高中數(shù)學第2講參數(shù)方程4漸開線與擺線學案新人教A版0.docx

四漸開線與擺線1借助教具或計算機軟件，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡(漸開線)，了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數(shù)方程(重點)2通過閱讀材料，了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內擺線、環(huán)擺線)的生成過程；了解擺線在實際應用中的實例(難點)基礎初探教材整理1漸開線及其參數(shù)方程閱讀教材P40P41“思考”及以上部分，完成下列問題1把線繞在圓周上，假設線的粗細可以忽略，拉著線頭逐漸展開，保持線與圓相切，線頭的軌跡就叫做圓的漸開線，相應的定圓叫做漸開線的基圓2設基圓的半徑為r，圓的漸開線的參數(shù)方程是(為參數(shù))教材整理2擺線及其參數(shù)方程閱讀教材P41P42，完成下列問題1當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上的一個定點運動的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線2設圓的半徑為r，圓滾動的角為，那么擺線的參數(shù)方程是(是參數(shù))(為參數(shù))表示的是()A半徑為5的圓的漸開線的參數(shù)方程B半徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程C直徑為5的圓的漸開線的參數(shù)方程D直徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程【解析】根據(jù)圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程可知B正確【答案】B質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 圓的漸開線的參數(shù)方程已知圓的直徑為2，其漸開線的參數(shù)方程對應的曲線上兩點A，B對應的參數(shù)分別是和，求A，B兩點的距離. 【導學號：91060027】【思路探究】先寫出圓的漸開線的參數(shù)方程，再把A，B對應的參數(shù)代入參數(shù)方程可得對應的A，B兩點的坐標，然后使用兩點之間的距離公式可得A，B之間的距離【自主解答】根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應的漸開線參數(shù)方程是(為參數(shù))，分別把和代入，可得A，B兩點的坐標分別為A，B.那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得A、B兩點的距離為|AB|.即A、B兩點之間的距離為.根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程可知其中的字母r是指基圓的半徑，參數(shù)是指繩子外端運動時繩子上的定點M相對于圓心的張角再練一題1當，時，求出漸開線上的對應點A，B，并求出A，B的距離【解】將代入參數(shù)方程，得把代入方程，得A，點B.因此|AB|2，故點A，B間的距離為2.圓的擺線的參數(shù)方程已知一個圓的擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程以及對應的圓的漸開線的參數(shù)方程【思路探究】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(為參數(shù))，只需把點(2,0)代入參數(shù)方程求出r的表達式，根據(jù)表達式求出r的最大值，再確定對應的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可【自主解答】令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因為x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kZ)又由實際可知r0，所以r(kN)易知，當k1時，r取最大值為.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))圓的漸開線的參數(shù)方程為(為參數(shù))根據(jù)擺線的定義和求解參數(shù)方程的過程可知其中的參數(shù)是指圓上定點相對于定直線與圓的切點所張開的角度再練一題2已知一個圓的擺線方程是，(為參數(shù))，求該圓的面積和對應的圓的漸開線的參數(shù)方程【解】首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積為16，該圓對應的漸開線的參數(shù)方程是：(為參數(shù))構建體系1關于漸開線和擺線的敘述，正確的是()A只有圓才有漸開線B漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C正方形也可以有漸開線D對于同一個圓，如果建立的平面直角坐標系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同【解析】不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的實質是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對于同一個圓不論在什么地方建立平面直角坐標系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同故選C.【答案】C2圓的漸開線(為參數(shù))上與對應點的直角坐標為()A.B.C.D.【答案】A3圓(為參數(shù))的平擺線上一點的縱坐標為0，那么其橫坐標可能是() 【導學號：91060028】AB3C6D10【解析】根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，把y0代入，得cos 1，所以2k(kZ)而x33sin 6k(kZ)【答案】C4半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程是_【解析】由圓的漸開線的參數(shù)方程得(為參數(shù))【答案】(為參數(shù))5給出直徑為6的圓，分別寫出對應的漸開線的參數(shù)方程和擺線的參數(shù)方程【解】以圓的圓心為原點，一條半徑所在的直線為x軸，建立直角坐標系又圓的直徑為6，所以半徑為3，所以圓的漸開線的參數(shù)方程是(為參數(shù))以圓周上的某一定點為原點，以給定定直線所在的直線為x軸，建立直角坐標系，擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，則此漸開線對應的基圓的周長是()AB2C3D4【解析】圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，所以基圓的周長為2，故選B.【答案】B2給出下列說法：圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉化為普通方程；圓的漸開線的參數(shù)方程也可以轉化為普通方程，但是轉化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標之間的關系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；在求圓的擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標系原點和坐標軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程；圓的漸開線和x軸一定有交點而且是惟一的交點其中正確的說法有() 【導學號：91060029】ABCD【解析】錯，正確，對于一個圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標系的不同，其在坐標系中的位置也會不同，相應的參數(shù)方程也會有所區(qū)別，故正確，至于漸開線和坐標軸的交點要看選取的坐標系的位置故錯誤，故選C.【答案】C3當2時，圓的漸開線上的點是()A(6,0)B(6,6)C(6，12)D(，12)【解析】當2時，代入圓的漸開線方程x6(cos 22sin 2)6，y6(sin 22cos 2)12.【答案】C4已知一個圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，那么圓的擺線方程中與參數(shù)對應的點A與點B之間的距離為()A.1 B.C.D.【解析】根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，把代入參數(shù)方程中可得即A，|AB|.【答案】C5已知一個圓的擺線過點(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為()A.B.C.D.【解析】圓的擺線的參數(shù)方程為令r(1cos )0，得：2k，代入xr(sin )得：xr(2ksin 2k)，又過(1,0)r(2ksin 2k)1，r.又r0，kN.【答案】A二、填空題6已知圓的方程為x2y24，點P為其漸開線上一點，對應的參數(shù)，則點P的坐標為_【解析】由題意，圓的半徑r2，其漸開線的參數(shù)方程為(為參數(shù))當時，x，y2，故點P的坐標為P(，2)【答案】(，2)7已知平擺線的方程為(為參數(shù))，則該平擺線的拱高是_，周期是_【解析】由已知方程可化為知基圓半徑為r1，拱高為2r2，周期為2.【答案】228漸開線(為參數(shù))的基圓的圓心在原點，把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到的曲線的焦點坐標為_【解析】根據(jù)圓的漸開線方程可知基圓的半徑r6，其方程為x2y236，把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到的曲線的方程為2y236，整理可得1，這是一個焦點在x軸上的橢圓c6，故焦點坐標為(6，0)和(6，0)【答案】(6，0)和(6，0)三、解答題9已知圓C的參數(shù)方程是(為參數(shù))和直線l對應的普通方程是xy60.(1)如果把圓心平移到原點O，請問平移后圓和直線有什么位置關系？(2)寫出平移后圓的漸開線方程【解】(1)圓C平移后圓心為O(0,0)，它到直線xy60的距離為d6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的(2)由于圓的半徑是6，所以可得漸開線方程是(為參數(shù))10有一標準的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為22 mm，求齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程【解】因為基圓的直徑為22 mm，所以基圓的半徑為11 mm，因此齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程為(為參數(shù))能力提升1如圖241，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH叫做“正方形的漸開線”，其中、的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長是()圖241A3B4C5D6【解析】根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長，長度為，繼續(xù)旋轉可得是半徑為2的圓周長，長度為；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為4的圓周長，長度為2，所以曲線AEFGH的長是5.【答案】C2我們知道關于直線yx對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(為參數(shù))關于直線yx對稱的曲線的參數(shù)方程為_【解析】關于直線yx對稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關于yx對稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換【答案】(為參數(shù))3已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，則此漸開線對應的基圓的直徑是_，當參數(shù)時對應的曲線上的點的坐標為_【解析】圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1