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_商人過河數(shù)學建模論文摘要4個商人帶著4個仆人過河，過河的工具只有一艘小船，只能同時載兩個人過河，包括劃船的人。在河的任何一邊，只要仆人的數(shù)量超過商人的數(shù)量，仆人就會聯(lián)合起來將商人殺死并搶奪其財物，問應如何設計過河順序才能讓所有人都安全地過到河的另一邊。經典的商人過河問題可以看做一個多步決策過程。每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人員在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經有限步使全體人員過河。用狀態(tài)變量表示某一岸的人員狀況，決策變量表示船上的人員情況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問題就轉換為在狀態(tài)的允許變化范圍內（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達到安全渡河的目標。分別建立兩個模型：模型一采用窮舉法，對各種過河的方案一一列舉，然后根據(jù)商人們要安全過河為前提對各種進行了列舉，經過層層篩選，最終求出商人安全的方案。模型二采用圖解法，利用圖示表示說明該題的解法。關鍵詞：窮舉法多步決策圖解法安全渡河一、問題提出4個商人帶著4個仆人過河，過河的工具只有一艘小船，只能同時載兩個人過河，包括劃船的人。在河的任何一邊，只要仆人的數(shù)量超過商人的數(shù)量，仆人就會聯(lián)合起來將商人殺死并搶奪其財物，問應如何設計過河順序才能讓所有安全過河。二、模型的假設和符號說明模型假設：過河途中不會出現(xiàn)不可抗力的自然因素當仆人數(shù)大于商人數(shù)時，隨從們不會改變殺人的計劃船很結實，不會發(fā)生任何的意外（2） 符號的說明 （A,B）表示商人和仆人的個數(shù)，A表示商人，B表示仆人 三、模型的建立模型一(窮舉法）：此岸船彼岸（4,4）（0,0）（0,0）（3,3）（1,1,）（0,0）（3,3）（1,0）（0,1）（3,2）（1,1）（0,1）（3,2）（0,1）（1,1）（2,2）（1,1）（1,1）（2.2）（0,1）（2,1）（2,2,）（0,0）（2,2）這樣如果商人回去，彼岸的商人就比仆人多了，如果仆人過去，此岸的仆人就會比商人多了。所以無法達到（0,0）這樣的最終結果。模型二（圖解法）：四人過河模型圖允許步驟數(shù)L是沿方格線移動1格或2格，L為奇數(shù)時向左.下方移動，L為偶數(shù)時向右.上方移動，要確定一系列的L，使初始狀態(tài)（4，4）最終變?yōu)椋?，0），無論怎樣走都必須經過中間點（2，2），然后奇數(shù)次到達Y軸,，而無論怎么變化人數(shù)都也只能到達此點后不能繼續(xù)走下去，只能循環(huán)走，達

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