海文鉆石卡講義(高數).doc

一 函數、極限、連續(xù)1 函數的性質a 有界性(1) 定義：, ，有 .(2) 無界：, ，有 .(3) 無界與無窮：無界的本質是有一個子列趨向于無窮；無窮的本質是任意的子列趨向無窮。b 奇偶性(1) 定義：偶；奇 。(2) 導函數：奇導偶，偶導奇.(3) 原函數：奇原偶, 偶函數的原函數有且僅有一個為奇函數.c 周期性(1) 定義：(2) 導函數：導函數還是周期函數并且周期相同d 單調性(1) 定義：遞增(遞減) 當時，均有(2) 導函數：單增(減)；單增(減). 一 函數、極限、連續(xù)1 函數的性質a 有界性(1) 定義：, ，有 .(2) 無界：, ，有 .(3) 無界與無窮：無界的本質是有一個子列趨向于無窮；無窮的本質是任意的子列趨向無窮。b 奇偶性(1) 定義：偶；奇 。(2) 導函數：奇導偶，偶導奇.(3) 原函數：奇原偶, 偶函數的原函數有且僅有一個為奇函數.c 周期性(1) 定義：(2) 導函數：導函數還是周期函數并且周期相同d 單調性(1) 定義：遞增(遞減) 當時，均有(2) 導函數：單增(減)；單增(減).例1 設（A） 偶函數 （B）有界函數 （C） 周期函數 （D）單調函數分析：(A) 則是偶函數.(B) 取, 則, 故無界.(C) 若為周期函數,設周期為, , 故而, 從而 顯然,當, 顯然, 故而不是周期函數.(D) 設, 故而不是單調函數. 例2 設是一個奇的連續(xù)函數，則下面必定是奇函數的是( )（A） （B） （C） （D）根據上面條件無法判斷分析: (A) 是偶函數, 從而(A)是奇函數.(B) 是奇函數, 從而(B)是偶函數.(C) 是奇函數, 偶函數.例3 設函數具有二階導數，并滿足且若 則（ B ）(A) (B) (C) (D) 分析: 顯然是奇函數, 故而 是偶函數且為周期為1的函數, 則 .2 極限的定義和性質a 一元函數的極限與性質(1) :,，當時，有.(2) 推論: 若, 則不存在.(3) 當有(4) 四則運算(略). 它的一個重要推論如下: 若，則 .b 二元函數(1) :,，當時，有.(2) 推論：若按兩路徑趨向于所得極限不同，則不存在.(3) 當有例4 設，求和。分析:例5設函數在點（0，0）連續(xù)，且，則點（0,0）是( )（A）極大值點 （B）極小值點 （C）不是極值點 （D）根據上面條件無法判斷3 一元函數極限的計算a 四則運算和等價無窮小代換.例6 .例7 求b 三大恒等變形1). 含的極限. 若直接計算且, 直接利用公式 將寫成求解.例8 例9 2） 有理化變形 例10 例11 求3) 分子、分母同時除以最大的無窮大常見的無窮比較: 例12 例13 d 洛必達法則和泰勒定理函數進行泰勒定理展開時, 只要展開到首次不同項即可.例14 設函數，則當時，是的（ ）（A） 低階無窮小 （B） 高階無窮?。–） 等價無窮小 （D） 同階但不等價的無窮小例15 求.4 二元函數極限的計算a 利用夾逼準則、等價無窮小、初等函數的連續(xù)性等轉化為為一元函數的極限.例16 求例17 求b 選擇不同的路徑得到不同的極限從而極限不存在.例18 請說明是否存在.5 連續(xù)函數a 定義: .b 運算: 連續(xù)的函數的和、差、積及商（分母不為零），仍連續(xù); 連續(xù)函數經有限次復合而成的復合函數仍連續(xù)。c 閉區(qū)域(區(qū)間)連續(xù)函數性質: 有界性、最值性、介值性、零點定理.推論: 設在連續(xù),且存在, 則在有界.例19(04) 設函數在下列哪個區(qū)間內有界( )A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)例20 設在連續(xù)，求證存在使得. 二 微分學1 導數與偏導數的定義、性質a 導數定義: 1) 存在.2) 存在在可微在連續(xù).3) 若, 在連續(xù)，則存在 若, 在連續(xù), 則存在.b 偏導數定義: ,.1) 在可微2) 例1 設, 則在原點偏導數有( )(A) 偏導存在，偏導不存在 (B) 偏導不存在，偏導也不存在(C) 偏導不存在, 偏導存在 (D) 偏導存在，偏導也存在例2 討論二元函數 在處的連續(xù)性、偏導是否存在和可微性例3 可導, ,則是存在的( )條件A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 即非充分也非必要2 顯函數求導公式a 常見的求導公式: 四則運算和復合函數求導(略).b微分方法求導(偏導數): 利用微分形式不變性求出微分, 自變量微分的系數就是所要求的導數.c連環(huán)相乘的對數求導法: 設,兩邊取對數 從而例4 設 求和.例5 設, 求.例6 設求3 特殊函數的求導方法a參數函數求導法: ; .b反函數求導法: ; c變上限函數求導法則: 其他形式的變上限函數通過四則運算或者換元變成上面的形式.d 分段函數的求導方法: 定義是唯一的途徑.例7 設在和上連續(xù)，和分別為在和的原函數，令 又在上連續(xù)，問是否為在的一個原函數？例8 設滿足，求它的反函數的二階導數例9 求常數a，b使函數處處可導，并求出導數例10 設在（，+ ）連續(xù)且，求例11 設f（x）在（，+）連續(xù)，又，求例12 設，求4 隱函數求導公式: 兩邊同時求導或者求微分.例13 設有連續(xù)的一階偏導數，又函數及分別由下列兩式確定 和，求.例14 設, 證明. 5 極值問題a 顯函數極值問題先求出駐點()或者導數不存在的點(偏導不存在考研不要求)；再進行判斷，一元函數可以用在可疑點附近的領域判斷或者在可疑點的值判斷, 二元函數只能用二階偏導判斷.b隱函數極值問題先求可疑點，再判斷但是隱函數只能用二階導數判斷.c 條件極值1)方法1: 消去條件，將條件問題直接轉化為無條件問題.2)方法2: 利用Lagrange法將條件問題直接轉化無條件問題.例15求函數在約束條件和的最大值與最小值例16 求方程所確定的隱函數的極值. 例17設函數由方程確定，試求的駐點，并判斷是否為極值.例18 求單調區(qū)間和最值.例19 設在x = 0某鄰域連續(xù)，則在x = 0處 （A）不可導 （B）可導且（C）有極大值 （D）有極小值6 有界閉區(qū)域上的最值先求內部可能點，再求邊界可能點. 一元函數的邊界可能點即為左右端點, 二元函數轉化為求滿足邊界方程的可能條件極值點, 一般利用Lagrange乘子法. 其次，求出所有可能點對應的函數值，其中的最大值就為總體最大值，最小值就為總體最小值.例20 求的最值.7 中值定理的證明問題a) 直接證明型: 參數放在等式右邊，左邊為或 的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。例21 證明.例22 證明b) 構造函數型: 構造函數利用洛爾定理.1) 簡單型：直接可以寫出要構造的函數，如下面的幾個形式:，2) 標準型：. 構造的函數為.例23 設在上連續(xù)，在內可導，且滿足：，證明：至少存在一點，使得,.例24 設，在上皆連續(xù)，內皆可導，且，則存在，使. 8 函數的零點問題a) 一般若是討論根的個數問題. 主要步驟如下：1) 寫出方程對應的函數 2)利用導數列表研究函數的單調性3) 分析各個單調區(qū)間端點值(或極限值)的符號(事實上就是零點定理)，得到根的個數.b) 根的唯一型問題. 主要步驟如下：1) 寫出方程對應的函數 2）證明函數在區(qū)間上具有單調性. 3）證明區(qū)間端點值(或極限值)的異號。例25 當取下列哪個值時，函數恰有兩個不同的零點 ( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8例26 設有方程，其中為正整數，證明此方程存在惟一正根，并求。9 輔助函數法證明不等式步驟1：設置一個自變量,構造自變量的函數；步驟2：對函數求導，求最值, 將最值和要證明的值做比較。注: 同一問題可以構造很多函數，選擇導數比較簡單的函數。例27 若，證明 。例28 若，證明。例29 證明當時有 .10 導數、偏導數的簡單幾何應用a) 切線： , 切點的斜率為該點對應的導數.b) 曲線的切向量及切線和法平面方程(數學一)1) 曲線方程為, 的切向量為，2）曲線方程，處切向量c) 曲面的法向量及切平面和法線方程(數學一)1) ,處的法向量2) 若曲面方程為，寫成之后，其法向量，此指向與軸正向夾角為銳角.例30 函數在附近有定義且則（A）（B）曲面在點的法向量為.（C）曲線在點的切向量為.（D）曲線在點的切向量為.三 積 分1 積分的基本性質與定義a) 定積分1）定義: . 右端點: 左端點: 2) 定積分的主要性質 . . 若 則.特別的：又有但兩個函數不全相等，則. 中值定理. 設在上連續(xù)，則存在使得. b) 二重積分1）定義: . 2) 二重積分的主要性質 . , 其中. 若 則.特別的：又有但兩函數不全相等，則. 中值定理. 設在上連續(xù)，則存在使得. c) 定積分和二重積分都是數.例1 等于( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例2 求.例3 設閉區(qū)域：。是上的連續(xù)函數且 ，求例4 比較與的大小.2 積分計算中的對稱與周期方法a) 定積分的對稱與周期.1) 2) 設以為周期，則. 特別的: 在上面的條件下還有.3) 二重積分的對稱性 關于軸對稱 關于軸對稱 關于軸對稱 . 若還有, 則例5 設函數，（1）當為正整數，且時，證明：；（2）求.例6 設，則下面的二重積分為0的是（）（A） (B） (C） (D) 例4 設區(qū)域為D上的正值連續(xù)函數，a，b為常數，求？3 定積分(反常積分)的計算方法a) 常見方法.1)基本思想： 牛萊公式2)基本方法： 湊(湊微分)、代(代換法)、分(分部積分法).例5 .例6 求積分.b) 特殊技巧1）對直接不好積分的函數, 采用積分變量替換的方法，一般情形下做替換時要注意積分區(qū)間不變. 常用的替換為：等等.2) 直接求解或者配對相加求解.例7 對實數，求例8 設，在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數，且滿足條件（為常數）.（1）證明：；（2）能利用（1）的結論計算.4 二重積分的計算a) 常規(guī)計算方法.1)選擇坐標積分. 極坐標: ; 為圓型區(qū)域.2) 選擇積分順序. 極坐標一般先后.直角坐標: 首個積分必須能算出來, 順便考慮使劃分的區(qū)域盡量少.例9設D為圓域x2 + y2R2，則例10 求，其中D由直線以及曲線 圍成例12 交換的積分順序.例13 求.b) 特殊技巧(可以處理乘積型積分不等式)1）交換積分順序 2) 配對相加求解.例13 在區(qū)間連續(xù)，證明.例14 證明.5 特殊函數的積分a) 變上限函數的定積分: 分部積分法或者轉化為二重積分.b) 分段函數積分.1) 寫出各區(qū)域分段函數.2) 畫出積分區(qū)域，對其進行其劃分.3）各區(qū)域積分相加.例16 求. 例17 .例18 計算.例19 計算積分6 積分的應用a) 面積 b) 體積 ; 例20 求由與確定的平面圖形繞直線旋轉而成的旋轉體的體積.例21 已知拋物線（其中）在第一象限內與直線相切，且此拋物線與軸所圍成的平面圖形的面積為，（1）問和何值時，達最大值?（2）求出此最大值.7 積分型等式、不等式的證明a) 等式若兩邊都為積分: 一般采取換元法或者分部積分法證明.b) 等式或不等式兩邊不含中值點: 往往采取構造輔助函數方法證明.c) 上面兩個方法不行時(如含有中值點、絕對值等): 一般采取積分中值定理、微分中值定理證明(Lagrange和Taylor).例22 設f（x）在a，b有二階連續(xù)導數，證明：例23 設在有二階連續(xù)導數，.證明：例24當時，證明（為自然數）的最大值不超過.例25 且單調遞增，證明.四 微分方程、差分方程1 一階微分方程的求解a) 可分離: ， 則.b) 齊次： ，令 則.c) 一階線性方程1）解的結構：為齊次線性方程的特解，則線性組合齊次線性通解. 若非齊次的特解，則是此非齊次線性方程的通解。2）解的表述： 則例1 求的通解。例2 例3 已知函數在任意點x處的增量，且當時，是比較高階的無窮小，則（ ）（A）2 （B） （C） （D）2 二階線性微分方程a) 解的結構.1) ，為齊次線性方程的兩特解，則也是解.特別地,與線性無關時，則方程的通解為。若非齊次的特解，則是此非齊次線性方程的通解。2）疊加原理：若y1是方程的一個解，y2是方程的一個解，則y1 + y2就是方程的一個解b) 常系數微分方程1）齊次線性微分方程特征根線性無關二解實根實根復根2）非齊次線性微分方程：r與，的關系特解y*的形式r，rr=，rr=，r=不是特征根是特征根例4 是二階常線性微分方程的三個解，求此微分方程.例5 求微分方程的通解.3 積分方程和函數方程統統轉化為微分方程, 若可導直接求導，未已知可導用導數定義.例6 設函數連續(xù)，求解方程：例7 設，其中，在內滿足以下條件，且，（1） 求所滿足的一階微分方程 （2）求出的表達式例8 設, 且，求.五 無窮級數 (數學一、三)1 常數項級數的基本概念a) 稱為數項級數, 稱為第項或通項.b) , 若（存在），則稱級數收斂，其和為，記作；若極限不存在，稱級數發(fā)散.2 收斂的基本性質a) 和皆收斂，則收斂;收斂，發(fā)散，則發(fā)散； 發(fā)散，發(fā)散，情況不明.b) 在級數中增加或減少或變更有限項則級數的收斂性不變.c) 與收斂性相同.d) 對收斂級數的項任意加括號所得到的新級數仍收斂，而且其和不變. 但是發(fā)散級數任意加括號，不一定發(fā)散它可能收斂.e) 級數收斂的必要條件是.3 正項級數和判別法a) 若則稱為正項級數. 收斂有上界 b) 比較判別法一般: 成立,收斂,則收斂;若發(fā)散,則發(fā)散。極限: 設， 若 1）當時，與同時收斂或發(fā)散。2）當時，若收斂，則收斂。 3）當時，若收斂，則收斂.c) 比值判別法（達朗倍爾）設，而 1）當時，則收斂; 2）當時（包括），則發(fā)散; 3）當時，此判別法無效.注：對于多項式形式的級數，本方法必定不能判斷收斂性.d) 根值判別法（柯西）（數學三不考）設，而 1）當時，則收斂; 2）當時（包括），則發(fā)散; 3）當時，此判別法無效.注: 比值判別法和根值判別法在很大程度上是等價的，根據所給級數的形狀有不同的選擇。含階層的通項往往用比值判別法，含指數為的通項往往用根植判別法.e) 判斷程序: 必要條件,比較極限(等價代換),比值根值,比較,積分.例1討論級數的收斂性.例2 討論的收斂性.例3 討論級數的收斂性.例4 討論 的收斂性.4 交錯級數及其萊布尼茲判別法a)定義 若，稱為交錯級數。b) 萊布尼茲判別法.設交錯級數滿足： 1） 2），則收斂，且.例5 討論級數的收斂性.例6 討論級數5 絕對收斂與條件收斂a) 定義： 若收斂, 稱絕對收斂；若收斂，發(fā)散，稱為條件收斂。b) 關系：若收斂，則一定收斂；反之不然。c ) 絕對收斂級數中無窮多項任意交換順序，得到級數仍是絕對收斂，且其和不變。例7 設條件收斂,則該級數正項或負項構成的級數，即或是