2011考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義.pdf

1 2011201120112011 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義 第一章第一章隨機(jī)事件和概率隨機(jī)事件和概率 第一節(jié)第一節(jié)基本概念基本概念 1 1 排列組合初步 排列組合初步 1 1 排列組合公式 排列組合公式 nm m P n m 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù) nmn m C n m 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù) 例 1 1 方程 xxx CCC 765 10 711 的解是 A 4B 3C 2D 1 例 1 2 有 5 個(gè)隊(duì)伍參加了甲 A 聯(lián)賽 兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng) 試問總共的場(chǎng)次是多少 2 2 加法原理 兩種方法均能完成此事加法原理 兩種方法均能完成此事 m nm n 某件事由兩種方法來完成 第一種方法可由 m 種方法完成 第二種方法可由 n 種方法來完成 則這件事可由 m n 種方法來完成 3 3 乘法原理 兩個(gè)步驟分別不能完成這件事乘法原理 兩個(gè)步驟分別不能完成這件事 m m n n 某件事由兩個(gè)步驟來完成 第一個(gè)步驟可由 m 種方法完成 第二個(gè)步驟可由 n 種方法來完成 則這件事可由 m n 種方法來完成 例 1 3 從 5 位男同學(xué)和 4 位女同學(xué)中選出 4 位參加一個(gè)座談會(huì) 要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué) 有 幾種不同的選法 例 1 4 6 張同排連號(hào)的電影票 分給 3 名男生和 3 名女生 如欲男女相間而坐 則不同的分法數(shù)為多少 例 1 5 用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里 每一區(qū)域涂上一種顏色 且相鄰區(qū)域的顏色必須不同 則 共有不同的涂法 A 120 種B 140 種C 160 種D 180 種 4 4 一些常見排列一些常見排列 1特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨 例 1 6 晚會(huì)上有 5 個(gè)不同的唱歌節(jié)目和 3 個(gè)不同的舞蹈節(jié)目 問 分別按以下要求各可排出幾種不 2 同的節(jié)目單 3 個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起 3 個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開 3 個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定 例 1 7 4 幅大小不同的畫 要求兩幅最大的排在一起 問有多少種排法 例 1 8 5 輛車排成 1 排 1 輛黃色 1 輛藍(lán)色 3 輛紅色 且 3 輛紅車不可分辨 問有多少種排法 2重復(fù)排列和非重復(fù)排列 有序 例 1 9 5 封不同的信 有 6 個(gè)信箱可供投遞 共有多少種投信的方法 3對(duì)立事件 例 1 10 七人并坐 甲不坐首位 乙不坐末位 有幾種不同的坐法 例 1 11 15 人中取 5 人 有 3 個(gè)不能都取 有多少種取法 例 1 12 有 4 對(duì)人 組成一個(gè) 3 人小組 不能從任意一對(duì)中取 2 個(gè) 問有多少種可能性 4順序問題 例 1 13 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的種數(shù) 有序 例 1 14 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的種數(shù) 有序 例 1 15 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的種數(shù) 無序 2 2 隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 1 1 隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件 如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行 而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè) 但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言 它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果 則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn) 試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件 例如 擲一枚硬幣 出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面 擲一顆骰子 出現(xiàn) 1 點(diǎn) 5 點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件 電話接線員在上午 9 時(shí)到 10 時(shí)接到的電話呼喚次數(shù) 泊松分布 對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈 彈著點(diǎn)到目標(biāo) 的距離為 0 1 米 0 5 米及 1 米到 3 米之間都是隨機(jī)事件 正態(tài)分布 在一個(gè)試驗(yàn)下 不管事件有多少個(gè) 總可以從其中找出這樣一組事件 它具有如下性質(zhì) 1 每進(jìn)行一次試驗(yàn) 必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件 2 任何事件 都是由這一組中的部分事件組成的 這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件 用 來表示 例如 n L 21 離散 基本事件的全體 稱為試驗(yàn)的樣本空間 用 表示 一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn) 基本事件 組成的集合 通常用大寫字母A B C 表示事件 它們是 的子集 如果某個(gè) 是事件A的組成部分 即這個(gè) 在事件A中出現(xiàn) 記為A 如果在一次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的 有 A 則稱在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生 如果 不是事件A的組成部分 就記為A 在一次試驗(yàn)中 所出現(xiàn)的 有A 則稱此次試驗(yàn)A沒有 發(fā)生 為必然事件 為不可能事件 2 2 事件的關(guān)系與運(yùn)算 事件的關(guān)系與運(yùn)算 關(guān)系 如果事件 A 的組成部分也是事件B的組成部分 A發(fā)生必有事件B發(fā)生 BA 如果同時(shí)有BA AB 則稱事件A與事件B等價(jià) 或稱A等于B A B A B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件 AUB 或者A B 3 屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件 稱為A 與 B的差 記為A B 也可表示為A AB或者BA 它表示A 發(fā)生而B不發(fā)生的事件 A B同時(shí)發(fā)生 AIB 或者AB AIB 則表示 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生 稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互 斥 基本事件是互不相容的 A 稱為事件 A 的逆事件 或稱 A 的對(duì)立事件 記為A 它表示 A 不發(fā)生的事件 互斥未必對(duì)立 運(yùn)算 結(jié)合率 A BC AB CA B C A B C 分配率 AB C A C B C A B C AC BC 德摩根率 UI 11i i i iAA BABAIU BABAUI 例 1 16 一口袋中裝有五只乒乓球 其中三只是白色的 兩只是紅色的 現(xiàn)從袋中取球兩次 每次一只 取出 后不再放回 寫出該試驗(yàn)的樣本空間 若 表示取到的兩只球是白色的事件 表示取到的兩只球是紅色的 事件 試用 表示下列事件 1 兩只球是顏色相同的事件C 2 兩只球是顏色不同的事件D 3 兩只球中至少有一只白球的事件E 例 1 17 硬幣有正反兩面 連續(xù)拋三次 若 Ai表示第 i 次正面朝上 用 Ai表示下列事件 1 前兩次正面朝上 第三次正面朝下的事件C 2 至少有一次正面朝上的事件D 3 前兩次正面朝上的事件E 3 3 概率的定義和性質(zhì) 概率的定義和性質(zhì) 1 1 概率的公理化定義 概率的公理化定義 設(shè) 為樣本空間 A為事件 對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù) P A 若滿足下列三個(gè)條件 1 0 P A 1 2 P 1 3 對(duì)于兩兩互不相容的事件 1A 2A 有 11 i i i iAPAP U 常稱為可列 完全 可加性 則稱 P A 為事件A的概率 2 2 古典概型 等可能概型 古典概型 等可能概型 1 n L 21 2 n PPP n 1 21 L 設(shè)任一事件A 它是由 m L 21 組成的 則有 P A 21m ULUU 21m PPP L n m 基本事件總數(shù) 所包含的基本事件數(shù)A 4 例 1 18 集合 A 中有 100 個(gè)數(shù) B 中有 50 個(gè)數(shù) 并且滿足 A 中元素與 B 中元素關(guān)系 a b 10 的有 20 對(duì) 問任意 分別從 A 和 B 中各抽取一個(gè) 抽到滿足 a b 10 的 a b 的概率 例 1 19 5 雙不同顏色的襪子 從中任取兩只 是一對(duì)的概率為多少 例 1 20 在共有 10 個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地坐上 6 名與會(huì)者 則指定的 4 個(gè)座位被坐滿的概率是 A 14 1 B 13 1 C 12 1 D 11 1 例 1 21 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的概率 有序 例 1 22 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的概率 有序 例 1 23 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的概率 無序 注意 事件的分解 放回與不放回 順序問題 4 4 五大公式 加法 減法 乘法 全概 貝葉斯 五大公式 加法 減法 乘法 全概 貝葉斯 1 1 加法公式 加法公式 P A B P A P B P AB 當(dāng) P AB 0 時(shí) P A B P A P B 例 1 24 從 0 1 9 這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字 試求下列事件的概率 A 三個(gè)數(shù)字中不含 0 或者不含 5 2 2 減法公式 減法公式 P A B P A P AB 當(dāng) B A 時(shí) P A B P A P B 當(dāng) A 時(shí) P B 1 P B 例 1 25 若 P A 0 5 P B 0 4 P A B 0 3 求 P A B 和 P A B 例 1 26 對(duì)于任意兩個(gè)互不相容的事件 A 與 B 以下等式中只有一個(gè)不正確 它是 A P A B P A B P A B P A P A B 1 C P A B P A P B D P A B A B P A E p BA P A P A B 3 3 條件概率和乘法公式 條件概率和乘法公式 定義 設(shè) A B 是兩個(gè)事件 且 P A 0 則稱 AP ABP 為事件 A 發(fā)生條件下 事件 B 發(fā)生的條件概率 記為 ABP AP ABP 條件概率是概率的一種 所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率 例如 P B 1 P B A 1 P B A 乘法公式 ABPAPABP 更一般地 對(duì)事件 A1 A2 An 若 P A1A2 An 1 0 則有 21 AAP nA 213121AAAPAAPAP 21 AAAPn 1 nA 例 1 27 甲乙兩班共有 70 名同學(xué) 其中女同學(xué) 40 名 設(shè)甲班有 30 名同學(xué) 而女生 15 名 問在碰到甲班同學(xué) 時(shí) 正好碰到一名女同學(xué)的概率 例 1 28 5 把鑰匙 只有一把能打開 如果某次打不開就扔掉 問以下事件的概率 5 第一次打開 第二次打開 第三次打開 4 4 全概公式 全概公式 設(shè)事件 nBBB 21L 滿足 1 nBBB 21L 兩兩互不相容 2 1 0 niBPiL 2 U n i iBA 1 則有 2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP L 此公式即為全概率公式 例 1 29 播種小麥時(shí)所用的種子中二等種子占 2 三等種子占 1 5 四等種子占 1 其他為一等種子 用 一等 二等 三等 四等種子播種長(zhǎng)出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為 0 5 0 15 0 1 0 05 試求種子所 結(jié)的穗含有 50 顆以上麥粒的概率 例 1 30 甲盒內(nèi)有紅球 4 只 黑球 2 只 白球 2 只 乙盒內(nèi)有紅球 5 只 黑球 3 只 丙盒內(nèi)有黑球 2 只 白球 2 只 從這三只盒子的任意一只中任取出一只球 它是紅球的概率是 A 0 5625B 0 5C 0 45D 0 375E 0 225 例 1 31 100 個(gè)球 40 個(gè)白球 60 個(gè)紅球 不放回先后取 2 次 第 2 次取出白球的概率 第 20 次取出白球的 概率 5 5 貝葉斯公式 貝葉斯公式 設(shè)事件 1B 2B nB 及A滿足 1 1B 2B nB 兩兩互不相容 BiP 0 i 1 2 n 2 U n i iBA 1 0 AP 則 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 i 1 2 n 此公式即為貝葉斯公式 i BP 1 i 2 n 通常叫先驗(yàn)概率 ABP i 1 i 2 n 通常稱為后驗(yàn)概率 如果我 們把A當(dāng)作觀察的 結(jié)果 而 1B 2B nB 理解為 原因 則貝葉斯公式反映了 因果 的概率規(guī)律 并 作出了 由果朔因 的推斷 例 1 32 假定用甲胎蛋白法診斷肝癌 設(shè)C表示被檢驗(yàn)者的確患有肝癌的事件 A表示診斷出被檢驗(yàn)者患有肝 癌的事件 已知95 0 CAP 98 0 CAP 004 0 CP 現(xiàn)有一人被檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌 求 此人的確患有肝癌的概率 ACP 5 5 事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn) 事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn) 1 1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性 兩個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)事件A B滿足 BPAPABP 則稱事件A B是相互獨(dú)立的 這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的 若事件A B相互獨(dú)立 且 0 AP 則有 BP AP BPAP AP ABP ABP 6 所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的 若事件A B相互獨(dú)立 則可得到A與B A與B A與B也都相互獨(dú)立 證明 由定義 我們可知必然事件 和不可能事件 與任何事件都相互獨(dú)立 證明 同時(shí) 與任何事件都互斥 2 2 多個(gè)事件的獨(dú)立性 多個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè) ABC 是三個(gè)事件 如果滿足兩兩獨(dú)立的條件 P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 并且同時(shí)滿足 P ABC P A P B P C 那么 A B C 相互獨(dú)立 對(duì)于 n 個(gè)事件類似 兩兩互斥 互相互斥 兩兩獨(dú)立 互相獨(dú)立 例 1 33 已知 ABPABP 證明事件A B相互獨(dú)立 例 1 34 A B C 相互獨(dú)立的充分條件 1 A B C兩兩獨(dú)立 2 A與BC獨(dú)立 例 1 35 甲 乙兩個(gè)射手彼此獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)各一次 甲射中的概率為 0 9 乙射中的概率為 0 8 求目 標(biāo)沒有被射中的概率 3 3 伯努利試驗(yàn) 伯努利試驗(yàn) 定義 我們作了n次試驗(yàn) 且滿足 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果 A發(fā)生或A不發(fā)生 n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的 即A發(fā)生的概率每次均一樣 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的 即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的 這種試驗(yàn)稱為伯努利概型 或稱為n重伯努利試驗(yàn) 用 p 表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率 則A發(fā)生的概率為 qp 1 用 kPn 表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn) 0 nkk 次的概率 knk k n nqpkP C nk 2 1 0L 例 1 36 袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球 從袋中任取 a b 次球 每次放回 試求其中含 a 個(gè)白球 b 個(gè)黑球的概率 a b 例 1 37 做一系列獨(dú)立試驗(yàn) 每次試驗(yàn)成功的概率為 p 求在第 n 次成功之前恰失敗 m 次的概率 7 第二節(jié)第二節(jié)練習(xí)題練習(xí)題 1 1 事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì) 事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì) 例 1 38 化簡(jiǎn) A B A B A B 例 1 39 ABC AB C B 成立的充分條件為 1 AB C 2 B C 例 1 40 已知 P A x P B 2x P C 3x P AB P BC 求 x 的最大值 例 1 41 當(dāng)事件 A 與 B 同時(shí)發(fā)生時(shí) 事件 C 必發(fā)生 則下列結(jié)論正確的是 A P C P AB B P C P AUB C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 2 2 古典概型 古典概型 例 1 42 3 男生 3 女生 從中挑出 4 個(gè) 問男女相等的概率 例 1 43 電話號(hào)碼由四個(gè)數(shù)字組成 每個(gè)數(shù)字可以是 0 1 2 9 中的任一個(gè)數(shù) 求電話號(hào)碼是由完全不同的數(shù) 字組成的概率 例 1 44 袋中有 6 只紅球 4 只黑球 今從袋中隨機(jī)取出 4 只球 設(shè)取到一只紅球得 2 分 取到一只黑球得 1 分 則得分不大于 6 分的概率是 A 42 23 B 7 4 C 42 25 D 21 13 例 1 45 10 個(gè)盒子 每個(gè)裝著標(biāo)號(hào)為 1 6 的卡片 每個(gè)盒子任取一張 問 10 張中最大數(shù)是 4 的概率 例 1 46 將 n 個(gè)人等可能地分到 N n N 間房間中去 試求下列事件的概率 A 某指定的 n 間房中各有 1 人 B 恰有 n 間房中各有 1 人 C 某指定的房中恰有 m m n 人 例 1 47 有 5 個(gè)白色珠子和 4 個(gè)黑色珠子 從中任取 3 個(gè) 問全是白色的概率 3 3 條件概率和乘法公式 條件概率和乘法公式 例 1 48 假設(shè)事件 A 和 B 滿足 P B A 1 則 A A 是必然事件 B BA C BA D 0 BAP 例 1 49 設(shè) A B 為兩個(gè)互斥事件 且 P A 0 P B 0 則結(jié)論正確的是 A P B A 0 B P A B P A C P A B 0 D P AB P A P B 例 1 50 某種動(dòng)物由出生而活到 20 歲的概率為 0 7 活到 25 歲的概率為 0 56 求現(xiàn)齡為 20 歲的這種動(dòng)物活 到 25 歲的概率 例 1 51 某人忘記三位號(hào)碼鎖 每位均有 0 9 十個(gè)數(shù)碼 的最后一個(gè)數(shù)碼 因此在正確撥出前兩個(gè)數(shù)碼后 只能隨機(jī)地試撥最后一個(gè)數(shù)碼 每撥一次算作一次試開 則他在第 4 次試開時(shí)才將鎖打開的概率是 A 4 1 B 6 1 C 5 2 D 10 1 例 1 52 在空戰(zhàn)訓(xùn)練中 甲機(jī)先向乙機(jī)開火 擊落乙機(jī)的概率為 0 2 若乙機(jī)未被擊落 就進(jìn)行還擊 擊落甲 機(jī)的概率是 0 3 若甲機(jī)未被擊落 則再進(jìn)攻乙機(jī) 擊落乙機(jī)的概率是 0 4 求在這幾個(gè)回合中 甲機(jī)被擊落 8 的概率 乙機(jī)被擊落的概率 例 1 53 為防止意外事故 在礦井內(nèi)同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng) A 與 B 每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí) 其有效率 A 為 0 92 B 為 0 93 在 A 失靈條件下 B 有效概率為 0 85 求 1 這兩種警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率 2 在 B 失 靈條件下 A 有效的概率 4 4 全概和貝葉斯公式 全概和貝葉斯公式 例 1 54 甲文具盒內(nèi)有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆 乙文具盒內(nèi)也有 2 支藍(lán)色筆和 3 支黑色筆 現(xiàn)從甲文具盒中 任取 2 支筆放入乙文具盒 然后再從乙文具盒中任取 2 支筆 求最后取出的 2 支筆都是黑色筆的概率 例 1 55 三個(gè)箱子中 第一箱裝有 4 個(gè)黑球 1 個(gè)白球 每二箱裝有 3 個(gè)黑球 3 個(gè)白球 第三箱裝有 3 個(gè)黑球 5 個(gè)白球 現(xiàn)先任取一箱 再從該箱中任取一球 問 1 取出的球是白球的概率 2 若取出的為白球 則該 球?qū)儆诘诙涞母怕?例 1 56 袋中有 4 個(gè)白球 6 個(gè)紅球 先從中任取出 4 個(gè) 然后再從剩下的 6 個(gè)球中任取一個(gè) 則它恰為白球 的概率是 5 5 獨(dú)立性和伯努利概型 獨(dú)立性和伯努利概型 例 1 57 設(shè) P A 0 P B 0 證明 1 若 A 與 B 相互獨(dú)立 則 A 與 B 不互斥 2 若 A 與 B 互斥 則 A 與 B 不獨(dú)立 例 1 58 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)事件 A B 相互獨(dú)立 已知僅有 A 發(fā)生的概率為 4 1 僅有 B 發(fā)生的概率為 4 1 則 P A P B 例 1 59 若兩事件 A 和 B 相互獨(dú)立 且滿足 P AB P A B P A 0 4 求 P B 例 1 60 設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A B和C滿足條件 ABC P A P B P C 2 1 且已知 16 9 CBAPUU 則P A 例 1 61 A 發(fā)生的概率是 0 6 B 發(fā)生的概率是 0 5 問 A B 同時(shí)發(fā)生的概率的范圍 例 1 62 設(shè)某類型的高炮每次擊中飛機(jī)的概率為 0 2 問至少需要多少門這樣的高炮同時(shí)獨(dú)立發(fā)射 每門射一 次 才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到 95 以上 例 1 63 由射手對(duì)飛機(jī)進(jìn)行 4 次獨(dú)立射擊 每次射擊命中的概率為 0 3 一次命中時(shí)飛機(jī)被擊落的概率為 0 6 至少兩次命中時(shí)飛機(jī)必然被擊落 求飛機(jī)被擊落的概率 例 1 64 將一骰子擲 m n 次 已知至少有一次出 6 點(diǎn) 求首次出 6 點(diǎn)在第 n 次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率 例 1 65 兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球 其中一罐 取名 甲罐 內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之 比為 2 1 另一罐 取名 乙罐 內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為 2 1 今任取一罐并從中取出 50 只球 查得 其中有 30 只紅球和 20 只黑球 則該罐為 甲罐 的概率是該罐為 乙罐 的概率的 A 154 倍 B 254 倍 C 798 倍 D 1024 倍 9 第二章第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)第一節(jié)基本概念基本概念 在許多試驗(yàn)中 觀察的對(duì)象常常是一個(gè)隨同取值的量 例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 它本身就是一個(gè)數(shù)值 因此 P A 這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù) 定義域和值域都是數(shù)字 數(shù)字到數(shù)字 但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面 就不能簡(jiǎn)單理解為普通函數(shù) 但我們可以通過下面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來 當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí) 規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為 1 而出現(xiàn)反面時(shí) 規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為 0 于是 XX 當(dāng)反面出現(xiàn) 當(dāng)正面出現(xiàn) 0 1 稱X為隨機(jī)變量 又由于X是隨著試驗(yàn)結(jié)果 基本事件 不同而變化的 所以X實(shí)際上是基本事件 的函 數(shù) 即 X X 同時(shí)事件 A 包含了一定量的 例如古典概型中 A 包含了 1 2 m 共 m 個(gè)基本事件 于是 P A 可以由 P X 來計(jì)算 這是一個(gè)普通函數(shù) 定義設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為 如果對(duì) 中每個(gè)事件 都有唯一的實(shí)數(shù)值 X X 與之對(duì)應(yīng) 則稱 X X 為隨 機(jī)變量 簡(jiǎn)記為X 有了隨機(jī)變量 就可以通過它來描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件 能全面反映試驗(yàn)的情況 這就使得我們對(duì)隨機(jī) 現(xiàn)象的研究 從前一章事件與事件的概率的研究 擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量的研究 這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來研究 隨機(jī)現(xiàn)象了 一個(gè)隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個(gè) 如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 或可列無窮多個(gè) 如電話交換臺(tái)接到的呼 喚次數(shù) 則稱為離散型隨機(jī)變量 像彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離這樣的隨機(jī)變量 它的取值連續(xù)地充滿了一個(gè)區(qū)間 這稱為連續(xù)型隨機(jī)變量 1 1 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 1 1 離散型隨機(jī)變量的分布率 離散型隨機(jī)變量的分布率 10 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 Xk k 1 2 且取各個(gè)值的概率 即事件 X Xk 的概率為 P X xk pk k 1 2 則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律 有時(shí)也用分布列的形式給出 LL LL 21 21 k k kppp xxx xXP X 顯然分布律應(yīng)滿足下列條件 1 0 kp L 2 1 k 2 1 1 k kp 例 2 1 投骰子 出現(xiàn)偶數(shù)的概率 例 2 2 4 黑球 2 白球 每次取一個(gè) 不放回 直到取到黑為止 令 X 為 取白球的數(shù) 求 X 的分布律 例 2 3 若干個(gè)容器 每個(gè)標(biāo)號(hào) 1 3 取出某號(hào)容器的概率與該號(hào)碼成反比 令 X 表示取出的號(hào)碼 求 X 的分布律 2 2 分布函數(shù) 分布函數(shù) 對(duì)于非離散型隨機(jī)變量 通常有0 xXP 不可能用分布率表達(dá) 例如日光燈管的壽命X 0 0 xXP 所以我們考慮用X落在某個(gè)區(qū)間 ba內(nèi)的概率表示 定義定義設(shè)X為隨機(jī)變量 x是任意實(shí)數(shù) 則函數(shù) xXPxF 稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) aFbFbXaP 可以得到 X 落入?yún)^(qū)間 ba的概率 也就是說 分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī) 變量 X 隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 分布函數(shù) xF是一個(gè)普通的函數(shù) 它表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間 x 內(nèi)的概率 xF的圖形是階梯圖形 L 21 xx是第一類間斷點(diǎn) 隨機(jī)變量X在 k x處的概率就是 xF在 k x處的躍度 分布函數(shù)具有如下性質(zhì) 1 1 0 xF x 2 xF是單調(diào)不減的函數(shù) 即21xx 時(shí) 有 1xF 2xF 3 0 lim xFF x 1 lim xFF x 4 0 xFxF 即 xF是右連續(xù)的 5 0 xFxFxXP 例 2 4 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為 2 1 4 1 8 1 8 1 2 1 0 1 P X 11 求X的分布函數(shù) 并求 2 1 XP 2 3 1 XP 2 3 1 XP 例 2 5 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 00 0 1 x x x Ax xF 其中A是一個(gè)常數(shù) 求 1 常數(shù)A 2 P 1 X 2 3 3 連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) 定義 設(shè) xF 是隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在非負(fù)函數(shù) xf 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 有 x dxxfxF 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量 xf 稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù) 簡(jiǎn)稱概率密度 xf 的圖形是一條曲線 稱為密度 分布 曲線 由上式可知 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) xF 是連續(xù)函數(shù) 所以 1221212121 xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP 密度函數(shù)具有下面 4 個(gè)性質(zhì) 1 0 xf 2 1 dxxf 1 dxxfF 的幾何意義 在橫軸上面 密度曲線下面的全部面積等于 1 如果一個(gè)函數(shù) xf 滿足 1 2 則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù) 3 21 xXxP 12 xFxF 2 1 x x dxxf 4 若 xf 在x處連續(xù) 則有 xfxF dxxfdxxXxP 它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與 kkpxXP 在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似 獨(dú)立性古典概型 五大公式 APAE xXPxFxXX 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X 雖然有 0 xXP 但事件 xX 并非是不可能事件 hx x dxxfhxXxPxXP 令 0 h 則右端為零 而概率 0 xXP 故得 0 xXP 不可能事件 的概率為零 而概率為零的事件不一定是不可能事件 同理 必然事件 的概率為 1 而 12 概率為 1 的事件也不一定是必然事件 例 2 6 隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f x 其他 0 10 xxA xf 求 A 和 F x 例 2 7 隨機(jī)變量X的概率密度為 0 0 0 2 1 2 3 2 x xex xf x f 求X的分布函數(shù) xF和 42 XP 2 2 常見分布 常見分布 0 0 1 1 分布分布 P X 1 p P X 0 q 例如樹葉落在地面的試驗(yàn) 結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 在n重貝努里試驗(yàn)中 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p 事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量 設(shè)為X 則X可能取值為 n 2 1 0L knk k n nqpkPkXP C 其中nkppq 2 1 0 10 1L L2 1 0 k 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布 記為 X或者 P 泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布 np n 如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù) 來到公共汽車站的乘客數(shù) 機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù) 自動(dòng)控制系統(tǒng)中元件損壞的個(gè)數(shù) 某 商店中來到的顧客人數(shù)等 均近似地服從泊松分布 例 2 9 某人進(jìn)行射擊 設(shè)每次射擊的命中率為 0 001 若獨(dú)立地射擊 5000 次 試求射中的次數(shù)不少于兩次的 13 概率 用泊松分布來近似計(jì)算 超幾何分布超幾何分布 min 2 1 0 nMl lk C CC kXP n N kn MN k M L 隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n N M 的超幾何分布 例 2 10 袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球 從袋中任取 a b 個(gè)球 試求其中含 a 個(gè)白球 b 個(gè)黑球的概率 a b ba ba C CC 非重復(fù)排列 例 2 11 袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球 從袋中連續(xù)地取 a b 個(gè)球 不放回 試求其中含 a 個(gè)白球 b 個(gè)黑球 的概率 a b ba ba ba ba P PCC 非重復(fù)排列 例 2 12 袋中裝有 個(gè)白球及 個(gè)黑球 從袋中連續(xù)地取 a b 個(gè)球 放回 試求其中含 a 個(gè)白球 b 個(gè)黑球的 概率 a b a ba ba C 重復(fù)排列 幾何分布幾何分布 L 3 2 1 1 kpqkXP k 其中 p 0 q 1 p 隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布 例 2 13 5 把鑰匙 只有一把能打開 如果某次打不開不扔掉 問以下事件的概率 第一次打開 第二次打開 第三次打開 均勻分布均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在 a b 內(nèi) 其密度函數(shù) xf 在 a b 上為常數(shù) k 即 0 k xf 其他 其中 k ab 1 則稱隨機(jī)變量X在 a b 上服從均勻分布 記為 X U a b 分布函數(shù)為 x dxxfxF 當(dāng) a x1 x2 b 時(shí) X 落在區(qū)間 21 x x 內(nèi)的概率為 0 xb a x b 14 P 則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 X 的分布函數(shù)為 記住幾個(gè)積分 1 0 dxxe x 2 0 2 dxex x 1 0 1 ndxex xn 0 1 dxex x 1 5432 考研論壇 友情提供下載 例 2 15 一個(gè)電子元件的壽命是一個(gè)隨機(jī)變量X 它的分布函數(shù) xF 的含義是 該電子元件的壽命不超過x 的概率 通常我們都假定電子元件的壽命服從指數(shù)分布 試證明服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量具有 無記憶性 000 xXPxXxxXxP 正態(tài)分布正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 2 2 2 2 1 x exf 為常數(shù) 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布或高斯 Gauss 分布 記為 2 NX xf 具有如下性質(zhì) 1 xf 的圖形是關(guān)于 x 對(duì)稱的 2 當(dāng) x 時(shí) 2 1 f為最大值 3 xf 以ox軸為漸近線 特別當(dāng) 固定 改變 時(shí) xf 的圖形形狀不變 只是集體沿ox軸平行移動(dòng) 所以 又稱為位置參數(shù) 當(dāng) 固 定 改變 時(shí) xf 的圖形形狀要發(fā)生變化 隨 變大 xf 圖形的形狀變得平坦 所以又稱 為形狀參數(shù) 若 2 NX 則X的分布函數(shù)為 xf x e 0 x 0 0 x xF 1 x e 0 x 0 x 0 15 dtexF x t 2 2 2 2 1 參數(shù) 0 1 時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 記為 1 0 NX 其密度函數(shù)記為 2 2 2 1 x ex x 分布函數(shù)為 dtex x t 2 2 2 1 x 是不可求積函數(shù) 其函數(shù)值 已編制成表可供查用 x 和 x 的性質(zhì)如下 1 x 是偶函數(shù) x x 2 當(dāng) x 0 時(shí) x 2 1 為最大值 3 x 1 x 且 0 2 1 如果X 2 N 則 X 1 0 N 所以我們可以通過變換將 xF的計(jì)算轉(zhuǎn)化為 x 的計(jì)算 而 x 的值是可以通過查表得到的 12 21 xx xXxP 分位數(shù)的定義 例 2 16 設(shè) 4 1 NX 求 2 75 XP 6 10 c 2P X c 例 2 17 某人需乘車到機(jī)場(chǎng)搭乘飛機(jī) 現(xiàn)有兩條路線可供選擇 第一條路線較短 但交通比較擁擠 到達(dá)機(jī)場(chǎng) 所需時(shí)間 X 單位為分 服從正態(tài)分布 N 50 100 第二條路線較長(zhǎng) 但出現(xiàn)意外的阻塞較少 所需時(shí)間 X 服 從正態(tài)分布 N 60 16 1 若有 70 分鐘可用 問應(yīng)走哪一條路線 2 若有 65 分鐘可用 又應(yīng)選擇哪一條 路線 3 3 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù) XgY 若X的分布函數(shù) xFX或密度函數(shù) xfX知道 則如何求出 XgY 的分布函數(shù) yFY或密度函數(shù) yfY 1 1 X是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量 已知X的分布列為 LL LL 21 21 n n ippp xxx xXP X 顯然 XgY 的取值只可能是LL 21nxgxgxg 若 ixg互不相等 則Y的分布列如下 LL LL 21 21 n n i ppp xgxgxg yYP Y 若有某些 ixg相等 則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的iP相加作為 ixg的概率 16 例 2 18 已知隨機(jī)變量X的分布列為 3 1 3 1 3 1 2 1 0 P X 求 2 XY 的分布列 2 2 X是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量 先利用 X 的概率密度 fX x 寫出 Y 的分布函數(shù) FY y 再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出 fY y 例 2 19 已知隨機(jī)變量 0 則 A 例 2 22 21 xfxf 是概率密度函數(shù)的充分條件是 1 21 xfxf均為概率密度函數(shù) 2 1 0 21 xfxf 例 2 23 一個(gè)不懂英語的人參加 GMAT 機(jī)考 假設(shè)考試有 5 個(gè)選擇題 每題有 5 個(gè)選項(xiàng) 單選 試求 此人答 對(duì) 3 題或者 3 題以上 至少獲得 600 分 的概率 例 2 24 設(shè)隨機(jī)變量 X U 0 5 求方程0244 2 XXxx有實(shí)根的概率 例 2 25 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 其他 0 6 3 9 2 1 0 3 1 x x xf 其使得 3 2 kXP 則 k 的取值范圍是 例 2 26 已知某種電子元件的壽命 單位 小時(shí) 服從指數(shù)分布 若它工作了 900 小時(shí)而未損壞的概率是 9 0 e 則該種電子元件的平均壽命是 17 A 990 小時(shí)B 1000 小時(shí)C 1010 小時(shí)D 1020 小時(shí) 例 2 27 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 2 1 xex x 則其分布函數(shù)F x 是 A 0 1 0 2 1 x xe xF x B 0 2 1 1 0 2 1 xe xe xF x x C 0 1 0 2 1 1 x xe xF x D 0 且 P x 2 1 則 2 2 函數(shù)分布 函數(shù)分布 例 2 30 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有連續(xù)的分布函數(shù) F x 求 Y F X 的分布函數(shù) F y 或證明題 設(shè) X 的分布函數(shù) F x 是連續(xù)函數(shù) 證明隨機(jī)變量 Y F X 在區(qū)間 0 1 上服從均勻分布 例 2 31 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F x 則 Y 2lnF X 的概率分布密度函數(shù)fY y 例 2 32 設(shè) X U 2 2 并且 y tanx 求 Y 的分布密度函數(shù) f y 例 2 33 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布 則隨機(jī)變量Y min X 2 的分布函數(shù) A 是連續(xù)函數(shù) B 至少有兩個(gè)間斷點(diǎn) C 是階梯函數(shù) D 恰好有一個(gè)間斷點(diǎn) 18 第三章第三章二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)第一節(jié)基本概念基本概念 1 1 二維隨機(jī)變量的基本概念 二維隨機(jī)變量的基本概念 1 1 二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布 二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布 如果二維隨機(jī)向量 X Y 的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x y 時(shí) 則稱 為離散型隨機(jī)量 理解 X x Y y X x Y y 設(shè) X Y 的所有可能取值為 2 1 L jiyx ji 且事件 ji yx 的概率為pij 稱 2 1 L jipyxYXP ijji 為 X Y 的分布律或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示 Y X y1y2 yj pi x1p11p12 p1j p1 x2p21p22 p2j p2 MMMMMM xipi1 pi MMMMMM p jp 1p 2 p j 1 這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì) 1 pij 0 i j 1 2 2 1 ij ij p 對(duì)于隨機(jī)向量 X Y 稱其分量 X 或 Y 的分布為 X Y 的關(guān)于 X 或 Y 的邊緣分布 上表中的最后一列 或行 給出了 X 為離散型 并且其聯(lián)合分布律為 2 1 L jipyxYXP ijji 則 X 的邊緣分布為 2 1 L jipxXPP ij j ii Y 的邊緣分布為 2 1 L jipyYPP ij i ii 例 3 1 二維隨機(jī)向量 X Y 共有六個(gè)取正概率的點(diǎn) 它們是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它們的概率相同 則 X Y 的聯(lián)合分布及邊緣分布為 Y X 1012p1 1 6 1000 6 1 19 2 6 1 6 10 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 11 2 2 二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布 二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布 對(duì)于二維隨機(jī)向量 YX 如果存在非負(fù)函數(shù) yxyxf 使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊 分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D 即 D X Y a x b c y d 有 D dxdyyxfDYXP 則稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量 并稱 f x y 為 X Y 的分布密度或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布密度 分布密度 f x y 具有下面兩個(gè)性質(zhì) 1 f x y 0 2 1 dxdyyxf 一般來說 當(dāng) X Y 為連續(xù)型隨機(jī)向量 并且其聯(lián)合分布密度為 f x y 則 X 和 Y 的邊緣分布密度為 dxyxfyfdyyxfxf YX 注意 聯(lián)合概率分布 邊緣分布 例 3 2 設(shè) X Y 的聯(lián)合分布密度為 其他 0 0 0 43 yxCe yxf yx 試求 1 常數(shù) C 2 P 0 X 1 0 Y yfxf YX 分別為 X Y 的邊緣分布密度 例 3 3 設(shè)二維隨向量 X Y 的聯(lián)合分布為 XY0 40 8 20 150 05 50 300 12 80 350 03 求 1 X 與 Y 的邊緣分布 2 X 關(guān)于 Y 取值 y1 0 4 的條件分布 3 Y 關(guān)于 X 取值 x2 5 的條件分布 4 4 常見的二維分布 常見的二維分布 均勻分布均勻分布 設(shè)隨機(jī)向量 X Y 的分布密度函數(shù)為 其他 0 1 Dyx S yxf D 其中 SD為區(qū)域 D 的面積 則稱 X Y 服從 D 上的均勻分布 記為 X Y U D 例如圖 3 1 圖 3 2 和圖 3 3 y 1 D1 O1x 圖 3 1 y 1 O2x 圖 3 2 y d D2 1 D3 21 c Oabx 圖 3 3 例 3 4 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X Y 在區(qū)域 D 上服從均勻分布 其中 1 1 yxyxyxD 求 X 的邊緣密度 fX x 畫線觀察積分上下限 正態(tài)分布正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)向量 X Y 的分布密度函數(shù)為 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 其中1 0 0 2121 共 5 個(gè)參數(shù) 則稱 X Y 服從二維正態(tài)分布 記為 X Y N 2 2 2 1 2 1 由邊緣密度的計(jì)算公式 可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布 反推則錯(cuò) 即 X N 2 2 2 2 11 NY 5 5 二維隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì) 二維隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì) 設(shè) X Y 為二維隨機(jī)變量 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x y 二元函數(shù) yYxXPyxF 稱為二維隨機(jī)向量 X Y 的分布函數(shù) 或稱為隨機(jī)變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù) 分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域 以事件 2121 yYxX x1時(shí) 有 F x2 y F x1 y 當(dāng) y2 y1時(shí) 有 F x y2 F x y1 3 F x y 分別對(duì) x 和 y 是右連續(xù)的 即 0 0 yxFyxFyxFyxF 4 1 0 FxFyFF 2 2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 1 1 一般型隨機(jī)變量 一般型隨機(jī)變量 F X Y FX x FY y 22 2 2 離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 jiij ppp 例 3 5 二維隨機(jī)向量 X Y 共有六個(gè)取正概率的點(diǎn) 它們是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它們的概率相同 則 X Y 的聯(lián)合分布及邊緣分布為 Y X 1012p1 1 6 1000 6 1 2 6 1 6 10 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 11 3 3 連續(xù)型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 f x y fX x fY y 聯(lián)合分布 邊緣分布 f x y fX x fY y 直接判斷 充要條件 可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形 例 3 6 如圖 3 1 f x y 8xy fX x 4x 3 f Y y 4y 4y 3 不獨(dú)立 例 3 7 f x y 其他 0 10 20 2 yxAxy 4 4 二維正態(tài)分布 二維正態(tài)分布 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 0 5 5 隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性 隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性 若 X 與 Y 獨(dú)立 h g 為連續(xù)函數(shù) 則 h X 和 g Y 獨(dú)立 例如 若 X 與 Y 獨(dú)立 則 3X 1 和 5Y 2 獨(dú)立 3 3 簡(jiǎn)單函數(shù)的分布 簡(jiǎn)單函數(shù)的分布 兩個(gè)隨機(jī)變量的和兩個(gè)隨機(jī)變量的和 Z X YZ X Y 離散型 例 3 8 設(shè) X Y 的聯(lián)合分布為 23 XY012 0 12 1 6 1 12 1 1 3 1 6 1 6 1 求 i Z1 X Y ii Z2 X Y iii Z3 XY 的分布列 連續(xù)型 fZ z dxxzxf 兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布 2 2 2 121 例 3 9 設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 且 X U 0 1 Y e 1 求 Z X Y 的分布密度函數(shù) fz z 混合型 例 3 10 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立 其中 X 的概率分布為 7 03 0 21 X 而 Y 的概率密度為 f y 求隨機(jī)變量 U X Y 的概率密度 g u 第二節(jié)第二節(jié)練習(xí)題練習(xí)題 1 1 二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù) 二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù) 例 3 11 如下四個(gè)二元函數(shù) 哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù) A 0 0 0 1 1 1 其他 yxee yxF yx B 3 arctan 22 arctan 2 1 2 2 yx yxF C 12 0 12 1 3 yx yx yxF 24 D 的泊松分布 每位乘客在中途下車的概率為 p 0 p 1 并且他們?cè)谥型鞠萝嚺c否是相互獨(dú)立的 用 Y 表示在中途下車的人數(shù) 求 1 在發(fā)車時(shí)有 n 個(gè)乘客的條件下 中途有 m 人下車的概率 2 二維隨機(jī)向量 X Y 的概率分布 例 3 13 一射手進(jìn)行射擊 擊中目標(biāo)的概率為 p 0 p 1 射擊直到擊中目標(biāo)兩次為止 設(shè)以 X 表示首次擊中 目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù) 以 Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù) 試求 X 與 Y 的聯(lián)合分布律及條件分布律 例 3 14 設(shè) X Y 只在曲線 y x 2與 x y2所圍成的區(qū)域 D 中不為零且服從均勻分布 試求 1 X Y 的聯(lián)合密度 2 邊緣密度 yx YX 3 P Y X 例 3 15 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 YXP 例 3 16 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間 1 0 上服從均勻分布 在 10 YXP 2 2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 例 3 17 設(shè) X Y 的聯(lián)合分布密度為 0 10 其他 xyyxC yxf 1 求 C 2 求 X Y 的邊緣分布 3 討論 X 與 Y 的獨(dú)立性 4 計(jì)算 P X Y 1 例 3 18 設(shè) X Y 的密度函數(shù)為 0 0 其他 xyxe yx y 試求 1 X Y 的邊緣密度函數(shù) 并判別其獨(dú)立性 2 X Y 的條件分布密度 25 3 P X 2 Y 4 3 3 簡(jiǎn)單函數(shù)的分布 簡(jiǎn)單函數(shù)的分布 例 3 19 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為 7 03 0 31 i P X 4 06 0 42 j P Y 求隨機(jī)變量 1 Z X Y 2 Z XY 3 Z max X Y 的分布律 例 3 20 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 分別服從 N 0 1 和 N 1 1 求 P X Y 1 或選擇題為 A 2 1 0 YXP B 2 1 1 YXP C 2 1 0 YXP D 2 1 1 YXP 例 3 21 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的分布密度為 0 0 103 其他 xyxx yx 試求Z X Y 的分布密度 例 3 22 設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立 且都服從 0 a 上的均勻分布 試求 Y X Z 的分布密度與分布函數(shù) 第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第一節(jié)第一節(jié)基本概念基本概念 1 1 一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 1 一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的期望 一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的期望 設(shè) X 是離散型隨機(jī)變量 其分布律為 P k xX pk k 1 2 n n k kkp xXE 1 期望就是平均值 例 4 1 100 個(gè)考生 100 分 10 人 90 分 20 人 80 分 40 人 70 分 20 人 60 分 10 人 求期望 26 例 4 2 設(shè)某長(zhǎng)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品不合格率為 10 假設(shè)生產(chǎn)一件不合格品要虧損 2 元 每生產(chǎn)一件合格品獲利 10 元 求每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn) 設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 其概率密度為 f x dxxxfXE 例 4 3 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里 某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間 X 以分鐘計(jì) 是一個(gè)隨機(jī)變量 其概 率密度為 其他0 30001500 1500 3000 15000 1500 2 2 x x x x xf 求EX 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1 E C C 2 E CX CE X 3 E X Y E X E Y n i n i iiii XECXCE 11 4 E XY E X E Y 充分條件 X 和 Y 獨(dú)立 充要條件 X 和 Y