恰當(dāng)微分.doc

關(guān)于恰當(dāng)微分方程解法的探究摘 要：本文首先給出了微分方程的基本概念在此基礎(chǔ)上，探討了恰當(dāng)微分方程的解法.關(guān)鍵詞：恰當(dāng)微分方程；通解；特解Solving Method of The Proper Differential EquationAbstract： This paper firstly introduces the basic concept of differential equations on such a basis, the paper probes into the solutions of the proper differential equations .Key words：Proper differential equation; general solution; particular solution引言 本文結(jié)合一些典型的例題，介紹微分方程解的一些基本概念，重點(diǎn)探究了恰當(dāng)微分方程和可化為恰當(dāng)微分方程的解法.1.有關(guān)微分方程的解的一些概念1.1解的表示形式定義:設(shè)函數(shù)在區(qū)間有直到階的導(dǎo)數(shù),如果把及其相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)代入方程能使得該式成立,則函數(shù),為方程的一個(gè)解.例 1 試驗(yàn)證函數(shù) 是方程的解. 解 顯然在區(qū)間上可導(dǎo),把他代入方程后對(duì)一切的有.1. 2通解和特解1 通解我們知道一個(gè)重要事實(shí),就是微分方程存在有含有任意常數(shù)的解,而且我們看到,解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等,我們把含有任意個(gè)常數(shù)的解叫方程的通解.例如 為一階方程的通解.2 特解如果已求得一微分方程的通解,而欲求滿足一個(gè)初值條件的特解,往往可以用初值條件去確定通解中的常數(shù)從而得到特解.對(duì)于一階微分方程而言,設(shè)已知通解為,想要求滿足初值條件的特解.為了確定中的,可將代入得到方程解出代入通解中得到即為滿足初值條件的特解.2.恰當(dāng)微分方程2.1 一般恰當(dāng)微分方程的解法若一階微分方程的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即則為恰當(dāng)微分方程，其中，為某矩形區(qū)域上連續(xù)且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)那么如何判定一個(gè)微分方程是否為恰當(dāng)微分方程呢，下面給出其判別方法若為恰當(dāng)微分方程，則對(duì)，分別求關(guān)于，的偏導(dǎo)數(shù)，有由，的連續(xù)性，故，此即為判定微分方程是否為恰當(dāng)微分方程的充要條件下面來(lái)討論的通解形式由知是的可微函數(shù)，下面來(lái)求使也滿足由此知下證與無(wú)關(guān)即可所以左邊與無(wú)關(guān)積分得所以從而，原方程的通解為為任意常數(shù)例 2 求解方程解 由于，所以，因此原方程為恰當(dāng)微分方程現(xiàn)在求使其滿足由得為了確定對(duì)求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)即得兩邊積分得所以從而，原方程的解為注對(duì)于一些恰當(dāng)微分方程不需要如此復(fù)雜的過(guò)程，通過(guò)觀察可以采用“分項(xiàng)組合”的方法例 3求解方程解原方程可以變形為即即所以，原方程的通解為2.2 可化為恰當(dāng)微分方程的解法對(duì)非恰當(dāng)微分方程我們可引入積分因子將其化為恰當(dāng)微分方程，從而加以解決.若存在連續(xù)的函數(shù)且使為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)則為原方程的積分因子注這時(shí)原方程的解為下面只對(duì)含的積分因子作尋求由微分方程為恰當(dāng)微分方程的必要條件得即得從而有若只含有關(guān)于的積分因子，則從而有從而只含有與有關(guān)的積分因子充要條件是這里僅為的函數(shù)所以原方程的一個(gè)積分因子為同理，可以得到原方程只含有與有關(guān)的積分因子的充要條件是這里僅為的函數(shù)求得原方程