麥克斯韋速率分布律的一種推導方法.doc

麥克斯韋速率分布律的一種推導方法安海東（天水師范學院，物理與信息科學學院,物理系，甘肅，天水，741000）摘要：運用基本的初等方法推導出了麥克斯韋速率分布律，同時，對分布函數(shù)的歸一化表達式中和求力學量平均值積分運算中對積分限可以取分子速率無限大作了定量的解釋和說明。關鍵詞：麥克斯韋速率分布律；分布函數(shù)；推導方法；分子數(shù)比率分類號：O552.3+1 One of the Derivation Methods of Maxwell Velocity Distribution LawAn Haidong(School of physics and information science，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu，741000)Abstract: Maxwell velocity distribution law is derived by the basic methods, meanwhile, why molecular speed can take the infinite quantity in the normalized of distribution function and the infinitesimal calculus of the average value of the mechanical quantity. In this thesis, the reasonable explanation is put forward by quantitative analysis.Key wards: Maxwell velocity distribution law，distribution function，derivation methods，number ratio of molecule物理與信息科學學院2009屆畢業(yè)論文1引言麥克斯韋速率分布律是熱學中的重要知識點，但大學熱學教材沒有作詳細的推導，而是直接給出了麥克斯韋速率分布律，對在分布函數(shù)的歸一化表達式中和求力學量平均值的積分運算中，為什么能對積分限取分子速率為無限大（根據(jù)狹義相對論，分子速率不能達到光速，更不能達到無限大）作了定量的分析，并得出結論，這種取法是合理的，可行的。2麥克斯韋速率分布函數(shù)的推導O圖 1設容器內(nèi)有一定量的氣體處于平衡態(tài)，氣體總分子數(shù)為N，以分子速度v在x，y，z三個方向的分量，為坐標軸建立直角坐標系，如圖1所示，處于平衡態(tài)的氣體分子速度分布應該是各向同性的，分子速度分量限制在+，+，+內(nèi)，即它們的速度矢量的端點都在體積元=內(nèi)的分子數(shù)顯然與總分子數(shù)N和速度間隔體積元成正比，即 （1） （其中） （1）式中的比例系數(shù)為 （2）（2）式即為速度分布函數(shù)。其物理意義是在單位速度間隔=內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。速度分布函數(shù)的自變量取是為了不突出該函數(shù)只與速度的大小有關，與速度的方向無關這一特點。由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布與其他分量無關，故可令 （3）對上式兩邊同時取對數(shù)，得 （4）上式分別對，求偏導，并注意到整理后有： (5.1) (5.2) (5.3)上面三個式子左邊是完全相同的，因而右邊也應該是相等的，但(5.1)式中右邊僅與有關而與，無關，但（5.2）式中右邊僅與有關而與，無關，但（5.3）式中右邊僅與有關而與，無關，要使它們對任意的，都成立，則必須同時等于一個與，均無關的系數(shù)，即 （6）對上式積分得 （7.1） （7.2） （7.3）（其中，均為常數(shù)）將（7.1），（7.2），（7.3）式代入（3）式得 (其中=) （8）聯(lián)系實際，考慮到具有無限大速率的分子出現(xiàn)的幾率極小，故應為負值。令，由歸一化條件得 （9） 將代入上式?？傻?于是 （10）再利用分子平均動能等于，這一關系：有 即 （11）O圖 2可以確定，代入（10）式便得到麥克斯韋速度分函數(shù)： （12）或 （13） 通常所說的速率分布函數(shù)指的是不論速度方向如何，只考慮速度大小的分布，所以在這種情況下，應該在以，為坐標軸的球坐標系中表示。分子速度大小限制在v與v+dv之間而分子速度的方向為任意，即它們的速度矢量的端點都落在半徑為，厚度為的球殼內(nèi)，這個球殼的體積等于，如圖2所示。用體積元代替體積。則氣體分子速率在vv+dv區(qū)間的分布為 （14）將麥克斯韋速度分函數(shù)（13）式代入上式得 （15）即 （16）這就是麥克斯韋速率分函數(shù)，即麥克斯韋速率分布律。3為何能取積分限為無限大在討論平衡態(tài)下氣體分子的速率分布時，不論在歸一化表達式中，還是在求力學量（如； ）的平均值的積分運算中總是取積分上限為無限大。然而，根據(jù)狹義相對論，分子速率不能達到光速，更不能達到無限大。那么，為什么可以取積分限為無限大呢！為了解釋這一問題，先計算氣體分子速率大于某一速率v的分子數(shù)比率.以表示速率在0v之間的分子數(shù)比率，則（1）表示速率大于v的分子數(shù)比率。 令 則其中 即為分子的最可幾速率，這樣，根據(jù)麥克斯韋速率分布律，得 （17）其中在概率論和數(shù)理論中稱為誤差函數(shù)，用表示，即 （18）（其中的數(shù)值可查誤差函數(shù)簡表：附表一）以空氣分子為例，作進一步定量分析，取T=300K，平均摩爾質量，可算出最可幾速率為=當x=2.8時，速率在0之間的分子數(shù)比率為 速度大于的分子數(shù)比率約為由此可見，在計算中把積分限取為無限大與取為相比較，誤差僅是，這對我們要解決的實際問題，影響甚小，而計算卻非常簡便。因此，在歸一化條件中以及在用速率分布函數(shù)計算力學量平均值時，通常把積分限取為無限大是可行的。4結束語綜上所述，麥克斯韋速率分布律可以采用一種初等的，基本的方法導出，通過對分布函數(shù)的歸一化表達式中和求力學量平均值的積分運算中積分限可取分子速率為無限大作進一步分析，從而得出結論：分布函數(shù)的歸一化表達式中和求力學量平均值的積分運算中積分限取分子速率為無限大對我們解決實際問題影響甚小，卻能使計算變地簡便，因此，這樣作是合理的，可行的。1參考文獻：1 李椿，章立源，錢尚武. 熱學M. 北京：高等教育出版社，1979：721053 范中和. 大學物理M. 陜西：陜西師范大學出版社，2006：2372414 同濟大學應用數(shù)學系主編. 高等數(shù)學M. 第五版. 北京：高等教育出版社，20015 張國文. 麥克斯韋速率分布函數(shù)的教學. 晉東南師范?？茖W校學報J. 2004. 第21卷.第2期6 李汝烯. 推導麥克斯韋分布律的一種方法. 大理師專學報J. 1997. 第1期7 吳敢. 麥克斯韋速度分布律幾種證明方法的比較. 大學物理J. 1989. 第12期8 吳瑞賢. 推導麥克斯韋速度分布律、速率分布律的簡單方法. 大學物理J. 1982. 09期9 言經(jīng)柳. 麥克斯韋速率分布律的推導. 南寧師范高等?？茖W校學報J.