高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《直線與圓 圓與圓 》講義.doc

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系要點(diǎn)梳理1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系有三種：_相離_、_相切_、_相交_判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：(1)代數(shù)法：(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：dr_相離_.2計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算弦長|ab|2 (2)代數(shù)方法運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式|ab|xaxb|說明：圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法3求過點(diǎn)p(x0，y0)的圓x2y2r2的切線方程與切線長(1)過點(diǎn)p作圓的切線有三種類型：若圓的方程為x2y2r2，點(diǎn)p(x0，y0)在圓上，則過p點(diǎn)且與圓x2y2r2相切的切線方程為_ x0xy0yr2_注：點(diǎn)p必須在圓x2y2r2上經(jīng)過圓(xa)2(yb)2r2上點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程為_(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2_若p(x0，y0)在圓外時(shí)，則過p的切線方程可設(shè)為yy0k(xx0)，利用待定系數(shù)法求解一般運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑，但注意有兩條切線說明：k為切線斜率，同時(shí)應(yīng)考慮斜率不存在的情況當(dāng)p在圓內(nèi)時(shí)，不存在 (2)切線長的求法：過圓c外一點(diǎn)p作圓c的切線，切點(diǎn)為m，半徑為r，則|pm|.4判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法：從圓心距和兩圓半徑的關(guān)系入手(幾何法)設(shè)c1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，c2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，則有：|c1c2|r1r2c1與c2_相離_；|c1c2|r1r2c1與c2_外切_；|r1r2|c1c2|r1r2c1與c2_相交_；|c1c2|r1r2|(r1r2)c1與c2_內(nèi)切_；0|c1c2|r1r2_相離_；(2)已知兩圓x2y2d1xe1yf10和x2y2d2xe2yf20相交，則與兩圓共交點(diǎn)的圓系方程為_(x2y2d1xe1yf1)(x2y2d2xe2yf2)0_，其中為1的任意常數(shù)，因此圓系不包括第二個(gè)圓當(dāng)1時(shí)，為兩圓公共弦所在的直線，方程為(d1d2)x(e1e2)y(f1f2)0.5求圓外一點(diǎn)p到圓o上任意一點(diǎn)距離的最小值為|po|r，最大值為|po|r(其中r為圓o的半徑)基礎(chǔ)自測 1 已知圓c經(jīng)過m(2，1)和直線xy1相切，且圓心在直線y2x上，則圓c的方程為_(x1)2(y2)22_2直線yax1與圓x2y22x30的位置關(guān)系是_相交_3若直線3x4ym0與圓x2y22x4y40沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(，0)(10，)_ 4圓c1：x2y22x2y20與圓c2：x2y24x2y10的公切線有且僅有()a1條 b2條 c3條 d4條5直線ykx3與圓(x3)2(y2)24相交于m，n兩點(diǎn)，若|mn|2，則k的取值范圍是()a. b. c. d.6圓x2y24x0在點(diǎn)p(1，)處的切線方程為()axy20 bxy40cxy40 dxy20題型一直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線l：ykx1，圓c：(x1)2(y1)212試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)；(1)方法一證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因?yàn)?24k)228(k21)0，所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)方法二證明圓心c(1，1)到直線l的距離d，圓c的半徑r2，r2d212，而在s11k24k8中，(4)241180對kr恒成立，所以r2d20，即dr，所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)方法三(1)證明因?yàn)椴徽搆為何實(shí)數(shù)，直線l總過點(diǎn)a(0，1)，而|ac|2r，所以點(diǎn)a(0,1)在圓c的內(nèi)部，即不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過圓c內(nèi)部的定點(diǎn)a.所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓c總有兩個(gè)交點(diǎn)題型二 圓的弦長、中點(diǎn)弦問題例2已知點(diǎn)p(0,5)及圓c：x2y24x12y240.(1)若直線l過點(diǎn)p且被圓c截得的線段長為4，求l的方程；(2)求過p點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)的軌跡方程解(1)方法一如圖所示，|ab|4，取ab的中點(diǎn)d，連接cd，則cdab，連接ac、bc，則|ad|2，|ac|4，在rtacd中，可得|cd|2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)c到直線ab的距離公式，得2，解得k.當(dāng)k時(shí)，直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x0.所求直線的方程為3x4y200或x0.方法二當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即ykx5.聯(lián)立直線與圓的方程消去y，得(1k2)x2(42k)x110.設(shè)方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得由弦長公式，得|x1x2|4.將式代入，解得k，此時(shí)直線方程為3x4y200.又k不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)直線方程為x0. 所求直線的方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過p點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)為d(x，y)，則cdpd，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.變式訓(xùn)練2已知直線l：ykx1，圓c：(x1)2(y1)212求直線l被圓c截得的最短弦長方法一設(shè)直線與圓交于a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點(diǎn)，則直線l被圓c截得的弦長|ab|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當(dāng)t0時(shí)，k，當(dāng)t0時(shí)，因?yàn)閗r，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時(shí)|ab|最小為2. 方法二解由平面幾何知識，知|ab|22 ，下同方法一方法三由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點(diǎn)a(0,1)的弦，只有和ac (c為圓心)垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)a(0,1)為弦ab的中點(diǎn)，由勾股定理，知|ab|22，即直線l被圓c截得的最短弦長為2.題型三 圓的切線問題例3已知點(diǎn)m(3,1)，直線axy40及圓(x1)2(y2)24(1)求過m點(diǎn)的圓的切線方程； (2)若直線axy40與圓相切，求a的值；解(1)圓心c(1,2)，半徑為r2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x3.由圓心c(1,2)到直線x3的距離d312r知，此時(shí)，直線與圓相切當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y1k(x3)，即kxy13k0.由題意知2，解得k.方程為y1(x3)，即3x4y50.故過m點(diǎn)的圓的切線方程為x3或3x4y50.(2)由題意有2，解得a0或a.探究提高求過一點(diǎn)的圓的切線方程，首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上若在圓上，該點(diǎn)為切點(diǎn)；若不在圓上，切線應(yīng)該有兩條，設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程，用待定系數(shù)法求解注意，需考慮無斜率的情況求弦長問題，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)變式訓(xùn)練3已知圓c：x2y22x4y30.若圓c的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；解將圓c配方得(x1)2(y2)22.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，由，解得k2，得y(2)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直線方程為xy10，或xy30.綜上，圓的切線方程為y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.題型四圓與圓的位置關(guān)系例4a為何值時(shí)，圓c1：x2y22ax4ya250和圓c2：x2y22x2aya230(1)外切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)切解將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程c1：(xa)2(y2)29，c2：(x1)2(ya)24.兩圓的圓心和半徑分別為c1(a，2)，r13，c2(1，a)，r22，設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)當(dāng)d5，即2a26a525時(shí)，兩圓外切，此時(shí)a5或a2.(2)當(dāng)1d5，即12a26a525時(shí)，兩圓相交，此時(shí)5a2或1a5，即2a26a525時(shí)，兩圓外離，此時(shí)a2或a5.(4)當(dāng)d1，即2a26a51時(shí)，兩圓內(nèi)切，此時(shí)a1或a2.探究提高判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法變式訓(xùn)練4 (1)圓o1的方程為x2(y1)24，圓o2的圓心為o2(2,1)若圓o2與圓o1外切，求圓o2的方程；若圓o2與圓o1交于a、b兩點(diǎn)，且|ab|2，求圓o2的方程解(1)設(shè)圓o2的半徑為r2，由于兩圓外切，|o1o2|r1r2，r2|o1o2|r12(1)，故圓o2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)設(shè)圓o2的方程為(x2)2(y1)2r22，又圓o1的方程為x2(y1)24，此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦ab所在直線的方程：4x4yr2280.圓心o1(0，1)到直線ab的距離為，解得r224或r2220.故圓o2的方程為(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220(2)已知圓c1：x2y22mx4ym250，圓c2：x2y22x2mym230，m為何值時(shí)，圓c1與圓c2內(nèi)含解：如果c1與c2內(nèi)含，則有32.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，當(dāng)m5或m2時(shí)，圓c1與圓c2外切；當(dāng)2m0，b26b90，解得33b0.即直線ab的方程為xy40，或xy10.變式訓(xùn)練6已知過點(diǎn)a(0,1)且斜率為k的直線l與圓c：(x2)2(y3)21相交于m、n兩點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若o為坐標(biāo)原點(diǎn)，且12，求k的值變式遷移4解(1)方法一直線l過點(diǎn)a(0,1)且斜率為k，直線l的方程為ykx1.將其代入圓c：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由題意：4(1k)24(1k2)70，得k.方法二同方法一得直線方程為ykx1，即kxy10.又圓心到直線距離d，d1，解得k0)的公共弦長為2，則a_1_.7已知圓c的半徑為1，圓心在第一象限，且與y軸相切，與x軸相交于點(diǎn)a、b，若|ab|，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_(x1)221_8在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓x2y24上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_(13,13)_9已知點(diǎn)a是圓c：x2y2ax4y50上任意一點(diǎn)，a點(diǎn)關(guān)于直線x2y10的對稱點(diǎn)也在圓c上，則實(shí)數(shù)a_10_.10設(shè)直線3x4y50與圓c1：x2y24交于a，b兩點(diǎn)，若圓c2的圓心在線段ab上，且圓c2與圓c1相切，切點(diǎn)在圓c1的劣弧上，則圓c2的半徑的最大值是_1_三、解答題11一直線經(jīng)過點(diǎn)p被圓x2y225截得的弦長為8，求此弦所在的直線方程解(1)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，過點(diǎn)p的直線方程為x3，代入x2y225，得y14，y24.弦長為|y1y2|8，符合題意(2)當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為yk(x3)，即kxy3k0. 由已知，弦心距|om|3， 3，解得k.所以此直線方程為y(x3)，即3x4y150.所以所求直線方程為x30或3x4y150.12自點(diǎn)a(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切，求光線l所在直線的方程解已知圓c：x2y24x4y70關(guān)于x軸對稱的圓為c1：(x2)2(y2)21，其圓心c1的坐標(biāo)為(2，2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓c1相切(4分)設(shè)l的方程為y3k(x3)，則1，即12k225k120.k1，k2.則l的方程為4x3y30或3x4y30.直線與圓練習(xí)（2）一、選擇題1若直線2axby20 (a0，b0)被圓x2y22x4y10截得的弦長為4，則的最小值為()a. b. c2 d42若曲線c1：x2y22x0與曲線c2：y(ymxm)0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()a(，) b(，0)(0，) c， d(，)(，)3設(shè)兩圓c1、c2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|c1c2|等于 ()a4 b4c8d84若圓c：x2y2ax2y10和圓x2y21關(guān)于直線l1：xy10對稱，動圓p與圓c相外切且與直線l2：x1相切，則動圓p的圓心的軌跡方程是()ax2y2x0 by22x2y30cy26x2y20 dx2y22x2y0二、填空題5若o：x2y25與o1：(xm)2y220(mr)相交于a、b兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)a處的切線互相垂直，則線段ab的長度是_4_6已知圓c1：x2y22mx4ym250與圓c2：x2y22x2mym230，若圓c1與圓c2相切，則實(shí)數(shù)m_2或5或1_.7過點(diǎn)m的直線l與圓c：(x1)2y24交于a、b兩點(diǎn)，c為圓心，當(dāng)acb最小時(shí)，直線l的方程為_2x4y30_8圓x2y28內(nèi)一點(diǎn)p(1,2)，過點(diǎn)p的直線l的傾斜角為，直線l交圓于a、b兩點(diǎn)當(dāng)弦ab被點(diǎn)p平分時(shí)，則直線l的方程為 解：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x22，y1y24.由兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kab.(10分)直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.9已知ac、bd為圓o：x2y24的兩條相互垂直的弦，垂足為m(1，)， 則四邊形abcd的面積的最大值為_解析：設(shè)圓心o到ac、bd的距離為d1、d2，垂足分別為e、f，則四邊形oemf為矩形，則有dd3.由平面幾何知識知ac2，bd2，s四邊形abcdacbd2(4d)(4d)8(dd)5，即四邊形abcd的面積的最大值為5.10若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_解析：y3變形為(x2)2(y3)24(0x4,1y3)，表示以(2,3)為圓心，2為半徑的下半圓，如圖所示若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn)，只需直線yxb在圖中兩直線之間(包括圖中兩條直線)，yxb與下半圓相切時(shí)，圓心到直線yxb的距離為2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范圍為12b3.答案：12，3三、解答題11在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓c與直線yx相切于坐標(biāo)原點(diǎn)o.(1)求圓c的方程；(2)試探求c上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)q，使q到定點(diǎn)