五年級奧數集訓專題講座(一)-----有趣的平均數問題.doc

精品文檔 五年級奧數集訓專題講座（一） -有趣的平均數問題主講：譚發(fā)佳我們研究平均數問題，首先要掌握以下基本數量關系： 總數量總份數=平均數 平均數總份數=總數量 總數量平均數=總份數。在總數量不變情況下“移多補少”，得到平均數是解決這類題的重要思想和解題思路，找準總數量與對應的總份數是難點。1. 修路隊修兩條公路，第一條路長900米，用10天修完，第二條路的長比第一條的2倍多100米，用的時間是第一條的1.8倍，這個修路隊，修完這兩條公路平均每天修多少米？分析：要想求出結果，就要先求出兩條路的總長（總數量），再求出修完這條公路共需要的天數（總份數）和平均數。解:(9009002100)(10101.8) 280028100(米)答：修完這兩條公路平均每天修100米。例2. 一個水果店三種水果的單價平均是1.6元，已知香蕉比蘋果貴0.2元，比柚子便宜0.5元，請你算一算每種水果的單價多少元。分析：這是一道平均數問題逆向思考題，根據已知條件給出平均價錢是1.6元，這樣就可以求出三種水果單價和的錢數，即1.6=4.8（元），在此基礎上再根據三種水果單價的數量之間的關系，運用假設思想求出問題的答案，可以用下面的線段圖表示上述關系。解：(1.630.20.5)34.5315(元)1.50.21.3(元)1.50.52(元)答：香蕉單價是1.5元，蘋果單價是1.3元，柚子的單價是2元。想一想，如果假設和蘋果單價一樣多，該怎樣列式？例3.五名裁判給一名運動員評分，去掉一個最高分和一個最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一個最高分，均分為9.46分；如果只去掉一個最低分，均分為9.66分。求這名運動員的最高得分和最低得分分別是多少？分析:該題實質上是已知部分數的平均數,求個別數.依題意:去掉最高分和最低分后,該運動員的總得分為:9.583(分);去掉最高分后,該運動員的總得分為:9.464(分);去掉最低分后,該運動員的總得分為:9.664(分);因此,該運動員的最高分為:9.664-9.583=9.1(分)例4一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙地,到達乙地后,又以每小時60千米的速度從乙地返回甲地,求這輛汽車往返一次的平均速度.分析:往返一次的平均速度=往返一次的總路程往返一次的總時間.這一數量關系是正確解答這道題的關鍵.由于往返一次的總路程題目沒有告訴我們,我們不妨假設甲地到乙地的路程為S千米.所以:S2( S100+S60) （請根據提示試著思考并解答）我也能行1甲、乙兩數的平均數是1.58，再加上丙則平均數是3.52，丙數是多少？2在爬山活動中，李林同學上山的速度為每小時0.24千米，6小時到達山頂，然后又以每小時0.4千米的速度沿原路下到山底，請算一算他上、下山的平均速度是多少3甲乙兩數和是194，如果再加上丙數，這時平均數比甲乙兩數平均數多2，丙數應是多少？4玲玲和明明的平均年齡是12歲，明明和林林的平均年齡是14歲，玲玲和林林的平均年齡是15歲，三人中年齡最大的是誰？最小的是誰？5.甲、乙兩數的平均數是3.21，丙數是2.64，若再加進丁，則四個數的平均數是3.6，丁是多少？6.五個裁判給一個選手打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最高分，則該選手平均分是91.5分，請你算一算最高分與最低分相差幾分？7小丁上學期數學測驗前4次的平均成績是88分，第五次測驗后，平均成績提高到90分，第五次他考了多少分？8.有四個數，用其中三個數的平均數，再加上另外的一個數，按這樣的方法計算，分別得到：28、36、42、46，那么原來四個數的平均數是多少？四面年級奧數集訓專題講座（二）盈虧問題主講：譚發(fā)佳盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后又會不足（虧），求物品的數量和分配對象的數量。例如：把一袋餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊，；如果每人分4塊，少8塊，小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況，就是這們通常說的標準的盈虧問題。標準盈虧問題的基本數量關系式：（盈+虧）兩次分配之差參與分配對象總數； 每次分得的數量份數盈總數量； 每次分得的數量份數虧總數量還有一些非標準盈虧問題，如：1、兩盈：兩次分配都有余。數量關系式為：（大盈小盈）兩次分配差參與分配對象總數2、兩虧：兩次分配都不夠。數量關系式為：（大虧小虧）兩次分配差參與分配對象總數 例1：（一盈一虧問題）一個植樹小組，如果每人植5棵，還剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹？ 分析：由題意可知，植樹的人數和棵數是不會變化的，只是兩次分配的方案不一樣，結果就差了18棵，即第一種方案的結果比第二種多18棵，這是因為兩種分配方案每人植樹棵數相差7-52（棵），所以根據一盈一虧解答此題就非常簡單了。 人數：（144）（75）2（人） 棵數：591459（棵） 答：這個植樹小組一共有9人，一共有59棵樹。 【鞏固練習1】：幼兒園把一些積木分給小朋友，如果每人分2個，則剩下20個；如果每人分3個，則差40個。幼兒園有多少個小朋友？一共有多少個積木？例2：（兩虧問題）學校將一批鉛筆獎給三好學生。如果每人獎9支，則缺45支；如果每人獎7支，則缺7支。三好學生有多少人？鉛筆有多少支？ 分析：這是兩虧問題，由題意可知，三好學生人數和鉛筆支數是不變的。根據兩虧關系可知人數：（457）（97）19（人） 鉛筆：91945126（支）答：三好學生有19人，鉛筆有126支。 【鞏固練習2】：將月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，則缺少15朵；如果每瓶改為插6朵，則缺少1朵，求花瓶的只數和月季花的朵數？ 例3：（兩盈問題）有一些少先隊員到山上種一批樹。如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種。問有多少名少先隊員？有多少棵樹？（根據兩盈問題請自己分析解答） 例4：（盈虧轉化）學校給一批新入學的學生分配宿舍。如果每個房間住12人，則34人沒有位置；如果每個房間住14人，則空出4個房間。求學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？分析：“把每個房間住14人，則空出4個房間”轉化為“每個房間住14人，則少144=56（人）后，就得到標準盈虧問題，這樣就好解答了。房間數：（34144）（1412）=45（間） 人數：124534=574（人） 答：學生宿舍有45間，學生有574人。我也能行1、某班安排宿舍，如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個床位。問有宿舍多少間？學生多少人？2、王老師給美術興趣小組的同學分發(fā)圖畫紙。如果每人發(fā)5張，則少32張；如果每人發(fā)3張，則少2張。美術興趣小組有多少名同學？王老師一共有多少張圖畫紙？3、小虎在敵人窗外聽里邊在分子彈：一人說每人背45發(fā)還多260發(fā)；另一個說每人背50發(fā)還多200發(fā)。求有多少敵人？有多少發(fā)子彈？4、崔老師給美術興趣小組的同學分若干支彩色筆。如果每人分5支則多12支；如果每個人分8支還多3支。請問每人分多少支剛好把彩色筆分完？5、某校有若干個學生寄宿學校，若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問宿舍有多少間？住宿學生有多少人？6、學校分配學生宿舍。如果每個房間住6人，則少2間宿舍；如果每個房間住9人，則空出2個房間。問學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？7、小強從家到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘，如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強從家到學校的路程是 米（選自北京市第四屆“迎春杯”刊賽） 8、買來一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友。如果每人分5個蘋果，那么還剩 余32個；如果每人分8個蘋果，那么還有5個小朋友分不到蘋果。這批蘋果的個數是_。選自小學數學奧林匹克預賽A卷五年級奧數集訓專題講座（三）倍數問題主講：譚發(fā)佳倍數問題是整個小學階段很重要的一個問題，我們研究倍數問題主要從“和倍、差倍、和差”這三個方面來研究。解答倍數問題我們要理解以下數量關系式：和（倍數1）=小數 小數倍數=大數（和小數=大數）差（倍數1）=小數 小數倍數=大數（小數差=大數）（和差）2=小數 小數差=大數（和小數=大數）（和+差）2=大數 大數差=小數（和大數=小數）例1：三個筑路隊共筑路1360米，甲隊筑的米數是乙隊的2倍，乙隊比丙隊多240米，三個隊各筑多少米？分析：把乙隊的米數看作“1”份，甲隊筑的米數是這樣的2份，假設丙隊多筑240米，三個隊共筑了1360+240=1600（米），正好是乙隊的4倍，所以用和倍問題來解答就很容易了。乙隊：（1360+240）（2+1+1）=400（米）甲隊：4002=800（米 丙隊：400160=240（米） 答：甲隊筑了800米，乙隊筑了400米，丙隊筑了240米?！眷柟叹毩暋浚喝齻€植樹隊植樹1900棵，甲隊植樹的棵數是乙隊的2倍，乙隊比丙隊少植300棵，三個隊各植了多少棵？ 例2：師徒兩人加工同樣多的一批零件，師傅加工了102個，徒弟加工了40個。這時徒弟剩下的個數是師傅剩下的3倍，師傅要加工多少個零件？分析：徒弟比師傅少加工了10240=62（個），相當于師傅剩下的31=2倍。 （10240）（31）=31（個） 31+102=133（個） 答：師傅要加工133個零件?！眷柟叹毩暋浚簝煽鹬亓肯嗟鹊睦?，甲筐取出18千克，乙筐取出6千克，這時乙筐是甲筐重量的3倍，兩筐梨原來各重多少千克？ 例3：甲、乙兩個倉庫共有大米800袋，如果從甲倉庫取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋，求兩個倉庫原來各有多少袋大米？ 分析：“從甲倉庫取出25袋放入乙倉庫，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋”從這句話可得知，甲倉庫比乙倉庫實際要多2528=58（袋） 甲： 800+（2528）2=429（袋） 乙：800429=371（袋）答：甲倉庫原有429袋，乙倉庫原有371袋?！眷柟叹毩暋浚簝苫\雞蛋共19只，若甲籠再放入4只，乙籠中取出2只，這時乙籠比甲籠雞蛋還多1只，求甲、乙兩籠原來各有多少只雞蛋？ 例4：小東的圖書中有58本不是故事書，有42本不是科技書，小東故事書和科技書共有60本，小東科技書有多少書？分析：這是一個和差問題，知道科技書和故事書的和，關鍵是求出它們的差，從題中“58本不是故事書”，就應該是科技書與其它書的和；“42本不是科技書”，就應該是故事書與其它書的和，所以科技書與故事書的差是：5842=16（本）60+（5842）2=38（本） 答：小東的科技書有38本。我也能行1、三個數的和是1540，甲數是丙數的7倍，乙數比甲數多40，三個數各是多少？ 2、三個小朋友折紙飛機，小晶比小亮多折12架，小強比小亮少折8架，小晶折的是小強的3倍，求三個人各折紙飛機多少架？ 3、趙叔叔沿長和寬相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的準備活動時，共跑了1080米，問游泳池的長和寬各是多少米？ 4、一片松樹林里有很多種樹，有1500棵樹不是松樹，1200棵樹不是楊樹，松樹、楊樹共700棵，楊樹有多少棵？ 5、爸爸今年43歲，兒子今年11歲，幾年后爸爸的年齡是兒子的3倍？ 6、媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和是39歲，問媽媽、女兒今年各是多少歲？ 7、兩個數相除，商4余1，被除數、除數、商和余數的和是156，被除數、除數各是多少？8、兩個數的和是94，有人計算時將其中一個加數個位上的0漏掉了，結果算出的和是31，求這兩個數。9、甲、乙、丙三數的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三數各是多少？五年級奧數集訓專題講座（四）分解質因數主講：譚發(fā)佳把一個合數，用質因數相乘的形式表達出來，叫做分解質因數。我們課本上介紹的分解質因數，是為求最大公約數和最小公倍數服務的。其實，把一個數分解成質因數相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。 例1：把18個蘋果平均分成若干份，每份大于1個，小于18個，一共有多少種不同的分法？ 分析：18的約數有1、2、3、6、9、18。除去1和18，還有4個約數，所以，一共有4種不同的分法。 例2：寫出若干個連續(xù)的自然數，使它的積是15120。 分析：先把15120分解質因數，進而組合因數，使幾個因數成為連續(xù)的自然數。 15120=222233357 =5（23）（222）（33） =56789【鞏固練習】：有四個孩子，恰好一個比一個大1歲，4人的年齡積是3024，問這4個孩子中最大的幾歲？例3：將2、5、14、24、27、55、56、99八個數平均分成兩組，使這兩組數的乘積相等。分析：14=27 24=2223 27=333 55=511 56=2227 99=3311 2 5 可以看出，這八個數中，共含有八個2，六個3，二個5，二個7和二個11，如果要把這八個數分成兩組且積相等，那么，每組數中應含有四個2，三個3，一個5，一個7，一個11。經排列為（5、99、24、14）和（55、27、56、2）【鞏固練習】：把40、44、45、63、65、78、99、105這八個數平均分成兩組，使兩組四個數的積相等。例4：下面的算式里，里數字各不相同，求這個四個數字的和。=1995 分析：要使兩個兩位數的積等于1995，那么，這兩個數的積應和195有相同的質因數。所以，先分解1995。1995=35719，可以有3557=1995和2195=1995，因為要滿足“數字各不相同”的條件，所以取2195=1995。這四個數字的和就是2+1+9+5=17?！眷柟叹毩暋浚合旅嫠膹埿〖埰魃w住一個數字，如果這四個數字是連續(xù)的偶數，請寫出這個完整的算式。 =1288例5：有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是143，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少 ？分析：長方體的正面面積=長高，上面面積=長寬，這兩個面積之和是長高+長寬=長（寬+高）=143。因為長、寬、高都是質數，而143=1113，所以：長=13，寬+高=11，或者：長=11，寬+高=13。 13=2+11，而11=2+9（不合題意）所以，長方體的體積應該為：11112=242注意：長、寬、高都為質數，寬+高只能是一個偶質數+一個奇質數，想一想，為什么？我也能行1、95個同學排成長方形做操，行數與列數都大于1，共有幾種排法？2、 寫出若干個連續(xù)自然數，使它們的和是1680。3、60個同學分組排隊去游覽，每組人數要一樣多，每組不少于6人，不多于15人，有幾種分法？怎樣分？4、有一個長方形，它的長、寬、高是三個連續(xù)的自然數，體積是3360立方厘米，求它的表面積？5、把30、33、42、52、65、66、67、78、105九個數平均分成三組，每組的數相乘積相等，寫出這三組數。6、甲數比乙數大9，兩個數的積是792，求甲、乙數分別是多少？7、四個連續(xù)奇數的積是19305，這四個奇數各是多少？8、有四個孩子，恰好一個比一個大1歲，4人的年齡積是3204，問這四個孩子中最大的幾歲？9、有三個自然數a、b、c，已知ab30，bc35，ca42，求abc的積是多少？10、兩個兩位整數的積是6232，這兩個數中較大的數是多少？11、小明問小強：你射擊三槍，共中幾環(huán)？小強：一二槍的環(huán)數乘積時48；二三槍的環(huán)數乘積時72；一三槍的環(huán)數乘積時54。小強三槍共射中多少環(huán)？12、翻開數學書，看見兩頁，頁碼的積是1806，求這兩頁的頁碼是多少？五年級奧數集訓專題講座（五）最大公約數主講：譚發(fā)佳回憶：什么叫公約數及最大公約數？自然數a、b最大公約數可以記作（a，b）如果（a，b）=1，則a、b是（ ）。求幾個數的最大公約數可以用（ ）和（ ）方法。例：一張長方形的紙，長分米厘米、寬分米?，F(xiàn)在要把它裁成一塊塊正方形，而且正方形邊長為整厘米數，有幾種裁法？如果說要使裁得的正方形面積最大，可以裁成多少塊？分析：分米厘米75厘米，分米60厘米，因為裁成的正方形的邊長必須能同時整除75厘米和60厘米，所以邊長是75和60的公約數，它們的公約數有、15，所以有種裁法。如果要使正方形面積最大，那么邊長也要最大，最大為15。所以可以裁：（7515）（6015）15（塊）或 (7560)(1515)=20(塊)答:有4種裁法,可以裁20塊.【鞏固練習】：將一塊長80厘米,寬60厘米的長方形土地分成面積相等的小正方形。問：小正方形的面積最大是多少?例2:一個數除200余4,除300余6,除500余10.求這個數最大是多少?分析:一個數除200余4可以轉化為196(200-4)能被這個數整除,另兩個條件可以轉化為294和490都能被這個數整除,求這個數最大是多少,也就是求196,294,490的最大公約數是多少。(196,294,490)=98 答:這個數最大是98。【鞏固練習】：如果把110塊糖平均分給五（1）班，則多5塊，如果把210塊平均分給這個班，則正好分完，如果把240塊糖平均分給這個班，則少5塊，五（1）放最多有多少名同學？ 例3：把長132厘米，寬60厘米，高36厘米的木料，鋸成盡可能大的同樣大小的正方體木塊，求正方體的棱長和鋸成的塊數。 分析：鋸成的正方體的棱長是長方體長、寬、高的最大公約數。 （132，60，36）=12 所以正方體的棱長是12厘米。 正方體的塊數為：（13212）（6012）（3612）=165（塊） 請思考用其它方法【鞏固練習】：一個長方體木塊的長是4分米5厘米，寬3分米6厘米，高2分米4厘米，要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，求所切的正方體的棱長最長是多少？可以切成多少塊？ 例4：一條道路由甲村經乙村到丙村。甲、乙兩村相距450米，乙、丙兩村相距630米?，F(xiàn)在準備在路邊栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的距離相等，并且甲、乙兩村的中點和乙兩兩村的中間都要栽上樹，那么相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？分析：由于甲、乙兩村的中點和乙丙兩村的中點都要種上樹，也就是相當于要把4502=225米處和6302=315米處要種上樹，也就是把225米和315平均分成若干段，而且距離最大，即求225和315的最大公約數。 （225，315）=45 答：相鄰兩棵樹之間的距離是45米。我也能行1、有三根鋼管，它們的長度分別是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它們截成同樣長的小段，且不許有剩余，每小段最長可以是多少厘米？2、一個數除150余6，除250余10，除350余14，這個數最大是多少？3、有一個自然數a，它符合下面的條件，a能整除112，a除38余2，102減去2也能被a整除，求a最大是多少？4、有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？每份禮物中3種水果各有多少個？5、在長60米，寬54米的長方形的花圃的各邊上以最大且相等的距離種桃樹，每兩棵桃樹之間5棵月季花，共種月季花多少棵？6、36支鉛筆，40個本子，平均獎給幾位優(yōu)秀學生，結果多出1支鉛筆，差2個作業(yè)本，問有幾位優(yōu)秀學生？7、一條公路由A地經B地到C地，已知AB兩地之間相距600米，BC兩地之間相距780米，現(xiàn)在路邊種樹，要求相鄰兩棵樹之間的距離相等，并且在B地以及AB、BC的中點上都要種一棵，那么相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？思考：甲、乙兩個數的乘積是3072，它們的最大公約數是16，求甲、乙兩數。提示：甲、乙兩數是16的倍數，設甲數16=a，乙數16=b?？芍?，a與b是互質的甲乙=16a16b五年級奧數集訓專題講座（六）最小公倍數主講：譚發(fā)佳回憶：1、什么叫公倍數及最小公倍數？2、自然數a、b的最小公倍數可以記作a、b，當（a、b）=1時，a、b=ab。3、兩個數的最大公約數最小公倍數=兩數的乘積例1：一塊磚長20厘米，寬12厘米，高6厘米，要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？ 分析：把若干個長方體堆成正方體，它的棱長是長方體長、寬、高的公倍數，現(xiàn)在要求長方體磚塊最少，它的棱長應是長方體長方體長、寬、高的最小公倍數。要多少塊磚，即用正方休的體積除以長方體的體積。 20，12，6=60 606060（20126）=150（塊） 答：至少需要這樣的磚頭150塊?！眷柟叹毩暋浚河瞄L9厘米，寬6厘米，高7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要用這樣的長方體多少塊？ 例2：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一點同時同方向跑步，經過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)？ 分析：甲跑一圈需要6003=200（秒） 乙跑一圈需要6004=150（秒）丙跑一圈需要6002=300（秒）。要使三人再次從出發(fā)點一齊出發(fā)，經過的時間一不定期是200、150、300的最小公倍數，200、150、300=600，所以，經過600秒后三人又同時從出發(fā)點出發(fā)。【鞏固練習】：一環(huán)形跑道長240米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少經過幾分鐘后三人再次從原出發(fā)點同時出發(fā)？ 例3：有一個自然數，被10除余7，被7除余4，被4除余1。這個自然數最小是多少？ 分析：條件轉化一下：把這個數增加3，就恰好可以被10、7、4整除，即10、7、4的最小公倍數，然后減去3就能得到這個所求的數了！ 10、7、4=140 1403=137 答：這個數最小是137。 【鞏固練習】：學校六年級有若干個同學排隊做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人，六年級最少有多少人？例4：從學校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距60米，除兩端兩根不需移動外，中途還有多少根不必移動？分析：從學校到少年宮的這一段路長50（371）=1800（米）從路的一端開始，是50和60的公倍數處的電線桿不必移動。它們的最小公倍數是300，所以從第一根開始，每隔300米就有一根不必移動。1800300=6（根）去除最后一根，就有5根。 50、60=300 50（37-1）300-1=5（根） 答：中途有5根不必移動。我也能行 1、有200塊長6厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成一個盡可能大的正方體，這個正方體的體積是多少立方厘米？ 2、有一條長400米的環(huán)形跑道，甲、乙二人同時同地出發(fā)，反向而行，1分鐘后第一次相遇；若二人同時同地出發(fā)，同向而行，則10分鐘后第一次相遇，已知甲比乙快，求二人的速度。 3、有一批水果，總數在1000個以內，如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后一箱還差2個；如果第32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個？ 4、食堂買回一些油，用甲種桶裝最后一桶少3千克，用乙種桶裝最后一桶只裝了半桶油，用丙種桶裝最后一桶少7千克。如果甲桶能裝8千克，乙種桶每桶能裝10千克，丙種桶每桶能裝12千克，那么，食堂至少買回多少千克油？ 5、有一批樹苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，這批樹苗數在150200之間，求共有多少棵樹苗？ 6、一行小樹苗，從第一棵到最后一棵的距離是90米，原為每隔2米植一棵樹，由于小樹長大了，必須改為每隔5米植一棵。如果兩端不算，中間有幾棵不必移動？ 7、兩個數的最大公約數是15，最小公倍數是90，求這兩個數分別是多少 ？五年級奧數集訓專題講座（七）包含與排除主講：譚發(fā)佳包含與排除問題其實也叫容斥問題。即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復的計數，應從他們的和中排除重復部分。如：集合A加集合B組成一個新的集合C，再計算C的元素時為：C=A+B-ABAABB（韋恩圖）例1：一個班有 48 人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有 37 人舉手。又問：誰做完數學作業(yè)？請舉手！”有 42 人舉手。最后問：“誰語文、數學作業(yè)沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數學作業(yè)都完成的人數?！舅悸穼Ш健咳鐖D所示，完成語文作業(yè)的有 37 人，完成數學作業(yè)的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人數，這是因為語文、數學作業(yè)都完成的人數在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數時算過一次，在統(tǒng)計做完數學作業(yè)的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數學作業(yè)都完成的有： 7948 = 31（人）37 + 4248=31（人）答：語文、數學作業(yè)都完成的有 31 人。想一想：下面算式有何道理？( l ) 37（48 42 ) = 31 （人） ( 2 ) 42 （ 48 37 ）= 31 （人）【瘋狂操練】：(1）五年級有 122 名學生參加語文、數學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有 65 人，數學優(yōu)秀的有 87 人。語文、數學都優(yōu)秀的有多少人？ ( 2）四年級一班有 54 人，訂閱 小學生優(yōu)秀作文 和 數學大世界 兩種讀物的有 13 人，訂 小學生優(yōu)秀作文 的有 45 人，每人至少訂一種讀物，訂 數學大世界 的有多少人？ ( 3）學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有 24 人，會彈電子琴的有 17 人，其中兩種樂器都會演奏的有 8 人。這個文藝組一共有多少人？例2：某班有 36 個同學在一項測試中，答對第一題的有 25 人，答對第二題的人有 23 人，兩題都答對的有 15 人。問多少個同學兩題都答得不對？【思路導航】如圖所示，已知答對第一題的有 25 人，兩題都答對的有 15 人，可以求出只答對第一題的有 2515 10 （人）。又已知答對第二題的有 23 人，用只答對第一題的人數，加上答對第二題的人數就得到至少有一題答對的人數10 + 23 = 33（人）。所以，兩題都答得不對的有 3633 = 3 （人）。36( 25 15 ) + 23=3（人）想一想：下面算式有何道理。 (l) 36( 2315 ) + 25 = 3 （人） (2) 36 ( 25 15 ) + ( 23 15 ) + 15 3 （人）【瘋狂操練】：( l）五（ 1 ）班有 40 個學生，其中有 25 人參加數學小組， 23 人參加科技小組，有 19 人兩個小組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？( 2）一個班有 55 名學生，訂閱 小學生數學報 的有 32 人，訂閱 中國少年報 的有 29 人，兩種報紙都訂閱的有 25 人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？( 3 ）某校選出 50 名學生參加區(qū)作文比賽和數學比賽，結果 3 人兩項比賽都獲獎了，有 27 人兩項比賽都沒有獲獎，已知作文比賽獲獎的有 14 人，問數學比賽獲獎的有多少人？例3：某班有 56 人，參加語文競賽的有 28 人，參加數學競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有 25 人，那么同時參加語文、數學兩科競賽的有多少人？ 【思路導航】：要求兩科競賽同時參加的人數，應先求出至少參加一科競賽的人數5625 =31（人），再求兩科競賽同時參加的人數：28 + 27 31 = 24 （人）。28 + 27（ 56 25 ) = 24 （人） 答：同時參加語文、數學兩科競賽的有 24 人。想一想：下面算式有何道理 ( l ) 28（56 2527 ）= 24（人） ( 2 ) 27 （562528 ）= 24 （人）【瘋狂操練】： ( 1）一個旅行社有 36 人，其中會英語的有 24 人，會法語的有 18 人，兩樣都不會的有 4 人，兩樣都會的有多少人？ ( 2）一個俱樂部有 103 人，其中會下中國象棋的有 69 人，會下國際象棋的 52 人，這兩種棋都不會下的有 12 人。問這兩種棋都會下的有多少人？ ( 3）三年級一班參加合唱隊的有 40 人，參加舞蹈隊的有 20 人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有 14 人。這兩隊都沒有參加的有 10 人。請算一算，這個班共有多少人？例4：光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有 24 幅不是五年級的，有 22 幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有 10 幅，其他年級參展的書法共有多少幅？【思路導航】由題意知， 24 幅作品是一、二、三、四、五、六年級參展作品的總數； 22 幅作品是一、二、三、四、五年級參展作品的總數。24 + 22 =46幅），這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數，從其中去掉五、六年級的共參展的 10 幅即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數再除以2，即可求出其它年級參展的作品。(24+2210)2=18（幅）答：其他年級參展的作品共有 18 幅。( l ）科技節(jié)那天，學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品，其中有 110 件不是一年級的，有 100 件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有32 件。其他年級參展的作品共有多少件？ ( 2 ）六（ 1 ）兒童節(jié)那天，學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品，其中有 25 幅畫不是三年級的，有19幅畫不是四年級的，三、四年級參展的畫共有 8 幅，其他年級參展的畫共有多少幅？ ( 3 ）實驗小學舉辦學生書法展。學校的櫥窗里展出每個年級學生的書法作品，其中有 28 幅不是五年級的，有 24幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有 20 幅。一、二年級參展的作品總數比三、四年級參展作品的總數少4幅。一、二年級參展的書法作品共有多少幅？五年級奧數集訓專題講座（八）邏輯推理主講：譚發(fā)佳解答推理問題常用的方法有：排除法、假設法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮： 1 、選準突破口，分析時綜合幾個條件進行判斷。 2、 根據題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結論。 3、對可能出現(xiàn)的情況作出假設，然后再根據條件推理，如果得到的結論和條件不矛盾，說明假設是正確的。4、遇到比較復雜的推理問題，可以借助圖表進行分析。例1：有三個小朋友在談論誰做的好事多。冬冬說：“蘭蘭做的比靜靜多。”蘭蘭說：“冬冬做的比靜靜多”靜靜說：“蘭蘭做的比冬冬少 。”這三位小朋友中，誰做的好事最多？準做的好事最少？【思路導航】 我們用“ ”來表示每個小朋友之間做好事多少的關系。蘭蘭靜靜 冬冬靜靜 冬冬蘭蘭 所以，冬冬蘭蘭靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少 答：冬冬做的最多，靜靜做的最少?！警偪癫倬殹? l ）盧剛，丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員?，F(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡?。魂愯け蕊w行員年齡大。請問，誰是工程師，誰是醫(yī)生，誰是飛行員？ 2 ）小李、小徐和小張是同學，大學畢業(yè)后分別當了教師，數學家和工程師。小張年齡比工程師大；小李和數學家不同歲；數學家比小徐年齡小。想一想，誰是教師，誰是數學家，誰是工程師。 ( 3 ）江波、劉曉、吳萌三位老師，其中一位教語文，一位教數學，一位教英語。已知：江波和語文老師是鄰居；吳萌和語文老師不是鄰居；吳萌和數學老師是同學。請問：三位老師分別教什么科目？例2：有一個正方體，每個面分別寫上漢字：數學奧林匹克。三個人從不同角度觀察的結果如下圖所示。問這個正方體的每個漢字的對面各是什么字？ 【思路導航】想想某個漢字的對面不是什么字。從圖（ l ）中可知，“奧”的對面不是“林”、“匹”，從圖（ 2 ) 中可知：“奧”的對面不是數、“學”，所以，“奧”的對面一定是“克”。從圖（ 2 ）中可知：“數”的對面不是“奧”、“學”，從圖（ 3 ) 中可知，“數”的對面不是“克”、“林”，所以“數”的對面一定是“匹”。剩下的“學”的對面一定是？“林”。答：“奧”的對面是“克” , “數”的對面是“匹”, “學”的對面是“林”?！警偪癫倬殹?( l ）下面三塊正方體的六個面都是按相同的規(guī)律涂有紅黃藍綠白黑六種色。請判斷黃色的對面是什么顏色？白色的對面是什么顏色？紅色的對面是什么顏色？( 2 ）一個正方體，六個面分別寫上ABCDEF 、你能根據這個正方體不同的擺法，求出相對的兩個面的字母是什么？例3：甲、乙、丙三個孩子踢球打碎了玻璃窗，甲說：“是丙打碎的”。乙說：“我沒有打碎玻璃窗”，丙說：“是乙打碎的?！彼麄儺斨兄挥幸粋€人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃窗？【思路導航】由題意推出結論，必須符合他們中只有一個說了謊，推理時可以先假設，看結論和條件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么是甲說謊話，乙說的是實話，丙說的是謊話，這樣兩人說的是謊話，與他們中只有一個說謊相矛盾所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲說的是謊話，乙說的是謊話，丙說的是實話，也與他們中只有一個說謊相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲說的是實話，乙說的是實話，而丙說的是謊話。這樣有兩個說的是實話，符合條件他們中只有一個說的是謊話，所以玻璃窗是丙打碎的。【瘋狂操練】( l ）已知甲、乙、丙三個中，只有一個人會開汽車。甲說：“我會開汽車”。乙說：“我不會開”。丙說：“甲不會開汽車?！比绻齻€人中有一個講的是真話，那么誰會開汽車？ ( 2 ）某學校為表揚好人好事核實一件事，老師找了 A 、 B 、 C 三個學生。 A 說：“是 B 做的”。 B 說：“不是我做的”。 C 說：“不是我做的”。這三個中只有一個人說了實話，這件好事是誰做的？ ( 3 ) ABCD 四個孩子踢球打碎了玻璃。 A 說：“是 C 或 D 打碎的”。 B 說：“是 D 打碎的”。 C 說：“我沒有打碎玻璃窗”。 D 說：“不是我打碎的。”他們中只有一個人說了謊，到底是誰打碎了玻璃窗？【請思考】：甲、乙、丙、丁四個人同時參加數學競賽，賽后，甲說：“丙是第一名，我是第三名。”乙說：“我是第一名，丁是第四名”。丙說：“丁是第二名，我是第三名”。丁沒有說話，成績揭曉時，大家發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三個人各說對了一半，你能說出他們的名次嗎？提示：推理時，必須以“他們都只說對了一半”為前提，為了幫助分析，可以借助圖表分析：五年級奧數集訓專題講座（九）行程問題一主講：譚發(fā)佳行程應用題是專門講物體運動的速度、時間、路程三者關系的應用題。行程問題的主要數量關系是：路程=速度時間。知道三個量中的兩個量，就能求出第三個量。例1：甲、乙兩輛汽車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行 56 千米，乙車每小時行 48 千米。兩車在距中點 32 千米處相遇。東、西兩地相距多少千米？【思路導航】兩車在距中點 32 千米處相遇，由于甲車的速度大于乙車的速度，所以相遇時，甲車應行了全程的一半多 32 千米，乙車行了全程的一半少 32 千米，因此，兩車相遇時，甲車比乙車共多行了 32 2= 64 （千米）。兩車同時出發(fā)，又相遇了，兩車所行的時同是一樣的，為什么甲車會比乙車多行 64 千米？因為甲車每小時比乙車多行 5648 = 8 （千米）。 64 8 =8 所以兩車各行了 8 小時，求東、西的路程只要用（ 56 + 48 ） 8 即可。32 2 （5648 )= 8 （小時） ( 56 + 48 ) 8 = 832 （千米）答：東、西兩地相距 832 千米?！警偪癫倬殹?、小玲每分行 100 米，小平每分行 80 米，兩人同時從學校和少年宮相向而行，并在離中點 120 米處相遇，學校到少年宮有多少米？2、一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出，汽車每；小時行 40 千米，摩托車每小時行 65 千米，當摩托車行到兩地中點處時，與汽車還相距 75 千米，甲、乙兩地相距多少千米？ 3 小轎車每小時行 60 千米，比客車每小時多行 5 千米，兩車同時從A、 B 兩地相向而行，在距中點 20 千米處相遇，求A、 B 兩地的路程。例2：快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，快車每小時行 40 千米，經