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直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系要點(diǎn)梳理1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系有三種:_相離_、_相切_、_相交_判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法:(1)代數(shù)法:(2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:dr_相離_.2計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算弦長|ab|2 (2)代數(shù)方法運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式|ab|xaxb|說明:圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法3求過點(diǎn)p(x0,y0)的圓x2y2r2的切線方程與切線長(1)過點(diǎn)p作圓的切線有三種類型:若圓的方程為x2y2r2,點(diǎn)p(x0,y0)在圓上,則過p點(diǎn)且與圓x2y2r2相切的切線方程為_ x0xy0yr2_注:點(diǎn)p必須在圓x2y2r2上經(jīng)過圓(xa)2(yb)2r2上點(diǎn)p(x0,y0)的切線方程為_(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2_若p(x0,y0)在圓外時(shí),則過p的切線方程可設(shè)為yy0k(xx0),利用待定系數(shù)法求解一般運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑,但注意有兩條切線說明:k為切線斜率,同時(shí)應(yīng)考慮斜率不存在的情況當(dāng)p在圓內(nèi)時(shí),不存在 (2)切線長的求法:過圓c外一點(diǎn)p作圓c的切線,切點(diǎn)為m,半徑為r,則|pm|.4判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法:從圓心距和兩圓半徑的關(guān)系入手(幾何法)設(shè)c1:(xa1)2(yb1)2r(r10),c2:(xa2)2(yb2)2r(r20),則有:|c1c2|r1r2c1與c2_相離_;|c1c2|r1r2c1與c2_外切_;|r1r2|c1c2|r1r2c1與c2_相交_;|c1c2|r1r2|(r1r2)c1與c2_內(nèi)切_;0|c1c2|r1r2_相離_;(2)已知兩圓x2y2d1xe1yf10和x2y2d2xe2yf20相交,則與兩圓共交點(diǎn)的圓系方程為_(x2y2d1xe1yf1)(x2y2d2xe2yf2)0_,其中為1的任意常數(shù),因此圓系不包括第二個(gè)圓當(dāng)1時(shí),為兩圓公共弦所在的直線,方程為(d1d2)x(e1e2)y(f1f2)0.5求圓外一點(diǎn)p到圓o上任意一點(diǎn)距離的最小值為|po|r,最大值為|po|r(其中r為圓o的半徑)基礎(chǔ)自測 1 已知圓c經(jīng)過m(2,1)和直線xy1相切,且圓心在直線y2x上,則圓c的方程為_(x1)2(y2)22_2直線yax1與圓x2y22x30的位置關(guān)系是_相交_3若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(,0)(10,)_ 4圓c1:x2y22x2y20與圓c2:x2y24x2y10的公切線有且僅有()a1條 b2條 c3條 d4條5直線ykx3與圓(x3)2(y2)24相交于m,n兩點(diǎn),若|mn|2,則k的取值范圍是()a. b. c. d.6圓x2y24x0在點(diǎn)p(1,)處的切線方程為()axy20 bxy40cxy40 dxy20題型一直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線l:ykx1,圓c:(x1)2(y1)212試證明:不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn);(1)方法一證明由消去y得(k21)x2(24k)x70,因?yàn)?24k)228(k21)0,所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)方法二證明圓心c(1,1)到直線l的距離d,圓c的半徑r2,r2d212,而在s11k24k8中,(4)241180對kr恒成立,所以r2d20,即dr,所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)方法三(1)證明因?yàn)椴徽搆為何實(shí)數(shù),直線l總過點(diǎn)a(0,1),而|ac|2r,所以點(diǎn)a(0,1)在圓c的內(nèi)部,即不論k為何實(shí)數(shù),直線l總經(jīng)過圓c內(nèi)部的定點(diǎn)a.所以不論k為何實(shí)數(shù),直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)題型二 圓的弦長、中點(diǎn)弦問題例2已知點(diǎn)p(0,5)及圓c:x2y24x12y240.(1)若直線l過點(diǎn)p且被圓c截得的線段長為4,求l的方程;(2)求過p點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)的軌跡方程解(1)方法一如圖所示,|ab|4,取ab的中點(diǎn)d,連接cd,則cdab,連接ac、bc,則|ad|2,|ac|4,在rtacd中,可得|cd|2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為y5kx,即kxy50.由點(diǎn)c到直線ab的距離公式,得2,解得k.當(dāng)k時(shí),直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,此時(shí)方程為x0.所求直線的方程為3x4y200或x0.方法二當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為y5kx,即ykx5.聯(lián)立直線與圓的方程消去y,得(1k2)x2(42k)x110.設(shè)方程的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系,得由弦長公式,得|x1x2|4.將式代入,解得k,此時(shí)直線方程為3x4y200.又k不存在時(shí)也滿足題意,此時(shí)直線方程為x0. 所求直線的方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過p點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)為d(x,y),則cdpd,即0,(x2,y6)(x,y5)0,化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.變式訓(xùn)練2已知直線l:ykx1,圓c:(x1)2(y1)212求直線l被圓c截得的最短弦長方法一設(shè)直線與圓交于a(x1,y1)、b(x2,y2)兩點(diǎn),則直線l被圓c截得的弦長|ab|x1x2|22 ,令t,則tk24k(t3)0,當(dāng)t0時(shí),k,當(dāng)t0時(shí),因?yàn)閗r,所以164t(t3)0,解得1t4,且t0,故t的最大值為4,此時(shí)|ab|最小為2. 方法二解由平面幾何知識,知|ab|22 ,下同方法一方法三由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點(diǎn)a(0,1)的弦,只有和ac (c為圓心)垂直時(shí)才最短,而此時(shí)點(diǎn)a(0,1)為弦ab的中點(diǎn),由勾股定理,知|ab|22,即直線l被圓c截得的最短弦長為2.題型三 圓的切線問題例3已知點(diǎn)m(3,1),直線axy40及圓(x1)2(y2)24(1)求過m點(diǎn)的圓的切線方程; (2)若直線axy40與圓相切,求a的值;解(1)圓心c(1,2),半徑為r2,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),方程為x3.由圓心c(1,2)到直線x3的距離d312r知,此時(shí),直線與圓相切當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y1k(x3),即kxy13k0.由題意知2,解得k.方程為y1(x3),即3x4y50.故過m點(diǎn)的圓的切線方程為x3或3x4y50.(2)由題意有2,解得a0或a.探究提高求過一點(diǎn)的圓的切線方程,首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上若在圓上,該點(diǎn)為切點(diǎn);若不在圓上,切線應(yīng)該有兩條,設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程,用待定系數(shù)法求解注意,需考慮無斜率的情況求弦長問題,要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)變式訓(xùn)練3已知圓c:x2y22x4y30.若圓c的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;解將圓c配方得(x1)2(y2)22.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí),設(shè)直線方程為ykx,由,解得k2,得y(2)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí),設(shè)直線方程為xya0,由,得|a1|2,即a1,或a3.直線方程為xy10,或xy30.綜上,圓的切線方程為y(2)x,或y(2)x,或xy10,或xy30.題型四圓與圓的位置關(guān)系例4a為何值時(shí),圓c1:x2y22ax4ya250和圓c2:x2y22x2aya230(1)外切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)切解將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程c1:(xa)2(y2)29,c2:(x1)2(ya)24.兩圓的圓心和半徑分別為c1(a,2),r13,c2(1,a),r22,設(shè)兩圓的圓心距為d,則d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)當(dāng)d5,即2a26a525時(shí),兩圓外切,此時(shí)a5或a2.(2)當(dāng)1d5,即12a26a525時(shí),兩圓相交,此時(shí)5a2或1a5,即2a26a525時(shí),兩圓外離,此時(shí)a2或a5.(4)當(dāng)d1,即2a26a51時(shí),兩圓內(nèi)切,此時(shí)a1或a2.探究提高判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法變式訓(xùn)練4 (1)圓o1的方程為x2(y1)24,圓o2的圓心為o2(2,1)若圓o2與圓o1外切,求圓o2的方程;若圓o2與圓o1交于a、b兩點(diǎn),且|ab|2,求圓o2的方程解(1)設(shè)圓o2的半徑為r2,由于兩圓外切,|o1o2|r1r2,r2|o1o2|r12(1),故圓o2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)設(shè)圓o2的方程為(x2)2(y1)2r22,又圓o1的方程為x2(y1)24,此兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦ab所在直線的方程:4x4yr2280.圓心o1(0,1)到直線ab的距離為,解得r224或r2220.故圓o2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220(2)已知圓c1:x2y22mx4ym250,圓c2:x2y22x2mym230,m為何值時(shí),圓c1與圓c2內(nèi)含解:如果c1與c2內(nèi)含,則有32.(m1)2(m2)21,m23m20,得2m1,當(dāng)m5或m2時(shí),圓c1與圓c2外切;當(dāng)2m0,b26b90,解得33b0.即直線ab的方程為xy40,或xy10.變式訓(xùn)練6已知過點(diǎn)a(0,1)且斜率為k的直線l與圓c:(x2)2(y3)21相交于m、n兩點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若o為坐標(biāo)原點(diǎn),且12,求k的值變式遷移4解(1)方法一直線l過點(diǎn)a(0,1)且斜率為k,直線l的方程為ykx1.將其代入圓c:(x2)2(y3)21,得(1k2)x24(1k)x70.由題意:4(1k)24(1k2)70,得k.方法二同方法一得直線方程為ykx1,即kxy10.又圓心到直線距離d,d1,解得k0)的公共弦長為2,則a_1_.7已知圓c的半徑為1,圓心在第一象限,且與y軸相切,與x軸相交于點(diǎn)a、b,若|ab|,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_(x1)221_8在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓x2y24上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_(13,13)_9已知點(diǎn)a是圓c:x2y2ax4y50上任意一點(diǎn),a點(diǎn)關(guān)于直線x2y10的對稱點(diǎn)也在圓c上,則實(shí)數(shù)a_10_.10設(shè)直線3x4y50與圓c1:x2y24交于a,b兩點(diǎn),若圓c2的圓心在線段ab上,且圓c2與圓c1相切,切點(diǎn)在圓c1的劣弧上,則圓c2的半徑的最大值是_1_三、解答題11一直線經(jīng)過點(diǎn)p被圓x2y225截得的弦長為8,求此弦所在的直線方程解(1)當(dāng)斜率k不存在時(shí),過點(diǎn)p的直線方程為x3,代入x2y225,得y14,y24.弦長為|y1y2|8,符合題意(2)當(dāng)斜率k存在時(shí),設(shè)所求直線方程為yk(x3),即kxy3k0. 由已知,弦心距|om|3, 3,解得k.所以此直線方程為y(x3),即3x4y150.所以所求直線方程為x30或3x4y150.12自點(diǎn)a(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切,求光線l所在直線的方程解已知圓c:x2y24x4y70關(guān)于x軸對稱的圓為c1:(x2)2(y2)21,其圓心c1的坐標(biāo)為(2,2),半徑為1,由光的反射定律知,入射光線所在直線方程與圓c1相切(4分)設(shè)l的方程為y3k(x3),則1,即12k225k120.k1,k2.則l的方程為4x3y30或3x4y30.直線與圓練習(xí)(2)一、選擇題1若直線2axby20 (a0,b0)被圓x2y22x4y10截得的弦長為4,則的最小值為()a. b. c2 d42若曲線c1:x2y22x0與曲線c2:y(ymxm)0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()a(,) b(,0)(0,) c, d(,)(,)3設(shè)兩圓c1、c2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(diǎn)(4,1),則兩圓心的距離|c1c2|等于 ()a4 b4c8d84若圓c:x2y2ax2y10和圓x2y21關(guān)于直線l1:xy10對稱,動圓p與圓c相外切且與直線l2:x1相切,則動圓p的圓心的軌跡方程是()ax2y2x0 by22x2y30cy26x2y20 dx2y22x2y0二、填空題5若o:x2y25與o1:(xm)2y220(mr)相交于a、b兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)a處的切線互相垂直,則線段ab的長度是_4_6已知圓c1:x2y22mx4ym250與圓c2:x2y22x2mym230,若圓c1與圓c2相切,則實(shí)數(shù)m_2或5或1_.7過點(diǎn)m的直線l與圓c:(x1)2y24交于a、b兩點(diǎn),c為圓心,當(dāng)acb最小時(shí),直線l的方程為_2x4y30_8圓x2y28內(nèi)一點(diǎn)p(1,2),過點(diǎn)p的直線l的傾斜角為,直線l交圓于a、b兩點(diǎn)當(dāng)弦ab被點(diǎn)p平分時(shí),則直線l的方程為 解:設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1x22,y1y24.由兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0,即2(x1x2)4(y1y2)0,kab.(10分)直線l的方程為y2(x1),即x2y50.9已知ac、bd為圓o:x2y24的兩條相互垂直的弦,垂足為m(1,), 則四邊形abcd的面積的最大值為_解析:設(shè)圓心o到ac、bd的距離為d1、d2,垂足分別為e、f,則四邊形oemf為矩形,則有dd3.由平面幾何知識知ac2,bd2,s四邊形abcdacbd2(4d)(4d)8(dd)5,即四邊形abcd的面積的最大值為5.10若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn),則b的取值范圍是_解析:y3變形為(x2)2(y3)24(0x4,1y3),表示以(2,3)為圓心,2為半徑的下半圓,如圖所示若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn),只需直線yxb在圖中兩直線之間(包括圖中兩條直線),yxb與下半圓相切時(shí),圓心到直線yxb的距離為2,即2,解得b12或b12(舍去),b的取值范圍為12b3.答案:12,3三、解答題11在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在第二象限,半徑為2的圓c與直線yx相切于坐標(biāo)原點(diǎn)o.(1)求圓c的方程;(2)試探求c上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)q,使q到定點(diǎn)
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