求本章是射影幾何的中心內(nèi)容和基礎(chǔ)理論，掌握透視對(duì)應(yīng)與射影對(duì)應(yīng)的關(guān)系，重點(diǎn)掌握一維射影對(duì)應(yīng)、一維射影變換和直射（二維射影）變換的概念、性質(zhì)、代數(shù)表達(dá)式及其求法；掌握一維射影變換及直射（二維射影）變換的不動(dòng)元素及其求法。掌握對(duì)合的表達(dá)式及求法與對(duì)合不動(dòng)元素及其求法。掌握配極的極點(diǎn)、極線的概念和求法；掌握配極原則的應(yīng)用、利用自極三點(diǎn)形化配極為標(biāo)準(zhǔn)形式。 第四章 二次曲線的射影理論（一）課程內(nèi)容1配極變換與二次曲線 2一維射影對(duì)應(yīng)與二次曲線 3二階曲線的影射分類(lèi) （二）學(xué)習(xí)與考核要求本章是以二次曲線為研究對(duì)象，重點(diǎn)講述二階曲線和二級(jí)曲線的概念和配極理論。要求熟練掌握二階曲線的切線、極點(diǎn)、極線的概念和求法；熟練掌握帕斯卡定理、布利安香定理及配極原則并能靈活應(yīng)用；理解二階曲線的射影分類(lèi)，并掌握利用射影坐標(biāo)變換化二階曲線方程為射影標(biāo)準(zhǔn)方程。第五章 射影幾何的子幾何（一）課程內(nèi)容1無(wú)窮遠(yuǎn)直線與仿射幾何2圓環(huán)點(diǎn)與歐氏幾何（二）學(xué)習(xí)與考核要求熟練掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和代數(shù)表達(dá)式；熟練掌握二階曲線的中心，直徑與共軛直徑，漸進(jìn)線等概念，能應(yīng)用有關(guān)定義、性質(zhì)和公式求解相關(guān)問(wèn)題。了解二階曲線的仿射分類(lèi)，熟練掌握利用仿射坐標(biāo)變換化二次曲線方程為仿射標(biāo)準(zhǔn)方程。注：本章考試內(nèi)容以第1節(jié)為主。三、 有關(guān)說(shuō)明（一）教材及參考書(shū)目：自學(xué)教材：羅崇善等編著，高等幾何，高等教育出版社，2006年。參考書(shū)目：高等幾何，梅向明，劉增賢等編，高等教育出版社，第二版。高等幾何，周興和，科學(xué)出版社，2003年版。自學(xué)和命題以考試大綱為主要依據(jù)，在掌握了考試大綱要求的內(nèi)容同時(shí)，以例題和習(xí)題為重點(diǎn)。（二）自學(xué)方法的指導(dǎo)本課程作為一門(mén)專(zhuān)業(yè)課程，綜合性強(qiáng)，自學(xué)者在自學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1本課程在學(xué)生具備初等幾何、解析幾何與高等代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何的基本知識(shí)，因此，自習(xí)前，要注意知識(shí)的積累與銜接。應(yīng)仔細(xì)閱讀課程大綱了解課程的性質(zhì)、地位和任務(wù)，熟悉課程的基本要求，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。2所配教材只是一個(gè)參考，自學(xué)中應(yīng)結(jié)合本課程大綱和參考書(shū)目，熟練掌握基本概念和方法的同時(shí)，能結(jié)合具體例子進(jìn)行練習(xí)和運(yùn)用，以達(dá)到本課程的要求。（三）對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求1應(yīng)熟知考試大綱對(duì)課程所提出的總的要求和各章的知識(shí)點(diǎn)。2對(duì)考生進(jìn)行輔導(dǎo)時(shí)，除了以指定的教材為基礎(chǔ)外，應(yīng)以考試大綱為依據(jù)，關(guān)注補(bǔ)充參考書(shū)目，注重提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。（四）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定1本大綱各章所提到的考核要求中，各條細(xì)目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到章，適當(dāng)突出重點(diǎn)章節(jié)，加大重點(diǎn)內(nèi)容的覆蓋密度。2試題難度結(jié)構(gòu)要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。3本課程考試試卷可能采用的題型有：填空題、作圖題、計(jì)算題、證明題（見(jiàn)附件題型示例）。4考試方式為閉卷筆試，考試時(shí)間為150分鐘，評(píng)分采用百分制，60分為及格。注：打 * 的章節(jié)不作要求。附錄：題型舉例填空題平行四邊形的仿射圖形是 平行四邊形 。作圖題 已知三點(diǎn)A、B、C，求作一點(diǎn)D，使（AB，CD）1（在圖中注明點(diǎn)D）。 解： D 即為所求 計(jì)算題例 已知四點(diǎn)。 1）將的坐標(biāo)