分段三次Hermite插值.doc

摘要用函數(shù)來表示變量間的數(shù)量關(guān)系廣泛應(yīng)用于各學(xué)科領(lǐng)域，但是在實(shí)際問題中，往往是通過實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)以及計(jì)算等方法，得到的是函數(shù)在一些點(diǎn)上的函數(shù)值。如何通過這些離散數(shù)據(jù)找到函數(shù)的一個(gè)滿足精度要求且便于使用的近似表達(dá)式，是經(jīng)常遇到的問題。對(duì)于這類問題我們解決的方法為插值法，而最常用也最簡(jiǎn)單的插值方法就是多項(xiàng)式插值。當(dāng)然用插值法得到的近似表達(dá)式必須滿足插值條件即假設(shè)給定了n+1個(gè)點(diǎn)的自變量的值以及函數(shù)值，近似函數(shù)必須要過這n+1個(gè)點(diǎn)。多項(xiàng)式插值，從幾何角度看，就是尋求n次代數(shù)曲線y=Pn（x）通過n+1個(gè)點(diǎn)作為f（x）的近似。但是隨著插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，高次插值多項(xiàng)式的近似效果并不理想。根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)得出，在進(jìn)行高次多項(xiàng)式插值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。因此，為了解決這樣的一個(gè)問題，我們可以通過縮小插值區(qū)間的辦法達(dá)到減小誤差的目的。但是當(dāng)在每個(gè)小區(qū)間上用一次函數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，有很好的收斂性但是光滑度不夠，因此本實(shí)驗(yàn)將用三次Hermite進(jìn)行插值，做具體的討論和學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：龍格現(xiàn)象 分段差值 三次Hermite進(jìn)行插值1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?) 通過對(duì)分段三次Hermite插值算法程序的編寫，提高自己編寫程序的能力2) 體會(huì)分段三次Hermite插值比分段線性插值優(yōu)越在哪里3) 用實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式展現(xiàn)，提高自己在寫論文方面的能力2、算法流程分段線性插值多項(xiàng)式S(x)在插值區(qū)間a,b上只能保證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分段線性插值多項(xiàng)式，可采用分段埃爾米特（Hermite）插值，這里我們考慮在整個(gè)a,b上用分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式來逼近f(x)。一般的將帶有導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式。如果已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點(diǎn)a=x0x1xn=b處的函數(shù)的值和導(dǎo)數(shù)值：yi=fxi,yi=fxi,i=0,1,2,n則在小區(qū)間xi-1,xi上有四個(gè)插值條件：yi-1=fxi-1,yi=fxiyi-1=fxi-1,yi=fxi故能構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式Hi(x)，并稱為三次Hermite插值多項(xiàng)式。這時(shí)在整個(gè)a,b上可以用分段三次Hermite插值多項(xiàng)式來逼近f(x)。Hx=H1x,xx0,x1 H2x,xx1,x2 Hnx,xxn-1,xn其中Hix,xxi-1,xi滿足條件：Hixi-1=fxi-1=yi-1,Hixi=fxi=yiHixi-1=fxi-1=yi-1,Hixi=fxi=yi關(guān)于Hix的構(gòu)造，我們可以通過基函數(shù)來進(jìn)行，這時(shí)令Hix=yi-1i-1x+yiix+yi-1i-1x+yiix其中i-1x、ix、i-1x和ix均為三次多項(xiàng)式，并稱為三次Hermite插值多項(xiàng)式的基函數(shù)。對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到Hix=yi-1i-1x+yiix+yi-1i-1x+yiix則由插值條件可以分別給出基函數(shù)滿足的條件：i-1xi-1=1,ixi-1=0,i-1xi-1=0,ixi-1=0i-1xi=0, ixi=1,i-1xi=0,ixi=0i-1xi-1=0,ixi-1=0,i-1xi-1=1,ixi-1=0i-1xi=0,ixi=0,i-1xi=1,ixi=1下面具體求解基函數(shù)i-1x、ix、i-1x和ix。由上面的條件的第一列可以得到i-1x滿足條件： i-1xi-1=1, i-1xi=0,i-1xi-1=0,i-1xi=0 （1）由上式中的第二、第四個(gè)條件可知i-1x應(yīng)該具有形式 i-1x=x-xi2(ax+b) （2）這時(shí) i-1x=2x-xiax+b+a(x-xi)2 （3）再由（1）式中的第一、第三個(gè)條件分別帶入（2）式（3）式得到hi2axi-1+b=1 -2hiaxi-1+b+ahi2=0解此線性方程組得到a=2hi3,b=1hi2-2xi-1hi3將a、b代入（2）式得到i-1x=x-xi22hi3x+1hi2-2xi-1hi3=(1+2x-xi-1hi)x-xi2hi2類似地有ix=(1-2x-xi-1hi)x-xi2hi2i-1x=1hi2(x-xi-1) x-xi2ix=1hi2(x-xi) x-xi-12因此將得到Hix=hi+2(x-xi-1)x-xi2hi3yi-1+hi-2(x-xi)x-xi-12hi3yi+(x-xi-1)x-xi2hi2yi-1+(x-xi)x-xi-12hi2yi這樣，便求出了分段三次Hermite插值多項(xiàng)式：Hx=H1x,xx0,x1 H2x,xx1,x2 Hnx,xxn-1,xn3、數(shù)值算例已知下列的條件xi1 2yi2 3yi1 -1通過分段三次Hermite插值法，求解當(dāng)x=1.5時(shí)的y值。解：具體的程序如下所示：#include stdafx.hfloat Hermite(float x,float y,float z,float x1,int len)int i=0;float s=0;float h=0;float L1=0;float L2=0;float L3=0;float L4=0;for(i=0;i=xi & x1xi+1)break;i=i+1;h=xi-xi-1;L1=(h+2*(x1-xi-1)*(x1-xi)*(x1-xi)/(h*h*h);L2=(h+2*(x1-xi)*(x1-xi-1)*(x1-xi-1)/(h*h*h);L3=(x1-xi-1)*(x1-xi)*(x1-xi)/(h*h);L4=(x1-xi-1)*(x1-xi-1)*(x1-xi)/(h*h);s=L1*yi-1+L2*yi+L3*zi-1+L4*zi;return s;float Hermite(float x,float y,float x1,int len);void main()float x=1,2;float y=2,3;float z=1,-1;int len=sizeof(x)/sizeof(x0);float x1=0;float s=0;printf(請(qǐng)輸入要求解的x1的值:n);scanf(%f,&x1);s=Hermite(x,y,z,x1,len);printf(經(jīng)過分段三次Hermite插值的結(jié)果為:n);pri