蘇教版2013年八年級上冊中考壓軸題數(shù)學(xué)組卷.doc

2013年八年級上冊中考壓軸題數(shù)學(xué)組卷 2013年八年級上冊中考壓軸題數(shù)學(xué)組卷一解答題（共23小題）1（2008臺州）CD經(jīng)過BCA頂點C的一條直線，CA=CBE，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且BEC=CFA=（1）若直線CD經(jīng)過BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1，若BCA=90，=90，則BE_CF；EF_|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如圖2，若0BCA180，請?zhí)砑右粋€關(guān)于與BCA關(guān)系的條件_，使中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立（2） 如圖3，若直線CD經(jīng)過BCA的外部，=BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）2（2005內(nèi)江）如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上，且過A，B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為D，E，請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程3（2004青海）（1）如圖，E是AOB的平分線上一點，ECOA，EDOB，垂足分別是C、D，求證：OC=OD；（2）已知，點A和B求作：經(jīng)過A、B兩點且半徑最小的圓（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡不寫作法）4（2006河北）探索：在如圖1至圖3中，ABC的面積為a（1）如圖1，延長ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA若ACD的面積為S1，則S1=_（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE若DEC的面積為S2，則S2=_（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖3）若陰影部分的面積為S3，則S3=_（用含a的代數(shù)式表示）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到DEF（如圖3），此時，我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的_倍應(yīng)用：去年在面積為10m2的ABC空地上栽種了某種花卉今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由ABC擴(kuò)展成DEF，第二次由DEF擴(kuò)展成MGH（如圖4）求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少m2？6（2007紹興）課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1，己知四邊形ABCD中，AC平分DAB，DAB=60，B與D互補(bǔ)，求證：AB+AD=AC小敏反復(fù)探索，不得其解她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題（1）特殊情況入手添加條件：“B=D”，如圖2，可證AB+AD=AC；（請你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3，過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F（請你補(bǔ)全證明）7（2012紹興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為ABC的準(zhǔn)外心應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度數(shù)探究：已知ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長8（2008溫州）文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，寫出“已知”，“求證”（如圖），她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為D”；彬彬：“作ABC的角平分線AD”數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正”（1）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里；（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程9（2008寧德）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE（1）求證：CE=CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且GCE=45，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E是AB上一點，且DCE=45，BE=4，求DE的長10（2012遵義）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運(yùn)動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當(dāng)BQD=30時，求AP的長；（2）當(dāng)運(yùn)動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由11（2010永州）探究問題：（1）閱讀理解：如圖（A），在已知ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為ABC的費馬距離；如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有ABCD+BCDA=ACBD此為托勒密定理；（2）知識遷移：請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點P為等邊ABC外接圓的上任意一點求證：PB+PC=PA；根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有如下探尋ABC（其中A、B、C均小于120）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在ABC的外部以BC為邊長作等邊BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點P，連接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+_；第三步：請你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出ABC的費馬點P，并請指出線段_的長度即為ABC的費馬距離（3）知識應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值12（1998海淀區(qū)）已知：如圖，在ABC中，CDAB，垂足為D，A=30，B=45，AC=4求CD和AB的長13（2005海淀區(qū)）如圖所示，一根長2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍的中點為P若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行（1）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由（2）在木棍滑動的過程中，當(dāng)滑動到什么位置時，AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值14（2009寧夏）如圖，在RtABC中，ACB=90，CD是AB邊上的中線，將ADC沿AC邊所在的直線折疊，使點D落在點E處，得四邊形ABCE求證：ECAB15（2012棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC=90，CDAD，AD2+CD2=2AB2（1）求證：AB=BC；（2）當(dāng)BEAD于E時，試證明：BE=AE+CD16（2010孝感）勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積進(jìn)行了證明著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言請根據(jù)圖1中直接三角形敘述勾股定理以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）請你利用圖2，驗證勾股定理；利用圖2中的直角梯形，我們可以證明其證明步驟如下：BC=a+b，AD=_；又在直角梯形ABCD中有BC_AD（填大小關(guān)系），即_17（2010東莞）如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2動點M、N分別從點D、B同時出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點A的方向運(yùn)動（點M可運(yùn)動到DA的延長線上），當(dāng)動點N運(yùn)動到點A時，M、N兩點同時停止運(yùn)動連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時，可得FMN，過FMN三邊的中點作PWQ設(shè)動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運(yùn)動的時間為x秒試解答下列問題：（1）說明FMNQWP；（2）設(shè)0x4（即M從D到A運(yùn)動的時間段）試問x為何值時，PWQ為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時，PQW不為直角三角形？（3）問當(dāng)x為何值時，線段MN最短？求此時MN的值18（2009永州）問題探究：（1）如圖所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點，求螞蟻爬行的最短路程（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖中的矩形ABBA，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB的長）；（2）如圖所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；（3）如圖所示，在的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程19（2009佛山）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng)AB=4，BC=4，CC1=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長；（3）求點B1到最短路徑的距離20（2007衢州）請閱讀下列材料：問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑、高均為5cm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線小明設(shè)計了兩條路線：路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC如下圖（2）所示：設(shè)路線1的長度為l1，則l12=AC2=AB2+2=52+（5）2=25+252路線2：高線AB+底面直徑BC如上圖（1）所示：設(shè)路線2的長度為l2，則l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225l12l22=25+252225=252200=25（28）0l12l22，l1l2所以要選擇路線2較短（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1cm，高AB為5cm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計算請你幫小明完成下面的計算：路線1：l12=AC2=_；路線2：l22=（AB+BC）2=_l12_l22，l1_l2（填或）選擇路線_（填1或2）較短（2）請你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短21（2013威海）操作發(fā)現(xiàn)將一副直角三角板如圖擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合問題解決將圖中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖（1）求證：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的長22（2009德城區(qū)）一位同學(xué)拿了兩塊45的三角尺M(jìn)NK、ACB做了一個探究活動：將MNK的直角頂點M放在ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC=BC=a（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為ACM，則重疊部分的面積為_，周長為_；（2）將圖1中的MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45，得到圖2，此時重疊部分的面積為_，周長為_；（3）如果將MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1，圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證23（2007大連）兩個全等的RtABC和RtEDA如圖放置，點B、A、D在同一條直線上操作：在圖中，作ABC的平分線BF，過點D作DFBF，垂足為F，連接CE證明BFCE探究：線段BF、CE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論說明：如果你無法證明探究所得的結(jié)論，可以將“兩個全等的RtABC和RtEDA”改為“兩個全等的等腰直角ABC和等腰直角EDA（點C、A、E在同一條直線上）”，其他條件不變，完成你的證明，此證明過程最多得2分2013年八年級上冊中考壓軸題數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一解答題（共23小題）1（2008臺州）CD經(jīng)過BCA頂點C的一條直線，CA=CBE，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且BEC=CFA=（1）若直線CD經(jīng)過BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1，若BCA=90，=90，則BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如圖2，若0BCA180，請?zhí)砑右粋€關(guān)于與BCA關(guān)系的條件+BCA=180，使中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過BCA的外部，=BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）考點：直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理3436647專題：幾何綜合題；壓軸題分析：由題意推出CBE=ACF，再由AAS定理證BCECAF，繼而得答案解答：解：（1）BCA=90，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的條件是：+BCA=180證明：在BCE中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF點評：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關(guān)知識注意對三角形全等，相似的綜合應(yīng)用2（2005內(nèi)江）如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上，且過A，B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為D，E，請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程考點：直角三角形全等的判定3436647專題：探究型分析：分析圖可知，全等三角形為：ACDCBE根據(jù)這兩個三角形中的數(shù)量關(guān)系選擇ASA證明全等解答：解：全等三角形為：ACDCBE證明如下：由題意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE在ACD與CBE中，ACDCBE（AAS）點評：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角3（2004青海）（1）如圖，E是AOB的平分線上一點，ECOA，EDOB，垂足分別是C、D，求證：OC=OD；（2）已知，點A和B求作：經(jīng)過A、B兩點且半徑最小的圓（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡不寫作法）考點：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)3436647專題：作圖題分析：（1）因為OE是AOB的平分線，ECOA，EDOB，所以EC=ED（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），在RtOCE和RtODE中，EC=ED，OE=OE，RtOCERtODE，所以O(shè)C=OD；（2）根據(jù)題意，經(jīng)過A、B兩點且半徑最小的圓就是以AB為直徑的圓，先做AB的垂直平分線，找出與AB的交點就是圓心O，以O(shè)A為半徑作圓就可以了解答：（1）證明：OE平分AOB，ECOA，EDOBEC=ED，在RtOCE和RtODE中RtOCERtODEOC=OD；（2）解：如圖：點評：本題考查了角平分線上的點到角兩邊的距離相等，以及直角三角形全等的證明（HL）和性質(zhì)，還有經(jīng)過A、B兩點且半徑最小的圓就是以AB為直徑的圓作圖能力很重要，注意培養(yǎng)4（2006河北）探索：在如圖1至圖3中，ABC的面積為a（1）如圖1，延長ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA若ACD的面積為S1，則S1=a（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE若DEC的面積為S2，則S2=2a（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖3）若陰影部分的面積為S3，則S3=6a（用含a的代數(shù)式表示）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到DEF（如圖3），此時，我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的7倍應(yīng)用：去年在面積為10m2的ABC空地上栽種了某種花卉今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由ABC擴(kuò)展成DEF，第二次由DEF擴(kuò)展成MGH（如圖4）求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少m2？考點：三角形的面積3436647專題：探究型分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，得到等底同高的兩個三角形的面積相等；（2）運(yùn)用分割法：連接AD根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行分析：等底同高的兩個三角形的面積相等；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，陰影部分的面積是（2）中求得的面積的3倍；再加上原來三角形的面積進(jìn)行計算應(yīng)用：根據(jù)上述結(jié)論，即擴(kuò)展一次后得到的三角形的面積是原三角形的面積的7倍，則擴(kuò)展兩次后，得到的三角形的面積是原三角形的面積的72=49倍從而得到擴(kuò)展的區(qū)域的面積是原來的48倍解答：解：（1）BC=CD，ACD和ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；（2分）理由：連接AD，CD=BC，AE=CA，SDAC=SDAE=SABC=a，S2=2a；（3）結(jié)合（2）得：2a3=6a；擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是6a+a=7a，即是原來三角形的面積的7倍應(yīng)用拓展區(qū)域的面積：（721）10=480（m2）點評：命題立意：考查學(xué)生探索知識、發(fā)現(xiàn)知識、應(yīng)用知識的綜合創(chuàng)新能力點評：本題的探索過程由簡到難，運(yùn)用類比方法可依次求出從而使考生在身臨數(shù)學(xué)的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學(xué)思維的力量，使學(xué)生對知識的發(fā)生及發(fā)展過程，解題思想方法的感悟，體會得淋漓盡致，是一道新課標(biāo)理念不可多得的好題5（2007北京）如圖，已知ABC（1）請你在BC邊上分別取兩點D，E（BC的中點除外），連接AD，AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明AB+ACAD+AE考點：三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定3436647專題：證明題分析：（1）由于都是以BC所在邊為底，因此邊上的高都相等要兩個三角形的面積相等，只需在BC上找出兩條相等線段即可；（2）可通過構(gòu)建全等三角形來求解分別過點D、B作CA、EA的平行線，兩線相交于F點，DF于AB交于G點那么我們不難得出AECFBD，此時AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它們的關(guān)系即可解答：（1）解：如圖1，相應(yīng)的條件就應(yīng)該是BD=CEDE，這樣，ABD和AEC的面積相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么ADC和ABE的面積就相等（2）證明：如圖2，分別過點D、B作CA、EA的平行線，兩線相交于F點，DF與AB交于G點ACE=FDB，AEC=FBD在AEC和FBD中，又CE=BD，AECFBD，AC=FD，AE=FB，在AGD中，AG+DGAD，在BFG中，BG+FGFB，即AB+FDAD+FBAB+ACAD+AE點評：本題考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系本題（2）中通過構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵6（2007紹興）課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1，己知四邊形ABCD中，AC平分DAB，DAB=60，B與D互補(bǔ)，求證：AB+AD=AC小敏反復(fù)探索，不得其解她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題（1）特殊情況入手添加條件：“B=D”，如圖2，可證AB+AD=AC；（請你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3，過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F（請你補(bǔ)全證明）考點：直角三角形全等的判定3436647專題：證明題；壓軸題；開放型分析：（1）如果：“B=D”，根據(jù)B與D互補(bǔ)，那么B=D=90，又因為DAC=BAC=30，因此我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的條件根據(jù)AAS可證兩三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法進(jìn)行計算即可解答：證明：（1）B與D互補(bǔ)，B=D，B=D=90，CAD=CAB=DAB=30，在ADC中，cos30=，在ABC中，cos30=，AB=AC，AD=AB+AD=（2）由（1）知，AE+AF=AC，AC為角平分線，CFCD，CEAB，CE=CF而ABC與D互補(bǔ)，ABC與CBE也互補(bǔ)，D=CBE在RtCDF與RtCBE中，RtCDFRtCBEDF=BEAB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC點評：本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；通過輔助線來構(gòu)建全等三角形是解題的常用方法，也是解決本題的關(guān)鍵7（2012紹興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為ABC的準(zhǔn)外心應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度數(shù)探究：已知ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理3436647專題：新定義分析：應(yīng)用：連接PA、PB，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況是合適的，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出APB=45，然后即可求出APB的度數(shù)；探究：先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計算即可得解解答：應(yīng)用：解：若PB=PC，連接PB，則PCB=PBC，CD為等邊三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=PBC=30，PD=DB=AB，與已知PD=AB矛盾，PBPC，若PA=PC，連接PA，同理可得PAPC，若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，APD=45，故APB=90；探究：解：BC=5，AB=3，AC=4，若PB=PC，設(shè)PA=x，則x2+32=（4x）2，x=，即PA=，若PA=PC，則PA=2，若PA=PB，由圖知，在RtPAB中，不可能故PA=2或點評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，要注意分三種情況進(jìn)行討論8（2008溫州）文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，寫出“已知”，“求證”（如圖），她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為D”；彬彬：“作ABC的角平分線AD”數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正”（1）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里；（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程考點：等腰三角形的判定3436647專題：閱讀型分析：（1）線段BC的中垂線可以直接作出的，不需要附帶“過點A作”；（2）根據(jù)已知條件利用AAS可證ABDACD，得出AB=AC解答：（1）解：作輔助線不能同時滿足兩個條件；（2）證明：作ABC的角平分線ADBAD=CAD，在ABD與ACD中，ABDACD（AAS）AB=AC點評：本題主要是考查了三角形全等的判定及等腰三角形的性質(zhì)；題目為閱讀理解題，充分利用文字中的提示是解答本題的關(guān)鍵9（2008寧德）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE（1）求證：CE=CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且GCE=45，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E是AB上一點，且DCE=45，BE=4，求DE的長考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定3436647專題：證明題；壓軸題；探究型分析：（1）利用已知條件，可證出BCEDCF（SAS），即CE=CF（2）借助（1）的全等得出BCE=DCF，GCF=BCE+DCG=90GCE=45，即GCF=GCE，又因為CE=CF，CG=CG，ECGFCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD（3）過C作CGAD，交AD延長線于G，先證四邊形ABCG是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）再設(shè)DE=x，利用（1）、（2）的結(jié)論，在RtAED中利用勾股定理可求出DE解答：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDFCE=CF（2）解：GE=BE+GD成立CBECDF，BCE=DCFECD+ECB=ECD+FCD即ECF=BCD=90又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GCF=GCE，GC=GC，ECGFCGEG=GFGE=DF+GD=BE+GD（3）解：過C作CGAD，交AD延長線于G，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC，四邊形ABCG為正方形AG=BC=12已知DCE=45，根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG，設(shè)DE=x，則DG=x4，AD=AGDG=16x，AE=ABBE=124=8在RtAED中DE2=AD2+AE2，即x2=（16x）2+82解得：x=10DE=10點評：本題是一道幾何綜合題，內(nèi)容涉及三角形的全等、圖形的旋轉(zhuǎn)以及勾股定理的應(yīng)用，重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，是一道好題本題的設(shè)計由淺入深，循序漸進(jìn)，考慮到學(xué)生的個體差異從閱卷的情況看，本題的得分在48分的學(xué)生居多前兩個小題學(xué)生做得較好，第三小題，因為學(xué)生不懂得用前面積累的知識經(jīng)驗答題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，造成本小題得分率較低10（2012遵義）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運(yùn)動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當(dāng)BQD=30時，求AP的長；（2）當(dāng)運(yùn)動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形3436647專題：壓軸題；動點型分析：（1）由ABC是邊長為6的等邊三角形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，設(shè)AP=x，則PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運(yùn)動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊ABC的邊長為6可得出DE=3，故當(dāng)點P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變解答：解：（1）ABC是邊長為6的等邊三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，設(shè)AP=x，則PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2，AP=2；（2）當(dāng)點P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變理由如下：作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，點P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等邊三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90，APE=BQF，在APE和BQF中，APEBQF（AAS），AE=BF，PE=QF且PEQF，四邊形PEQF是平行四邊形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等邊ABC的邊長為6，DE=3，當(dāng)點P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度不會改變點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵11（2010永州）探究問題：（1）閱讀理解：如圖（A），在已知ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為ABC的費馬距離；如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有ABCD+BCDA=ACBD此為托勒密定理；（2）知識遷移：請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點P為等邊ABC外接圓的上任意一點求證：PB+PC=PA；根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有如下探尋ABC（其中A、B、C均小于120）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在ABC的外部以BC為邊長作等邊BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點P，連接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+PD；第三步：請你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出ABC的費馬點P，并請指出線段AD的長度即為ABC的費馬距離（3）知識應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值考點：等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形3436647專題：壓軸題分析：（2）知識遷移問，只需按照題意套用托勒密定理，再利用等邊三角形三邊相等，將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長，即可獲證 問，借用問結(jié)論，及線段的性質(zhì)“兩點之間線段最短”數(shù)學(xué)容易獲解（3）知識應(yīng)用，在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再求解解答：（2）證明：由托勒密定理可知PBAC+PCAB=PABCABC是等邊三角形AB=AC=BC，PB+PC=PA，PD、AD，（3）解：如圖，以BC為邊長在ABC的外部作等邊BCD，連接AD，則知線段AD的長即為ABC的費馬距離BCD為等邊三角形，BC=4，CBD=60，BD=BC=4，ABC=30，ABD=90，在RtABD中，AB=3，BD=4，AD=5（km），從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度的最小值為5km點評：此題是一個綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形等知識難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研問題和探索問題的精神12（1998海淀區(qū)）已知：如圖，在ABC中，CDAB，垂足為D，A=30，B=45，AC=4求CD和AB的長考點：含30度角的直角三角形；勾股定理3436647分析：根據(jù)含30度角性質(zhì)求出CD，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BD，即可求出AB解答：解：CDAB，ADC=BDC=90，A=30，AC=4CD=AC=2，由勾股定理得：AD=2，BDC=90，B=45，BCD=45=B，BD=DC=2，AB=2+2點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識點的應(yīng)用13（2005海淀區(qū)）如圖所示，一根長2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍的中點為P若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行（1）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由（2）在木棍滑動的過程中，當(dāng)滑動到什么位置時，AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值考點：直角三角形斜邊上的中線3436647專題：應(yīng)用題分析：（1）木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不會變化根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷；（2）當(dāng)AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時，AOB的面積最大，就可以求出解答：解：（1）不變理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因為斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP不變；（2）當(dāng)AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時，AOB為等腰直角三角形時，面積最大，理由為：證明：如圖，若h與OP不相等，則總有hOP，故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時AOB的面積最大，此時，SAOB=所以AOB的最大面積為a2點評：此題利用了在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；同時理解AOB的面積什么情況最大是解決本題的關(guān)鍵14（2009寧夏）如圖，在RtABC中，ACB=90，CD是AB邊上的中線，將ADC沿AC邊所在的直線折疊，使點D落在點E處，得四邊形ABCE求證：ECAB考點：直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定3436647專題：證明題分析：根據(jù)翻折變換的特點可知ECA=ACD，由CD=AD可知CAD=ACD，所以ECA=CAD，故ECAB解答：證明：CD是AB邊上的中線，且ACB=90，CD=ADCAD=ACD又ACE是由ADC沿AC邊所在的直線折疊而成的，ECA=ACDECA=CADECAB點評：本題考查圖形的翻折變換平行線的判定和直角三角形的性質(zhì)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后角相等15（2012棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC=90，CDAD，AD2+CD2=2AB2（1）求證：AB=BC；（2）當(dāng)BEAD于E時，試證明：BE=AE+CD考點：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)3436647專題：證明題分析：（1）根據(jù)勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，進(jìn)而得出AB=BC；（2）首先證明CDEF是矩形，再根據(jù)BAECBF，得出AE=BF，進(jìn)而證明結(jié)論解答：證明：（1）連接ACABC=90，AB2+BC2=AC2CDAD，AD2+CD2=AC2AD2+CD2=2AB2，AB2+BC2=2AB2，BC2=AB2，AB0，BC0，AB=BC（2）過C作CFBE于FBEAD，CFBE，CDAD，F(xiàn)ED=CFE=D=90，四邊形CDEF是矩形CD=EFABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，在BAE與CBF中，BAECBF（AAS）AE=BFBE=BF+EF=AE+CD點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形的全等證明，根據(jù)已知得出四邊形CDEF是矩形以及BAECBF是解決問題的關(guān)鍵16（2010孝感）勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積進(jìn)行了證明著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言請根據(jù)圖1中直接三角形敘述勾股定理以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）請你利用圖2，驗證勾股定理；利用圖2中的直角梯形，我們可以證明其證明步驟如下：BC=a+b，AD=c；又在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關(guān)系），即a+bc考點：勾股定理的證明；全等三角形的判定與性質(zhì)3436647專題：閱讀型分析：利用SAS可證ABEECD，可得對應(yīng)角相等，結(jié)合90的角，可證AED=90，利用梯形面積等于三個直角三角形的面積和，可證a2+b2=c2，在直角梯形ABCD中，BCAD，由于已證AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=c，從而可證解答：解：如果直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2RtABERtECD，AEB=EDC；又EDC+DEC=90，AEB+DEC=90；AED=90；（5分）S梯形ABCD=SRtABE+SRtDEC+SRtAED（a+b）（a+b）=+；（a2+2ab+b2）=+；整理得a2+b2=c2（7分）AD=c，BCAD，a+bc（10分）點評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、面積分割法、勾股定理等知識17（2010東莞）如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2動點M、N分別從點D、B同時出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點A的方向