矩陣在有限元中的應(yīng)用.doc

矩陣在有限元中的應(yīng)用有限元的概念早在幾個(gè)世紀(jì)前就已產(chǎn)生并得到了應(yīng)用，例如用多邊形（有限個(gè)直線單元）逼近圓來(lái)求得圓的周長(zhǎng)，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應(yīng)用于航空器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過(guò)短短數(shù)十年的努力，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速?gòu)慕Y(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法。有限元法可以稱為有限單元法或有限元素法，基本思想是將物體（即連續(xù)求解域）離散成有限個(gè)且按一定方式相互連接在一起的單元組合，來(lái)模擬和逼近原來(lái)的物體，從而將一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為離散的有限自由度問(wèn)題求解的數(shù)值分析法。將有限元分析法應(yīng)用到工程技術(shù)中，可成為工程設(shè)計(jì)和分析的可靠工具，將它應(yīng)用到科學(xué)研究中，可成為探究物質(zhì)客觀規(guī)律的重要手段。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，有限元分析必須包含三個(gè)方面：（1）有限元方法的基本數(shù)學(xué)力學(xué)原理；（2）基于原理形成的實(shí)用軟件；（3）使用時(shí)的計(jì)算機(jī)硬件。有限元方法與其他求解邊值問(wèn)題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。基于功能完善的有限元分析軟件和高性能的計(jì)算機(jī)軟件對(duì)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的力學(xué)分析，以獲得盡可能真實(shí)的結(jié)構(gòu)受力信息，在設(shè)計(jì)階段對(duì)可能出現(xiàn)的各種問(wèn)題進(jìn)行安全評(píng)判和設(shè)計(jì)參數(shù)修改是有限元分析的主要作用。有限元分析首先要針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀變形體，完整獲取在復(fù)雜外力作用下它內(nèi)部的準(zhǔn)確力學(xué)信息，即求取該變形體的三類力學(xué)信息（位移、應(yīng)變、應(yīng)力）。有限元分析的主要功能是在準(zhǔn)確進(jìn)行力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)者可以對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象進(jìn)行剛度、強(qiáng)度等方面的評(píng)判，然后對(duì)不合理的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改，以得到較為優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案；然后再次對(duì)修改過(guò)的方案進(jìn)行有限元分析，以進(jìn)行最后的力學(xué)評(píng)判和校核，以確定最后的設(shè)計(jì)方案。有限元分析的主要過(guò)程一般有六步：第一步：?jiǎn)栴}及求解域定義：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。 第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越?。ňW(wǎng)格越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。 第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問(wèn)題通?？梢杂靡唤M包含問(wèn)題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。 第四步：?jiǎn)卧茖?dǎo)：對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣。為保證問(wèn)題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。 對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無(wú)法求解。 第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對(duì)近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。 第六步：聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋：有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、迭代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過(guò)與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來(lái)評(píng)價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。簡(jiǎn)言之，有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分;后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡(jiǎn)便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。有限元分析的最大特點(diǎn)就是標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化，這種特點(diǎn)使得大規(guī)模分析和計(jì)算成為可能，當(dāng)采用了現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)以及所編制的軟件作為實(shí)現(xiàn)平臺(tái)時(shí)，則復(fù)雜工程問(wèn)題的大規(guī)模分析就變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。實(shí)現(xiàn)有限元分析的載體是單元，這就需要我們構(gòu)建各種各樣的具有代表性的單元，有了這些單元就可以按照設(shè)計(jì)的要求構(gòu)建出各種各樣的發(fā)雜結(jié)構(gòu)。因此，有限元分析就是對(duì)這些單元的分