VaR數(shù)學(xué)模型及其計算方法_劉紅波.pdf

西北農(nóng)業(yè)學(xué)報 2008 17 4 334 338 Acta Agriculturae Boreali occidentalis Sinica VaR 數(shù)學(xué)模型及其計算方法 劉紅波 邊寬江 程 波 袁志發(fā) 西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院 陜西楊凌 712100 摘 要 VaR Value at Risk 是一種以規(guī)范的統(tǒng)計技術(shù)來度量市場風(fēng)險的新標(biāo)準(zhǔn) 目前在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域被廣 泛使用 它是在正常的市場條件下 給定一定時間區(qū)間和置信水平 測度最大損失的數(shù)學(xué)方法 傳統(tǒng)的 VaR 計算方法在計算開放式基金時 可能存在著高估風(fēng)險的情況 對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)下得到的風(fēng)險值 VaR 要比 正態(tài)分布假設(shè)下的風(fēng)險值更接近實際值 本文著重論述了 VaR 模型的數(shù)學(xué)原理以及該模型的計算方法 運(yùn) 用對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)來評估開放式基金的風(fēng)險 以驗證其結(jié)果是否更加接近實際風(fēng)險值 關(guān)鍵詞 VaR 置信度 時間序列 對數(shù)正態(tài)分布 中圖分類號 F224 9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1004 1389 2008 04 0334 05 VaR Mathematical Model and Its Computing Methods LIU Hong bo BIAN Kuan jiang CHENG Bo and YUAN Zh i fa College of Science Northwest A Confident level Time series Logarithm normal distribution VaR 模型是金融數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)問題之一 標(biāo)準(zhǔn)差 系數(shù) 持續(xù)期等傳統(tǒng)的度量方法已不能適 應(yīng)新的金融風(fēng)險的度量 因此 金融機(jī)構(gòu)需要一 種能全面反映投資組合所承擔(dān)風(fēng)險的技術(shù)方法 而 VaR數(shù)學(xué)模型就是為了適應(yīng)這種需要而產(chǎn)生 的風(fēng)險度量方法 VaR 是基于統(tǒng)計分析基礎(chǔ)上 的風(fēng)險度量技術(shù) 它的核心在于描述金融時間序 列的統(tǒng)計分布或概率密度函數(shù) 1 目前 國內(nèi)外 對 VaR模型的研究極為廣泛 Umberto Cheru bini 和 Elisa Luciano 2001 全面介紹了 VaR 方 法的優(yōu)點(diǎn) 適用范圍 計算過程以及其不足之處 蒲明 2003 也從理論方面論證了 VaR 模型在對 開放式基金風(fēng)險估計的可行性 并提出了具體的 操作步驟 主要提出 方差 協(xié)方差法0這種簡單 的計算方法 筆者通過對比分析 發(fā)現(xiàn)這些研究 盡是針對現(xiàn)有的 VaR 模型而展開的 沒有對模型 進(jìn)行數(shù)學(xué)原理的分析 故本文論述了 VaR 數(shù)學(xué)模 型的計算方法以及對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)下資產(chǎn)組合 的風(fēng)險值 收稿日期 2007 12 04 修回日期 2008 04 05 作者簡介 劉紅波 1982 男 陜西乾縣人 碩士研究生 主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究 通訊作者 邊寬江 1963 男 陜西隴縣人 副教授 碩士生導(dǎo)師 主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究 1 VaR 模型的數(shù)學(xué)原理 VaR 模型是指在正常的市場條件下和給定 的置信度下 在給定的持有期間內(nèi) 某一投資組合 所面臨的最大的潛在損失 可以是相對值 也可以 是絕對值 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 Prob vW VaR 1 c A 式中 vW 為 金融資產(chǎn)在持有期 vt 內(nèi)的損失 VaR 為置信水 平A下處于風(fēng)險中的價值 c 為置信度 例如 對 于某一金融機(jī)構(gòu)來說 它所持有的金融資產(chǎn)在未 來一周內(nèi) 置信度為 99 市場正常波動的情況 下 其 VaR 值為 150 萬元 則表示該公司的金融 資產(chǎn)在一周內(nèi) 由于市場價格變化而帶來的最大 損失額超過 150 萬元的概率為 1 換句話說 也 就是有 99 的概率在未來一周的損失額不會超 過 150 萬元 令 W0為某資產(chǎn)組合的期初價值 W 為該資 產(chǎn)組合的期末價值 R 為該組合在持有期間的投 資收益率 則有 W W0 1 R 假設(shè)在正常的 市場條件下 資產(chǎn)組合的最小價值 W W0 1 R R 為最小收益率 VaR 可定義為相對均值 的損失 即 VaR 相對 E W W 1 還可以定義為相對于 0的絕對損失 即 VaR 絕對 W0 W 2 由前面已知 W W0 1 R 3 W W0 1 R 4 再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì) 由 1 2 3 4 式 可得 VaR 相對 E W0 1 R W0 1 R W0 E R R W0 L R 5 VaR 絕對 W0 W0 1 R W0R 6 在正常的市場條件假設(shè)下 R I 時間序列 R1 R2 Rt 通常服從正態(tài)分布 其數(shù)學(xué)期望值為 L 因此由 1 6 式可以看出 計算 VaR 相當(dāng)于確 定最小價值 W 或最小收益率 R 2 VaR 模型中變量的確定 2 1 資產(chǎn)組合收益率分布 在市場上 回報行為是一個隨機(jī)過程 因此 不包括人為和市場機(jī)制的干涉因素 設(shè)某金融資 產(chǎn)價格的時間序列為 Wt W0為某資產(chǎn)組合的 期初價值 W 為該資產(chǎn)組合的期末價值 R 為該 組合在持有期間的投資收益率 則有 W W0 1 R 將 R 看作一個隨機(jī)變量 作為金融資產(chǎn)的時 間序列 Rt 有 Rt Wt Wt 1 t t 1 Wt 1 t t 1 t 1 表示前一時刻 當(dāng) Wt 1已知時 收益率序列 Rt 服從正態(tài)分布 N L R 2 雖然資產(chǎn)收益正態(tài) 分布假設(shè)能進(jìn)行較方便的 VaR 度量和分析 但實 證研究表明資產(chǎn)收益率分布具有尖峰厚尾現(xiàn)象 正態(tài)分布的假設(shè)往往會低估風(fēng)險值 5 因此 在 實際中需要對資產(chǎn)收益率的分布進(jìn)行合理的假 設(shè) 2 2 置信水平 設(shè)總體 X 的分布含有一個未知參數(shù) H 若由 樣本 X1 X2 Xn確定的兩個統(tǒng)計量 H1 X1 X2 Xn 及 H2 X1 X2 Xn 對于給定值 A 0 A 0 設(shè) W 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 L W 和 R 2 W 則有 L W E W Q W f W dW Q 1 R2P e ln W L 2 2R2dW 令 ln W L R t 則 dW e L R t Rdt 1 R2P Q e t2 2 e L R t dt 1 2P eLQ e t2 2 ot dt 1 2P eLQ e t R 2 2 e R2 2dt 1 2P e L R2 2 Q e t R 2 2 dt 令 m t R 則上式 1 2P e L R2 2 Q e m2 2 dm 而Q e m2 2 2P 則上式 e L R2 2 R 2 W D W E W 2 EW 2 Q W 2 f W dW e L R2 2 2 Q W 21 RW2P e lnW L 2 2R2dW e 2L R 2 Q 1 RW2P e lnW L 2 2R2dW e 2L R 2 令 ln W L R t 則 W e L R t dW e L R t R dt 1 R2P Q e L R t e t2 2e L R t Rdt e 2L R 2 1 2P Q e t 2R 2 2 e 2L 2R2 dt e 2L R2 令 x t 2R 則上式 1 2P e 2L 2R2 Q e x2 2 dx e 2L R2 e 2L 2R2 e 2L R2 eR 2 1 e 2L R 2 根據(jù)概率分布推導(dǎo) 1 c Q W f W dW Q R f R dR Q La U E dE 其中 La為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù) U E 為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù) 又由 P R R P R L W RW R L W RW 1 c 得 R LW RW LA R L W RWLA 所以 VaR 的計算方法可推導(dǎo)為 VaR相對 E W W E W0 1 R W0 1 R W0 L W R 336 西 北 農(nóng) 業(yè) 學(xué) 報 17 卷 W0 L W LW RWLA W0RWLA W0 e2L R 2 eR 2 1 L A VaR絕對 W0 W W0 W0 1 R W0R W0 LW RwLA W0 L R 2 2 e2L R 2 eR2 1 LA 當(dāng)資產(chǎn)組合包括 2 種以上資產(chǎn)時 我們用向 量形式來表示 假定組合中有 n 種資產(chǎn) 每種資產(chǎn) 的收益為 Ri t i 1 2 n 令向量 R t R1 t R2 t Rn t T 并假設(shè) R t 服從多元 正態(tài)分布 記 F Q i j n n為n 種資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù) 矩陣 x x1 x2 xn 為每種資產(chǎn)投資占總 投資的比重 顯然有 E n 1 xi 1 另記投資組合的收 益為 RW t 則有 RW t x1R1 t x2R2 t xnRn t 我們已經(jīng)知道正態(tài)分布的線性組合仍然是正 態(tài)分布 所以 RW t 服從正態(tài)分布 按照前面的推 導(dǎo) 其風(fēng)險值 在此僅計算相對 VaR 值 VaRw W0R wLA 7 剩下的關(guān)鍵問題就是求投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差 Rw了 首先構(gòu)造加權(quán)矩陣 x x1x2 xn 以及其 轉(zhuǎn)秩矩陣 x T x1x2 xn T 標(biāo)準(zhǔn)差矩陣 U R10 0 0R2 0 00 Rn 和相關(guān)性矩陣 F 1Q1 2 Q1 n Q2 11 Q2 n Qn 1Qn 2 1 然后由相關(guān)系數(shù) 定義及方差求解的性質(zhì) 可知資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差 Rw同每種資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差 R之間的關(guān)系為 Rw 2 xR FR x T 代入 7 得 VaRW W0 xRFR x T 1 2 LA 5 計算實例 為了證實對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)下得到的 VaR 值是否比更接近實際值 本文選取了 8 只開放式 基金作為樣本 假設(shè)這些基金僅投資于某一資產(chǎn) 樣本數(shù)據(jù)為 2006 年 7 月 6 日至 2007 年 07 月 09 日的 41 個交易日數(shù)據(jù) 數(shù)據(jù)來源 http my fund cnfund cn index aspx 其中前 30 個作為 計算 VaR 的樣本數(shù)據(jù) 后 11 個作為對計算結(jié)果 進(jìn)行回測的驗證數(shù)據(jù) 根據(jù)前面對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)下的 VaR 計算 方法 我們可對 8 只基金的數(shù)據(jù)在 95 和 99 置 信度下進(jìn)行計算 這里 L1 0 0246 L2 0 01 L3 0 0146 L4 0 01324 L5 0 014 L6 0 01228 L7 0 0112 L8 0 0352 R1 2 0 001659 R2 2 0 000127 R3 2 0 000462 R4 2 0 000199 R5 2 0 000165 R6 2 0 000166 R7 2 0 000296 R8 2 0 003042 代入公式 VaR 相對 W0 e2L R 2 eR 2 1 LA 分別取 L0 05 1 645 L0 01 2 33 計算得其絕對值 VaR1 95 1 775 e2 0 0246 0 001659 e0 001659 1 1 645 3 033 VaR1 99 1 775 e 2 0 0246 0 001659 e 0 001659 1 2 33 4 295 VaR8 95 3 246 e2 0 0352 0 003042 e0 003042 1 1 645 5 729 VaR8 99 3 246 e 2 0 0352 0 003042 e 0 003042 1 2 33 8 115 具體數(shù)值見表 1 表 1 對數(shù)正態(tài)分布下的 VaR值 Table 1 The value of VaR under logormal distribution 基金名稱 Name of funds 樣本方差 Variance of sample VaR 值 95 VaR value 95 VaR 值 99 VaR value 99 華夏大盤精選0 0016593 0334 295 嘉實服務(wù)增值行業(yè)0 0001272 0562 912 易方達(dá)深 100ET F0 0004622 3953 392 興業(yè)趨勢0 0001992 6413 741 中信紅利精選0 0001652 4283 439 光大保德信紅利股票0 0001661 8942 683 華夏上證 50ET F0 0002961 9192 719 華安上證 180ET F0 0030425 7298 115 337 4 期 劉紅波等 VaR 數(shù)學(xué)模型及其計算方法 接下來要對上面的 VaR 值進(jìn)行驗證 看其是 否接近實際值 在此運(yùn)用常見的巴塞爾規(guī)則 1996 對上一部分中得到的值進(jìn)行回測分析 所 選用的數(shù)據(jù)為后 11 個交易日樣本數(shù)據(jù) 巴塞爾 規(guī)則可用表 2簡單概述 表 2 巴塞爾規(guī)則區(qū)域 Table 2 The area of Basel rule 區(qū) 域 The area例外個數(shù) Number of exception 綠 燈 Green light0 1 黃 燈Yellow light2 3 紅 燈 Red light4 個以上 其中例外個數(shù)是指回測樣本數(shù)據(jù)值均高于之 前計算的 VaR 值 對表 1 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證時 發(fā)現(xiàn) 只出現(xiàn)了一個例外 即 95 置信度下 光大 保德信紅利股票一日的收益超過了其 VaR 值 這 一例外個數(shù)剛好落在了巴塞爾規(guī)則的綠燈區(qū)域之 內(nèi) 這說明運(yùn)用對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)預(yù)測的 VaR 值接近實際值 6 結(jié)論 本文通過對 VaR 模型的分析 注意到計算 VaR 值時首先涉及三個要素 一是市場有效性 即未來資產(chǎn)價值的分布特征 二是置信度的大小 三是目標(biāo)區(qū)間的選擇 即持有期的長短 VaR 模 型的構(gòu)建也有多種方法 不同研究領(lǐng)域可根據(jù)不 同需求來構(gòu)建相應(yīng)的VaR 其次 通過對VaR 模 型的計算方法改進(jìn)之后 所得的理論值與實際值 更加接近 總而言之 我們可以看出 VaR 是一個數(shù)值 而且若要得到這個數(shù)值最重要的是對風(fēng)險因素波 動的測量 在金融投資市場的統(tǒng)計中 通常用方 差來度量風(fēng)險 對方差的不同計算方法將導(dǎo)致對 VaR 的不同度量 例如 將正態(tài)分布假設(shè)修正為 對