《中心極限定理》PPT課件.ppt

2020 1 29 1 4 2中心極限定理 中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中 常常需要考慮許多隨機(jī) 例如 炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差 就受 因素所產(chǎn)生總影響 著許多隨機(jī)因素的影響 2020 1 29 2 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差 對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響 如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差 炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等 2020 1 29 3 觀察表明 如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú) 自從高斯指出測(cè)量誤差服從正 態(tài)分布之后 人們發(fā)現(xiàn) 正態(tài)分布 在自然界中極為常見(jiàn) 立的隨機(jī)因素的影響所造成 而每一個(gè)別因 素在總影響中所起的作用不大 則這種量一 般都服從或近似服從正態(tài)分布 2020 1 29 4 現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí) 這個(gè)和的極限分布是 在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢 特有的規(guī)律性問(wèn)題 什么呢 2020 1 29 5 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于 的分布函數(shù)的極限 故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮 它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量 2020 1 29 6 的分布函數(shù)的極限 可以證明 滿(mǎn)足一定的條件 上述極 考慮 中心極限定理 這就是下面要介 紹的 限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2020 1 29 7 在概率論中 習(xí)慣于把和的分布 我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形 下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列 收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心 極限定理 的中心極限定理 也稱(chēng)列維一林德伯格 Levy Lindberg 定理 2020 1 29 8 定理4 5 獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量序列 獨(dú)立同分布 且具有數(shù)學(xué)期望和方差 則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)Fn x 對(duì)于任意x 有 2020 1 29 9 它表明 當(dāng)n充分大時(shí) n個(gè)具有期望和方差 雖然在一般情況下 我們很難求出和 的獨(dú)立同分布的r v之和近似服從正態(tài)分布 的分布的確切形式 但當(dāng)n 很大時(shí) 可以求出近似分布 2020 1 29 10 中心極限定理的意義 在第二章曾講過(guò)有許多隨機(jī)現(xiàn)象服從 正態(tài)分布是由于許多彼次沒(méi)有什么相依關(guān) 系 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象誰(shuí)也不能起突出影響 而 均勻地起到微小作用的隨機(jī)因素共同作用 即這些因素的疊加 的結(jié)果 2020 1 29 11 則它可被看成為許多相互獨(dú)立的起微小作 或近似服從正態(tài)分布 若聯(lián)系于此隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量為 而這個(gè)總和服從 2020 1 29 12 高爾頓釘板試驗(yàn) O 記 則 近似 共15層小釘 高爾頓 FrancisGalton 1822 1911 英國(guó)人類(lèi)學(xué)家和氣象學(xué)家 2020 1 29 13 中心極限定理的應(yīng)用 例1炮火轟擊敵方防御工事100次 每次 轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布 其數(shù)學(xué)期 望為2 均方差為1 5 若各次轟擊命中的炮 彈數(shù)是相互獨(dú)立的 求100次轟擊 1 至少命中180發(fā)炮彈的概率 2 命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率 2020 1 29 14 解設(shè) i表示第i次轟擊命中的炮彈數(shù) 相互獨(dú)立 設(shè) 表示100次轟擊命中的炮彈數(shù) 則 由獨(dú)立同分布中心極限定理 有 2020 1 29 15 1 2 2020 1 29 16 例2售報(bào)員在報(bào)攤上賣(mài)報(bào) 已知每個(gè)過(guò)路 解令 i為售出了第i 1份報(bào)紙后到售 幾何分布 人在報(bào)攤上買(mǎi)報(bào)的概率為1 3 令 是出售了 100份報(bào)時(shí)過(guò)路人的數(shù)目 求 P 280 320 出第i份報(bào)紙時(shí)的過(guò)路人數(shù) i 1 2 100 2020 1 29 17 相互獨(dú)立 由獨(dú)立同分布中心極限定理 有 2020 1 29 18 例3檢驗(yàn)員逐個(gè)檢查某產(chǎn)品 每查一個(gè)需 用10秒鐘 但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次 再 用去10秒鐘 若產(chǎn)品需重復(fù)檢查的概率為0 5 求檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè) 的概率 若在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900 個(gè) 即檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于8小 時(shí) 解 2020 1 29 19 設(shè) 為檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間 秒 設(shè) k為檢查第k個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間 單位 秒 k 1 2 1900 0 50 5 2020 1 29 20 相互獨(dú)立同分布 2020 1 29 21 2020 1 29 22 定理4 6 德莫佛 拉普拉斯定理 設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為n 的 則對(duì)于任意x 有 二項(xiàng)分布 2020 1 29 23 N np np 1 p 即 定理表明 當(dāng)n很大 0 p 1是一個(gè)定值時(shí) 或者說(shuō) np 1 p 也不太小時(shí) 二項(xiàng)變量 的分布近似正態(tài)分布 近似 2020 1 29 24 下面我們舉例說(shuō)明中心極限定理的應(yīng)用 從演示不難看到中心極限定理的客觀背景 2020 1 29 25 例4根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn) 某種電器元件的壽命服 服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布 現(xiàn)隨機(jī)地取16 只 設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的 求這16只元件 的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率 由題設(shè)條件知 諸 i獨(dú)立 16只元件的壽命的總和為 解 設(shè)第i只元件的壽命為 i i 1 2 16 E i 100 D i 10000 依題意 所求為P 1920 2020 1 29 26 由于E 1600 D 160000 由中心極限定理 P 1920 1 P 1920 1 0 8 1 1 0 7881 0 2119 16只元件的壽命的總和為 依題意 所求為P 1920 近似 2020 1 29 27 例5某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床 每臺(tái)獨(dú)立工作 開(kāi)工率為0 6 解設(shè)至少要供給這個(gè)車(chē)間a千 瓦的電力 為開(kāi)工的車(chē)床數(shù) 則 B 200 0 6 N 120 48 近似 由德莫佛 拉普拉斯中心極限定理 有 開(kāi)工時(shí)每臺(tái)耗電量為r千瓦 問(wèn)供電所至少要供給這個(gè)車(chē) 供電不足而影響生產(chǎn) 間多少電力 才能以99 9 的概率保證這個(gè)車(chē)間不會(huì)因 2020 1 29 28 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求a 使 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表 得 2020 1 29 29 令 解得 千瓦 2020 1 29 30 例6設(shè)有一批種子 其中良種占1 6 試估計(jì)在任選的 解設(shè) 表示6000粒種子中的良種數(shù) B 6000 1 6 近似 由德莫佛 拉普拉斯中心極限定理 則 有 6000粒種子中 良種比例與1 6比較上下不超過(guò)1 的概 率 2020 1 29 31 2020 1 29 32 比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果 中心極限定理 二項(xiàng)分布 精確結(jié)果 Poisson分布 Chebyshev不等式 2020 1 29 33 定理7 李雅普諾夫定理 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立 它們具有數(shù)學(xué)期望和方差 2020 1 29 34 則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)Fn x 對(duì)于任意的x滿(mǎn)足 2020 1 29 35 例7某保險(xiǎn)公司有10000個(gè)同齡又同階層的人 參加人壽保險(xiǎn) 已知該類(lèi)人在一年內(nèi)死亡的概率 為0 006 每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在年初付12元保險(xiǎn) 費(fèi) 而在死亡時(shí)家屬可向公司領(lǐng)得1000元 問(wèn)在 此項(xiàng)業(yè)務(wù)活動(dòng)中 1 保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少 2 保險(xiǎn)公司獲得利潤(rùn)不少于40000元的概率是 多少 2020 1 29 36 解 設(shè)這10000人中一年內(nèi)死亡的人數(shù)為 則 B 10000 0 006 保險(xiǎn)公司一年收取 10000 12 120000 元 保險(xiǎn)費(fèi) 故僅當(dāng)每年死亡人數(shù)超過(guò)120人時(shí)公司才 會(huì)虧本 當(dāng)每年死亡人數(shù)不超過(guò)80人時(shí)公司獲利 不少于40000元 由此可知 所求的概率分別為 及 由中心極限定理 有 2020 1 29 37 2020 1 29 38 例8設(shè)每次試驗(yàn)中 事件A發(fā)生的概率為0 75 試用中 解設(shè) 表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次 B n 0 75 心極限定理估計(jì) n多大時(shí) 才能在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 事件A出現(xiàn)的頻率在0 74 0 76之間的概率大于0 90 數(shù) 則 問(wèn)題 2020 1 29 39 由德莫佛 拉普拉斯定理