兩個(gè)統(tǒng)計(jì)總體的比較.docx

第六章總體的比較到目前為止我們已經(jīng)討論了來(lái)自一個(gè)單一樣本的數(shù)據(jù)分析。在許多環(huán)境下，我們需要比較2個(gè)或者多個(gè)總體。我們可以比較兩個(gè)生產(chǎn)過(guò)程的平均值以及方差，去看看其中一個(gè)過(guò)程是否比另一個(gè)更加一致或精確。我們可以比較一個(gè)新的過(guò)程和標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程，或者許多過(guò)程，去了解是否存在差異。在這一章中,我們將首先檢查兩個(gè)總體的比較問(wèn)題，然后通過(guò)方差分析(ANOVA)表提出一個(gè)通用程序來(lái)比較任意數(shù)量的總體。6.1 兩個(gè)一直均值和方差的比較假定我們有興趣比較兩個(gè)過(guò)程的平均值，其中我們認(rèn)為觀察值來(lái)自同一個(gè)總體。是來(lái)自第j總體的第i觀察值，是這個(gè)總體的平均值，表示第j個(gè)總體中第i個(gè)觀察值發(fā)生隨機(jī)誤差的概率。因此，這個(gè)問(wèn)題的模型：其中，我們通常假定這些錯(cuò)誤是獨(dú)立的，同時(shí)服從平均值為0以及方差為的正態(tài)分布。正在研究的過(guò)程 可能有不同的平均值，因?yàn)樗麄兇聿煌奶幚矸椒ǎ鐑煞N化學(xué)添加劑、兩個(gè)分析測(cè)量設(shè)備,或兩個(gè)操作計(jì)劃。由于方差已知，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量我們可以用中心極限定理比較不同的處理方法；讓， (6.1.1)其中是來(lái)自第j個(gè)處理方法的個(gè)觀察值得平均值，是已知的方差。為了保證這些觀察值得獨(dú)立性，它們是隨機(jī)抽取而獲得的。因此，統(tǒng)計(jì)量的方差是。為了測(cè)驗(yàn)0假設(shè)：=0（或者是其它的值），或者是為了計(jì)算的置信區(qū)間。我們只需要參考標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏差表。例 6.1 假設(shè)認(rèn)為通過(guò)改變高速鉆所在的冷卻液流動(dòng)速度可以使工具得壽命增加。為了檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)流動(dòng)速率（過(guò)程1）能夠得到7個(gè)觀察值，同時(shí)從新的流動(dòng)速率（過(guò)程2）中得到6個(gè)觀察值，所有的13種試驗(yàn)隨機(jī)排列。結(jié)果如下：由于-1.74比-1.645小很多(Pr(z-1.645) = 0.05),流動(dòng)度率對(duì)工件壽命無(wú)影響的假設(shè)不成立。這個(gè)推理是基于一個(gè)顯著性水平為5%單邊的假設(shè)檢驗(yàn)（I型錯(cuò)誤概率）。6.2 兩個(gè)方差的比較我們還可以檢驗(yàn)兩個(gè)方差是否相同。假設(shè)兩個(gè)來(lái)源的觀察值服從正態(tài)分布。其中一個(gè)處理過(guò)程比另一個(gè)更容易變化嗎？更精確或者可以重復(fù)使用嗎？要回答這些問(wèn)題，我們首先應(yīng)該估計(jì)每一個(gè)過(guò)程的方差，如下：每一個(gè)都服從分布，.為了檢驗(yàn)0假設(shè):,我們需要建立一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)。我們用分布去檢驗(yàn)一個(gè)獨(dú)立方差的假設(shè)。要檢驗(yàn)兩個(gè)方差的相等性，我們使用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，這個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)服從F分布。定義： 其中是含有2個(gè)變量的F分布。是所涉及比例的2個(gè)分布的自由度，雨分子相關(guān)和與分母相關(guān)由此可見(jiàn)：即，如果，服從的自由分布。因此，當(dāng)：（即=1），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)服從自由度為的F分布。圖 6.1 F分布從分布中期望獲得什么樣合理的值？一個(gè)處理左邊尾部的F分布的有用的關(guān)系式如下：例 6.2返回到例6.1中工具壽命的問(wèn)題，為比例方差建立一個(gè)90%的置信區(qū)間。假設(shè)估計(jì)的方差是：然后轉(zhuǎn)換不等式的符號(hào)：從F分布圖中可以看出，.0.067 1.45因此，我們能夠相信置信度為90時(shí)坐落于0.067和1.45之間。于是，可以接受的假設(shè)。比較兩個(gè)方差的標(biāo)準(zhǔn)近似法是把較大的值放在分子上，然后只測(cè)試：(其中).通過(guò)這種近似法，我們通過(guò)比較與相反的=4.39來(lái)檢驗(yàn)與：=1相反的。然后我們就可以接受。（這是一個(gè)單邊5%的測(cè)試，或者等價(jià)于一個(gè)雙邊10%的測(cè)試）。觀察值得正常假設(shè)可以用來(lái)構(gòu)建這種測(cè)試。通過(guò)比較不同的方差，偏離正態(tài)分布的方差可能引起重大的錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致接受不相等的方差作為相等的方差，反之亦然。因此，在比較方差的時(shí)候，因該多加注意，特別是在認(rèn)識(shí)與方差分布有關(guān)的問(wèn)題上。6.3 兩個(gè)未知的平均值和方差的比較當(dāng)兩個(gè)方差已知，在比較兩個(gè)過(guò)程方式的不同時(shí)，這兩個(gè)方差是否相等沒(méi)有區(qū)別。我們簡(jiǎn)單地計(jì)算出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)值，并把其與臨界值進(jìn)行比較。當(dāng)方差未知時(shí)，我們繼續(xù)像我們單一總體一樣處理；即，我們用估計(jì)值代替，用t代替z. 然而,正如我們將要看到的,不相等的方差導(dǎo)致某些額外的困難。我們應(yīng)該假設(shè)方差是相等的。這通常是一個(gè)合理的假設(shè)，因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差即是所涉及的錯(cuò)誤的方差，Var(xij) = Var ( + ) = Var ().盡管過(guò)程可能已經(jīng)被改變，我們通常還是用同樣的設(shè)備和程序來(lái)獲得數(shù)據(jù)，這些錯(cuò)誤有時(shí)會(huì)大于過(guò)程可變性中的偏差。6 .3. 1 t分布檢驗(yàn)，方差相等在比較2個(gè)總體的方法 上，其中，我們用下式：其中，是自由度為的t分布，因?yàn)檫@些自由度在因?yàn)檫@些自由度在聯(lián)合估計(jì)方差中；如果的假設(shè)成立，然后我們期望的觀察值盡可能的與不同。因此，同意參數(shù)的兩個(gè)獨(dú)立的估計(jì)是可用的,同時(shí)可以合并。由于在個(gè)體估計(jì)中有兩個(gè)自由度（即通過(guò)和所得的均值），所以聯(lián)合估計(jì)中有個(gè)自由度。如果，則在雙邊檢驗(yàn)的級(jí)數(shù)為5%時(shí)，假設(shè)不成立。然而，這一統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),對(duì)于測(cè)試任何假設(shè)是是完全通用的。注意，如果：,有Var是最小的當(dāng)這也可以認(rèn)為我們用來(lái)估計(jì)。因此，如果我們假定（已知或者未知），為了最小化Var()，選擇相等的樣本，因此可以縮短相應(yīng)的置信區(qū)間。如果，然后檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量減小為： (6.1.3)其中=n, 同時(shí)例6.3 再次考慮工具的壽命問(wèn)題 給出下面的結(jié)果，檢驗(yàn)。一個(gè)置信度為95%的置信區(qū)間是：然后這個(gè)95%的置信區(qū)間有：12.4 - 13.6 2.20 (0.66)-1.2 1.45(-2.65 0,b是分布的自由度。通過(guò)等價(jià)等式兩邊的前兩階矩，同時(shí)解出b,我們可以得到平均值檢驗(yàn)的近似臨界值。解出的值如下：因此，由于，所以服從一個(gè)分布。其中，分別用，則b的值就可以被估計(jì)出來(lái)， (6.1.6)注意：min () b .自由度的這種計(jì)算方法被稱作Satterthwaites Aperoximation，該方法一般可以應(yīng)用于將幾個(gè)方差獨(dú)立的估計(jì)結(jié)合成一個(gè)單一的總方差的估計(jì)。然而，在一些復(fù)雜的例子中，必須注意要保證估計(jì)方差之間相加而不是相減。在這樣復(fù)雜的例子中，建議你咨詢當(dāng)?shù)氐慕y(tǒng)計(jì)學(xué)家！例6.4 來(lái)自例6.2中工具壽命的數(shù)據(jù)或者是Satterthwaites Approximation 6.3.3確定樣本大小來(lái)比較兩個(gè)樣本的平均值在3.6節(jié)我們已經(jīng)討論過(guò)怎樣決定檢驗(yàn)一個(gè)類型I錯(cuò)誤和類型II錯(cuò)誤發(fā)生的概率的假設(shè)所需要的樣本大小。具體來(lái)說(shuō),我們演示了如何找到所需的樣本量n,以確保，當(dāng)一個(gè)平均值的錯(cuò)誤率不超過(guò)100%時(shí)，我們會(huì)拒絕一個(gè)真正的零假設(shè)，同時(shí)，當(dāng)錯(cuò)誤率不超過(guò)100 %，我們可以接受一個(gè)錯(cuò)誤的選擇性假設(shè)。如果分布的方差未知，可以從下式中直接確定所需樣本的大?。喝绻讲钗粗?，一個(gè)迭代過(guò)程可以應(yīng)用于t分布,或所需的樣本容量可以從表IX中查找。在處理比較兩個(gè)平均值的問(wèn)題上，我們同樣可以這么做。讓： 其中是我們用高的概率去檢測(cè)的平均數(shù)的差值（即當(dāng)是正確的概率比較小時(shí)，就接受）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)是：其中，對(duì)于，當(dāng)每個(gè)均勻的樣本大小都相等時(shí)時(shí)，的方差最小?，F(xiàn)在進(jìn)行與3.6.3節(jié)相同的程序，可以發(fā)現(xiàn)：例 6.5 假如我們希望檢測(cè)大小為的兩個(gè)平均值的差值，如果它存在的話，其中是兩個(gè)總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果我們?cè)试S拒絕零假設(shè)的錯(cuò)誤率是，同時(shí)想要檢測(cè)的準(zhǔn)確率是95%，即，然后有：也就是說(shuō)，如果我們想檢驗(yàn)單邊置信度為95%的以及當(dāng)概率為0.95時(shí)檢驗(yàn)，對(duì)于每一個(gè)均勻樣本，我們需要6個(gè)觀察值。如果方差未知，并通過(guò)獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，我們用t代替z,同時(shí)必須經(jīng)過(guò)迭代法獲得n.表X提供了這個(gè)例子中所需的樣本尺寸。當(dāng)，時(shí)，我們可以從表中找出n=7(對(duì)于每一個(gè)均勻樣本).所提供的相等的方差的條件不是最重要的考慮，其條件是來(lái)自于每個(gè)總體的樣本容量相同或者近似相同。然后，一個(gè)置信度為100y%的置信區(qū)間包含實(shí)際值的概率接近。對(duì)于相等的樣本容量，t分布對(duì)假設(shè)的相等方差的偏離程度是不敏感的。做出這個(gè)假設(shè)的理由是很充分的。6.4 配對(duì)t實(shí)驗(yàn)為區(qū)分平均值而進(jìn)行的一個(gè)非常大的方差估計(jì)不是一個(gè)不尋常的試驗(yàn)，因此，即使他們存在差異，我們也很難發(fā)現(xiàn)。這種情況與找一個(gè)未加工的高爾夫球不同！如果草方差很高,我們必須努力長(zhǎng)期的尋找(大的樣本容量)去尋找小球。如果我們能把草剪掉，我們有一個(gè)更好的機(jī)會(huì)找到我們所尋找的。經(jīng)常發(fā)生的是,不是即將要檢驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)單元中存在較大的方差，而是在處理的方法中。假設(shè)我們要比較一個(gè)特定類型的合金樣本的耐腐蝕性，未經(jīng)處理的樣本應(yīng)該進(jìn)行特定的化學(xué)方式處理。其中一組樣本進(jìn)行處理，另一組樣本不進(jìn)行處理，這能夠使我們演示一個(gè)比較腐蝕性的t分布的試驗(yàn)。然而如果樣本的耐蝕性觀察值各不相同，我們將無(wú)法知道是否存在差異，也就是說(shuō)試驗(yàn)不是非常的有效。如果合金樣本的容量很大足夠?qū)?jīng)過(guò)處理的和未經(jīng)過(guò)處理每組樣本進(jìn)行測(cè)試，將會(huì)怎么樣呢？處理過(guò)的未處理的 然后我們可以對(duì)每個(gè)實(shí)驗(yàn)單元的腐蝕性結(jié)果進(jìn)行比較（合金樣本）。通過(guò)成對(duì)的抽取不同的觀察值，比較兩個(gè)平均值的試驗(yàn)就會(huì)轉(zhuǎn)變成一個(gè)單獨(dú)整體的問(wèn)題。因，這個(gè)實(shí)驗(yàn)被稱作配對(duì)t實(shí)驗(yàn)。分析過(guò)程如下經(jīng)過(guò)處理的未經(jīng)過(guò)處理或者標(biāo)準(zhǔn)的差值. 我們要注意以下內(nèi)容：1、 自由度是n-1,而不是單個(gè)實(shí)驗(yàn)中的2（n-1）。其它的相等，自由度為2（n-1）的實(shí)驗(yàn)比自由度為n-1的實(shí)驗(yàn)更加有效。但是,所有的事情在這里是不平等的。通過(guò)比較每個(gè)實(shí)驗(yàn)單元的結(jié)果，我們減小樣本觀察值的方差，即已經(jīng)排除了單元或者塊之間的變化問(wèn)題。2、 對(duì)于每一種處理方法的樣本大小必須相等。3、 隨機(jī)變量之間的方差可能相等，也可能不相等，實(shí)際上有可能是相關(guān)的，。在這個(gè)事實(shí)的發(fā)展過(guò)程中，配對(duì)t實(shí)驗(yàn)有時(shí)候也叫做相關(guān)t實(shí)驗(yàn)。用配對(duì)t實(shí)驗(yàn)比較平均值的優(yōu)點(diǎn)是由于實(shí)驗(yàn)單元之間的差異，你可以忽略數(shù)據(jù)中的大量變量，因此也形成了一個(gè)更加有效的實(shí)驗(yàn)，假設(shè)一個(gè)大的變量存在。然而，一個(gè)重要的考慮是實(shí)驗(yàn)單元內(nèi)的處理方法的比較有一個(gè)自然基礎(chǔ)。自然配對(duì)的例子是測(cè)量值，而不是被指定為前后和有無(wú)這樣的條件，或者像把同一鋼錠用不同的設(shè)備分成兩等分這樣在同一實(shí)驗(yàn)單元中不同條件下所做的重復(fù)試驗(yàn)。如果你忽略了單元變量之間不存在的差異，由此產(chǎn)生的方差估計(jì)不會(huì)明顯減小，但你的t統(tǒng)計(jì)量的自由度將會(huì)減半為(n - 1),而更準(zhǔn)確的未配對(duì)的實(shí)驗(yàn)會(huì)有2(n - 1)個(gè)自由度。另一方面，如果因單元變量之間的差異過(guò)大不能忽略，則所導(dǎo)致的聯(lián)合估計(jì)方差也很高。兩個(gè)情況都會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)無(wú)效，即試驗(yàn)將會(huì)接受更多的零假設(shè)。然而有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則是，如果你懷疑一個(gè)單元塊對(duì)單元變量有影響，使用自由度盡可能多的配對(duì)t試驗(yàn)。結(jié)果導(dǎo)致的錯(cuò)誤要比沒(méi)有配對(duì)的要少，并做一個(gè)不恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。例6.6 為了檢驗(yàn)經(jīng)過(guò)特殊化學(xué)處理的樣本合金的耐腐蝕性，我們從合金試樣中隨機(jī)選取10個(gè)樣本。每個(gè)試樣的一半經(jīng)過(guò)處理，另一半不經(jīng)過(guò)處理。耐腐蝕性樣本：實(shí)驗(yàn)單元或者塊未處理的處理的差值樣本平均值112. 1 14. 72.613.40210.9 14.03. 112.45313. 1 12.9-0.213.00414.5 16.21.715.3559.6 10.20.69.90611.2 12.41.211.8079.8 12.02.210.90813.7 14.81.114.25912.0 11.8-0.211 .90109. 1 9.70.69.40 ，即，假設(shè)不成立。經(jīng)過(guò)處理的合金和未經(jīng)過(guò)處理的合金在耐腐蝕性方面是有差異的。經(jīng)過(guò)處理的合金的穩(wěn)定性顯著提高。6.5 t檢驗(yàn)的假設(shè)比較t檢驗(yàn)的時(shí)候涉及到三種基本假設(shè)，它們是：1） 正態(tài)假設(shè)2） 方差相等3） 相互獨(dú)立由于我們是處理平均值，中心極限定理允許我們假設(shè)服從正態(tài)分布。盡管樣本容量很?。╪4）,我們?nèi)匀恍鑼?duì)個(gè)體觀察值進(jìn)行正態(tài)假設(shè)；盡管其沒(méi)有真正的實(shí)際作用。在它產(chǎn)生任何有實(shí)質(zhì)性的結(jié)果之前，必須讓偏離常態(tài)的程度極端化。我們已經(jīng)聲明將t檢驗(yàn)應(yīng)用于不相等方差的理由是充分的。相等方差 的假設(shè)的一個(gè)解決方法是使用一個(gè)配對(duì)t檢驗(yàn)。另一個(gè)方法是使用大小相等的樣本去最小化出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論的幾率。然而，第三個(gè)假設(shè)，觀察值的獨(dú)立性，也是很重要的。（在一個(gè)配對(duì)t檢驗(yàn)中，差值也是獨(dú)立的）。為了保證獨(dú)立性，應(yīng)該進(jìn)行隨機(jī)化抽樣。也就是說(shuō)，像擲硬幣或者使用一個(gè)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器一樣，要隨機(jī)的抽取觀察值。我們需要選擇一個(gè)適用于特定的隨機(jī)響應(yīng)的處理方法。在一個(gè)配對(duì)t檢測(cè)中，我們要隨機(jī)的選取要檢驗(yàn)的單元，同時(shí)要隨機(jī)選取一種首先被實(shí)用的處理方式（或者對(duì)于單元的一邊）。6.6 k個(gè)方差的比較現(xiàn)在我們討論比較兩個(gè)以上的總體的問(wèn)題。為了比較兩個(gè)以上的方差之間可能存在的差異，有以下幾種可行的方法，每一種方法都有難度：1. 哈特利的測(cè)試max-f試驗(yàn)對(duì)于k個(gè)總體以及，其中每個(gè)都有自由度，計(jì)算：臨界值已經(jīng)被列入到各種各樣的表格中，同時(shí)k處于5%和1%的水平。然而，這些表格不是現(xiàn)成的。有一個(gè)來(lái)源是歐文的統(tǒng)計(jì)手冊(cè)表，24。這種方法的一個(gè)額外的缺點(diǎn)是，對(duì)于每一個(gè)方差估值，最大的F分布會(huì)對(duì)相等的自由度產(chǎn)生限制。2. 科克倫測(cè)試這個(gè)測(cè)試是為了確定k個(gè)方差估計(jì)值中的某一個(gè)和其它的值是否在一直線上。所有的估計(jì)值必須有相等的自由度，同時(shí)一個(gè)估計(jì)值可以控制其它的值。同時(shí)，這個(gè)試驗(yàn)需要一個(gè)特殊的表而這個(gè)表不是現(xiàn)成的。見(jiàn)Dixon 和 Massey 8表A-17.3. 巴特利特的同性方差試驗(yàn)這個(gè)測(cè)試很普通，因?yàn)樗灰笏蟹讲畹淖杂啥榷枷嗟?。然而，它存在一個(gè)對(duì)正態(tài)假設(shè)的敏感度的問(wèn)題，同時(shí)他的計(jì)算也是很繁瑣的。它可以被編程,而且只需要使用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的X表。對(duì)于k個(gè)自由分布的總體，有，其中，。例 6.7 4個(gè)方差的比較 K=4 正態(tài)總體 沒(méi)有證據(jù)證明方差不相等。6.7 k個(gè)平均值的比較來(lái)自正態(tài)總體的任何數(shù)量的數(shù)據(jù)分析都可以通過(guò)方差分析表進(jìn)行總結(jié)，或者通過(guò)ANOVA表進(jìn)行簡(jiǎn)短的總結(jié)，或者用一個(gè)模型去代替這些情況。模型總是出現(xiàn)在數(shù)據(jù)分析中，但不幸的是常常沒(méi)有被寫(xiě)出來(lái)。然而他也沒(méi)有被隱藏在那里。在開(kāi)始進(jìn)行k個(gè)平均值得比較之前，這對(duì)于我們檢驗(yàn)類似于檢驗(yàn)單個(gè)平均值以及比較兩個(gè)平均值這種簡(jiǎn)單問(wèn)題的ANOVA表示有利的。6.7.1 方差分析的檢驗(yàn) 對(duì)于來(lái)自單個(gè)樣本的觀察數(shù)據(jù)，模型如下：, (6.7.1)其中-是x的平均值，同時(shí)，i=1,2,n.平方和可以被看成是對(duì)數(shù)據(jù)中總信息量的測(cè)量。這可以分割成兩部分：其中是估計(jì)均值中的信息占有量。信息仍然需要去衡量，-是錯(cuò)誤所導(dǎo)致的，此式除以n-1,可以得到，也就是方差。這種形式叫做殘差平方和，因?yàn)榭傮w平均值估計(jì)之后剩下的殘余值。殘差值可以用于估計(jì)在獲取樣本觀察值生發(fā)生的錯(cuò)誤。平方和，一般用于數(shù)據(jù)中總變量的測(cè)量，同時(shí)也包含了觀察值中所有變量的來(lái)源。定義根據(jù)被檢查 的模型，方差分析是零部件中總變異性的分區(qū)。然后可以確定出這些零部件對(duì)數(shù)據(jù)中總變異性的重要作用。從模型(6.7. 1)可以看出，ANOVA表對(duì)分析做出了總結(jié)，如下：表6.1 的ANOVA表來(lái)源平方和自由度平均方差總和n平均值（CF）1殘余值或者誤差值n-1其中平方均值是平方和除以自由度得到的，同時(shí)被用于估計(jì)方差函數(shù)。為了檢驗(yàn)假設(shè)，我們要首先算出的期望值，已知Var因此，如果成立，我們會(huì)發(fā)現(xiàn) 的估計(jì)值是。剩余平方和除以自由度叫做剩余或誤差均方，并且實(shí)際上估計(jì)值，是最好的最公正的估計(jì)。除了隨機(jī)誤差，殘差變量沒(méi)有其它來(lái)源。因此，如果，和殘差均方應(yīng)該和估計(jì)值同時(shí)存在。我們可以通過(guò)F檢驗(yàn)值檢驗(yàn)這種假設(shè)，其中：也就是說(shuō)，在假設(shè)的情況下，對(duì)的檢驗(yàn)已經(jīng)在兩個(gè)獨(dú)立估計(jì)的相等性試驗(yàn)中給予了解答?！咀⒁猓和ㄟ^(guò)Cov，可以看出在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的，其中Cov表示兩個(gè)隨機(jī)變量的方差。】如果計(jì)算所得的F值比臨界值大，則假設(shè)不成立?！咀⒁猓骸?。例 6.8 冶金實(shí)驗(yàn)室有來(lái)自于經(jīng)過(guò)電弧熔煉過(guò)程產(chǎn)生的一個(gè)鋯合金的五個(gè)觀察值，鋯合金樣本的重量分別是：90, 91, 93, 90, 和 94。ANOVA來(lái)源平方和自由度平均方差總和5平均值（CF）141952.8殘余值或者誤差值13.24（估計(jì)均值）平均值是91.6，方差是3.3。均值顯著性的F檢驗(yàn)是41952.8/3.3，同時(shí)也是很重要的。這和T檢驗(yàn)是等價(jià)的。當(dāng)一個(gè)F或者T檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)時(shí)，我們說(shuō)所估計(jì)的參數(shù)是明顯不同于假設(shè)值的。在這個(gè)例子中，平均值顯然不同于0.6.7.2 通過(guò)方差方差分析來(lái)比較k個(gè)均值一個(gè)更有趣的問(wèn)題是兩個(gè)或者兩個(gè)以上的均值是否相等。和這個(gè)問(wèn)題有聯(lián)系的模型是： （6.7.2）即，來(lái)自于第j個(gè)總體有個(gè)觀察值，并且假定所有的總體方差相等。我們可以重新把這個(gè)模型寫(xiě)作：其中是總體的平均值，是 對(duì)已經(jīng)來(lái)自于第j個(gè)總體的響應(yīng)所產(chǎn)生的額外影響。通常被叫做處理效果。定義，一個(gè)線性約束，存在于處理方法中。由于對(duì)于所有的總體是通用的，所以檢驗(yàn)和檢驗(yàn)是等價(jià)的。我們可以按照以前的方法進(jìn)行，同時(shí)根據(jù)總均值，我們也可以找出平方和，即。這就是通常所說(shuō)的校正因子。剩余或者改正過(guò)的平方和是。這仍然包含一個(gè)來(lái)自于不同處理效果的變量源?？偲椒胶涂梢詣澐秩缦拢憾x：，然后， 其中第一步是剩余平方和，第二步是對(duì)平方和的處理，最后一步是矯正因子（由于平均值）。則ANOVA將變成：表6.2 用于比較k個(gè)平均值的ANOVA表來(lái)源平方和自由度平均方差EMS總和N平均值（CF）1修正總值N-1處理值SSTk-1殘余值或者誤差值SSEN-k由于總體均值的差異或者僅僅由于處理結(jié)果，所處理的平方和代表數(shù)據(jù)的可變性，總體均值的估計(jì)就是樣本均值；超過(guò)大均值的總體效應(yīng)估計(jì)是。從附錄D中可以看出處理方式中均方值得期望值，其中是實(shí)際處理效果。由于通過(guò)定義，這里的自由度是k-1而不是k。這種線性對(duì)比限制了估計(jì)的一個(gè)自由度。當(dāng)然，參與方差均值，或者聯(lián)合估計(jì)是不偏不倚的。處理方差均值可以看作是處理變量和殘余方差均值之間的估計(jì)，其中估計(jì)在假設(shè)條件下的方差處理內(nèi)估計(jì)，假設(shè)條件為：，對(duì)于所有的j都是相同的。方差比如下：這是對(duì)假設(shè)的一種檢驗(yàn)，其中這些方差估計(jì)是兼容的，反過(guò)來(lái)說(shuō)是對(duì)零假設(shè)的檢驗(yàn)，對(duì)于所有的j。如果,我們可以預(yù)算所計(jì)算的F 值小于臨界值。如果值更大，我們說(shuō)假設(shè)不成立，此時(shí)所有的處理值相等。一般來(lái)講，處理方法的均值可以和其他存在的變量源作比較，而這些變量源被忽略了，不在分析報(bào)告之中。例如配對(duì)t檢驗(yàn)?？紤]到模型： （6.7.4） j=1.2k i=1.2.n其中代表分區(qū)效應(yīng)，并且一般情況下可以代表一個(gè)或者更多的效應(yīng)，其中每一個(gè)都可以被獨(dú)自分開(kāi)。ANOVA表可以總結(jié)如下：來(lái)源平方和自由度平均方差EMS總和N平均值（CF）1修正總值N-1處理值SSTk-1MS(處理)限制值SSBn-1MS(限制)殘余值或者誤差值SSE通過(guò)減法運(yùn)算得到(n-1)(k-1)和上面