VAR模型(1).doc

第8章 VAR模型與協(xié)整 8.1 向量自回歸（VAR）模型1980年Sims提出向量自回歸模型（vector autoregressive model）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)，在模型的每一個(gè)方程中，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生變量的滯后值進(jìn)行回歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系。8.1.1 VAR模型定義VAR模型是自回歸模型的聯(lián)立形式，所以稱向量自回歸模型。假設(shè)y1t，y2t之間存在關(guān)系，如果分別建立兩個(gè)自回歸模型y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2, )y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, )則無法捕捉兩個(gè)變量之間的關(guān)系。如果采用聯(lián)立的形式，就可以建立起兩個(gè)變量之間的關(guān)系。VAR模型的結(jié)構(gòu)與兩個(gè)參數(shù)有關(guān)。一個(gè)是所含變量個(gè)數(shù)N，一個(gè)是最大滯后階數(shù)k。以兩個(gè)變量y1t，y2t滯后1期的VAR模型為例， y1, t = m1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t y2, t = m2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1)其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。寫成矩陣形式是， =+ (8.2)設(shè)， Yt =, m =, P1 =, ut =,則， Yt = m + P1 Yt-1 + ut (8.3)那么，含有N個(gè)變量滯后k期的VAR模型表示如下： Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) (8.4)其中， Yt = (y1, t y2, t yN, t) m = (m1 m2 mN) Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t),Yt為N1階時(shí)間序列列向量。 m為N1階常數(shù)項(xiàng)列向量。P1, , Pk 均為NN階參數(shù)矩陣，ut IID (0, W) 是N1階隨機(jī)誤差列向量，其中每一個(gè)元素都是非自相關(guān)的，但這些元素，即不同方程對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間可能存在相關(guān)。因VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)，他們與ut是不相關(guān)的，所以可以用OLS法依次估計(jì)每一個(gè)方程，得到的參數(shù)估計(jì)量都具有一致性。VAR模型的特點(diǎn)是：（1）不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。在建模過程中只需明確兩件事：共有哪些變量是相互有關(guān)系的，把有關(guān)系的變量包括在VAR模型中；確定滯后期k。使模型能反映出變量間相互影響的絕大部分。（2）VAR模型對(duì)參數(shù)不施加零約束。（參數(shù)估計(jì)值有無顯著性，都保留在模型中）（3）VAR模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關(guān)的問題在VAR模型中都不存在。（4）VAR模型的另一個(gè)特點(diǎn)是有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計(jì)。比如一個(gè)VAR模型含有三個(gè)變量，最大滯后期k = 3，則有k N 2 = 3 32 = 27個(gè)參數(shù)需要估計(jì)。當(dāng)樣本容量較小時(shí)，多數(shù)參數(shù)的估計(jì)量誤差較大。（5）無約束VAR模型的應(yīng)用之一是預(yù)測(cè)。由于在VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)都不含有當(dāng)期變量，這種模型用于預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是不必對(duì)解釋變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)的取值做任何預(yù)測(cè)。西姆斯（Sims）認(rèn)為VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來也有學(xué)者認(rèn)為具有單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入VAR模型。 8.1.2 VAR模型的穩(wěn)定性特征現(xiàn)在討論VAR模型的穩(wěn)定性特征。穩(wěn)定性是指當(dāng)把一個(gè)脈動(dòng)沖擊施加在VAR模型中某一個(gè)方程的新息（innovation）過程上時(shí)，隨著時(shí)間的推移，分析這個(gè)沖擊是否會(huì)逐漸地消失。如果是逐漸地消失，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。下面分析一階VAR模型Yt = m + P1 Yt-1 + ut (8.5)為例。當(dāng)t = 1時(shí)，有Y1 = m + P1 Y0 + u1 (8.6)當(dāng)t = 2時(shí)，采用迭代方式計(jì)算，Y2 = m + P1 Y1 + u2 = m + P1 (m + P1 Y0 + u1) + u2 = (I + P1) m + P12 Y0 + P1 u1 + u2 (8.7)當(dāng)t = 3時(shí)，進(jìn)一步迭代，Y3 = m + P1 Y2 + u3 = m + P1 (I + P1) m + P12 Y0 + P1 u1 + u2 + u3 = (I + P1 + P12) m + P13 Y0 + P12 u1 + P1 u2 + u3 (8.8) 對(duì)于t期，按上述形式推導(dǎo) Yt = (I + P1 + P12 + + P1t-1) m + P1t Y0 + ut-i (8.9)由上式可知，P10 = I。通過上述變換，把Yt表示成了漂移項(xiàng)向量m、初始值向量Y0和新息向量ut的函數(shù)。可見系統(tǒng)是否穩(wěn)定就決定于漂移項(xiàng)向量m、初始值向量Y0和新息向量ut經(jīng)受沖擊后的表現(xiàn)。假定模型是穩(wěn)定的，將有如下3個(gè)結(jié)論。（1）假設(shè)t = 1時(shí)，對(duì)m 施加一個(gè)單位的沖擊，那么到t期的影響是 (I + P1 + P12 + + P1t-1)當(dāng)t 時(shí)，此影響是一個(gè)有限值，(I - P1) -1。（2）假設(shè)在初始值Y0上施加一個(gè)單位的沖擊。到t期的影響是 P1t。隨著t ，P1t 0，影響消失（因?yàn)閷?duì)于平穩(wěn)的VAR模型，P1中的元素小于1，所以隨著t ，取t次方后，P1t 0）。（3）從ut-i項(xiàng)可以看出，白噪聲中的沖擊離t期越遠(yuǎn)，影響力就越小。=(I - P1) -1，稱作長(zhǎng)期乘子矩陣，是對(duì)ut-i求期望得到的。對(duì)單一方程的分析知道，含有單位根的自回歸過程對(duì)新息中的脈動(dòng)沖擊有長(zhǎng)久的記憶能力。同理，含有單位根的VAR模型也是非平穩(wěn)過程。當(dāng)新息中存在脈動(dòng)沖擊時(shí)，VAR模型中內(nèi)生變量的響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間的推移而消失。平穩(wěn)變量構(gòu)成的一定是穩(wěn)定（stability）的模型，但穩(wěn)定的模型不一定由平穩(wěn)變量構(gòu)成。也可能由非平穩(wěn)（nonstationary）變量（存在協(xié)整關(guān)系）構(gòu)成。8.1.3 VAR模型穩(wěn)定的條件VAR模型穩(wěn)定的充分與必要條件是P1（見 (8.3) 式）的所有特征值都要在單位圓以內(nèi)（在以橫軸為實(shí)數(shù)軸，縱軸為虛數(shù)軸的坐標(biāo)體系中，以原點(diǎn)為圓心半徑為1的圓稱為單位圓），或特征值的模都要小于1。1先回顧單方程情形。以AR(2)過程yt = f1 y t-1 + f2 y t-2 + ut (8.11)為例。改寫為(1- f1 L - f2 L 2) yt = F(L) yt = ut (8.12)yt穩(wěn)定的條件是F(L) = 0 的根必須在單位圓以外。2對(duì)于VAR模型，用特征方程判別穩(wěn)定性。以 (8.3) 式，Yt = m + P1 Yt-1 + ut，為例，改寫為 (I - P1 L) Yt = m + ut (8.13)其中A(L) = (I - P1 L)。VAR模型穩(wěn)定的條件是特征方程 | P1 - l I | = 0的根都在單位圓以內(nèi)。特征方程 | P1 - l I | = 0的根就是P1的特征值。例8.1 以二變量（N = 2），k = 1的VAR模型為例分析穩(wěn)定性。=+ (8.14)其中 P1 =特征方程| P1 - l I | = = = 0即 (5/8 - l)2 1/8 = (5/8 - l)2 = (0.978 - l) (0.271 - l) = 0 (8.15)得 l1 = 0.9786, l2 = 0.2714。l1，l2是特征方程 | P1 - l I | = 0的根，也是P1的特征值。因?yàn)閘1 = 0.978, l2 = 0.271，都小于1，所以對(duì)應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。3VAR模型的穩(wěn)定性也可以用相反的特征方程（reverse characteristic function），| I L P1 | = 0判別。即保持VAR模型平穩(wěn)的條件是相反的特征方程 | I - L P1| = 0的根都在單位圓以外。例8.2 仍以VAR模型(8.14) 為例，相反的特征方程| I - L P1| = = = (1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 (8.16)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,因?yàn)長(zhǎng) 1，L 2都大于1，所以對(duì)應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。注意：（1）特征方程與相反的特征方程的根互為倒數(shù)，l = 1/L。（2）在單方程模型中，通常用相反的特征方程 F(L) = 0的根描述模型的穩(wěn)定性；而在VAR模型中通常用特征方程 | P1 - l I | = 0的根描述模型的穩(wěn)定性。即單變量過程穩(wěn)定的條件是（相反的）特征方程F(L) = 0的根都要在單位圓以外。VAR模型穩(wěn)定的條件是，相反的特征方程| I L P1 | = 0的根都要在單位圓以外，或特征方程 | P1 - l I | = 0的根都要在單位圓以內(nèi)。4對(duì)于k1的k階VAR模型可以通過友矩陣變換（companion form），改寫成1階分塊矩陣的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判別穩(wěn)定性。具體變換過程如下。給出k階VAR模型，Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut (8.17)再給出如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt -k +1 = Yt - k +1把以上k個(gè)等式寫成分塊矩陣形式，=+ (8.18)其中每一個(gè)元素都表示一個(gè)向量或矩陣。令Yt = (Yt-1 Yt-2 Yt-k+1) NK1A0 = (m 0 0 0) NK1A1 =Ut = (ut 0 0 0) NK1上式可寫為Yt = A0 + A1 Yt -1 + Ut (8.19)注意，用友矩陣變換的矩陣（向量）用正黑體字母表示。k階VAR模型用友矩陣表示成了1階分塊矩陣的VAR模型。 例如，2變量2階VAR模型的友矩陣變換形式是=+ (8.20)其中等式的每一個(gè)元素（項(xiàng)）都表示一個(gè)41階向量或44階矩陣。 例如，2變量3階VAR模型的友矩陣變換形式是=+ (8.21)其中等式的每一個(gè)元素（項(xiàng)）都表示一個(gè)61階向量或66階矩陣。VAR模型的穩(wěn)定性要求A1的全部特征值，即特征方程 | A 1 - l I | = 0的全部根必須在單位圓以內(nèi)或者相反的特征方程 | I - L A 1| = 0的全部根必須在單位圓以外。注意：特征方程中的A 1是NkNk階的。特征方程中的I也是NkNk階的。以2階VAR模型的友矩陣變換為例，| I - L A 1| = |1- L P1 - L 2 P2 | = 0 (8.22)的全部根必須在單位圓以外。以3階VAR模型的友矩陣變換為例，| I - L A 1| = | I- L P1 - L 2 P2 - L 3 P3 | = 0 (8.23)的全部根必須在單位圓以外。因此，對(duì)于k階VAR模型的友矩陣變換形式，特征方程是，| I - P1 L - P2 L 2 - - Pk L k | = 0 (8.24)例8.3 用以具體數(shù)字為系數(shù)的2變量、2階VAR模型做進(jìn)一步說明。有Yt = m + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + ut其中，P1 = , P2 =友矩陣變換形式是=+ (8.25)或 =+ (8.26)或 Yt = A0 + A1 Yt -1 + Ut (8.27)因?yàn)锳1的階數(shù)為44（注意，因?yàn)镹=2，k=2，所以A1的階數(shù)為44），所以有4個(gè)特征根。特征方程是| A 1 - l I | = 0 (8.28)4個(gè)根見下表：根模l1 = 1.0001.000l2 = 0.9470.947l3 = 0.380-0.144 i0.406l4 = 0.380-0.144 i0.406盡管有3個(gè)根在單位圓內(nèi)，因?yàn)橛幸粋€(gè)根為1，落在單位圓上，所以平穩(wěn)性條件未能得到滿足。8.1.4 VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解由于VAR模型參數(shù)的OLS估計(jì)量只具有一致性，單個(gè)參數(shù)估計(jì)值的經(jīng)濟(jì)解釋是很困難的。要想對(duì)一個(gè)VAR模型做出分析，通常是觀察系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解。（1）脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)描述一個(gè)內(nèi)生變量對(duì)誤差沖擊的反應(yīng)。具體地說，它描述的是在隨機(jī)誤差項(xiàng)上施加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差大小的沖擊后對(duì)內(nèi)生變量的當(dāng)期值和未來值所帶來的影響。對(duì)于如下VAR模型，y1, t表示GDP，y2, t表示貨幣供應(yīng)量， y1, t = m1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t y2, t = m2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1)在模型（8.1）中，如果誤差u1t 和u2t不相關(guān)，就很容易解釋。u1t是y1, t的誤差項(xiàng)；u2t是y2, t的誤差項(xiàng)。u2t的脈沖響應(yīng)函數(shù)衡量當(dāng)期一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的貨幣沖擊對(duì)GDP和貨幣存量的當(dāng)前值和未來值的影響。對(duì)于每一個(gè)VAR模型都可以表示成為一個(gè)無限階的向量MA()過程。具體方法是對(duì)于任何一個(gè)VAR(k)模型都可以通過友矩陣變換改寫成一個(gè)VAR(1)模型（見8.1.3節(jié)）。Yt = A1 Yt -1 + Ut (I - L A 1) Yt = UtYt = (I - L A 1)-1 Ut = Ut + A1Ut-1 + A12 Ut-2 + + A1s Ut-s + 這是一個(gè)無限階的向量MA()過程?；?qū)懗桑琘t+s = Ut+s + A1Ut+s -1 + A12 Ut+s -2 + + A1s Ut + Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + (8.29)其中Y1 = A1, Y2 = A12, , Y s = A1 s,顯然，由 (8.29)式有下式成立， Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其他誤差項(xiàng)在任何時(shí)期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個(gè)變量對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)uj t在t期受到一個(gè)單位的沖擊后，對(duì)第i個(gè)內(nèi)生變量在t+ s期造成的影響。 把Y s中第i行第j列元素看作是滯后期s的函數(shù), s = 1, 2, 3, 稱作脈沖響應(yīng)函數(shù)（impulse-response function），脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了其他變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi, t+s對(duì) yj, t時(shí)一次沖擊的響應(yīng)過程。對(duì)脈沖響應(yīng)函數(shù)的解釋出現(xiàn)困難源于誤差項(xiàng)從來都不是完全非相關(guān)的。當(dāng)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，它們有一個(gè)共同的組成部分，不能被任何特定的變量所識(shí)別。為處理這一問題，常引入一個(gè)變換矩陣M與ut相乘， vt = M ut (0, W)從而把ut的方差協(xié)方差矩陣變換為一個(gè)對(duì)角矩陣W?，F(xiàn)在有多種方法。其中一種變換方法稱作喬利斯基（Cholesky）分解法，從而使誤差項(xiàng)正交。原誤差項(xiàng)相關(guān)的部分歸于VAR系統(tǒng)中的第一個(gè)變量的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。在上面的例子里，u1 t和u2t的共同部分完全歸于u1t，因?yàn)閡1t在u2 t之前。雖然喬利斯基分解被廣泛應(yīng)用，但是對(duì)于共同部分的歸屬來說，它還是一種很隨意的方法。所以方程順序的改變將會(huì)影響到脈沖響應(yīng)函數(shù)。因此在解釋脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí)應(yīng)小心。對(duì)于每一個(gè)VAR模型都可以表示成為一個(gè)無限階的向量MA()過程。 Yt = m + ut + Y1 ut -1 + Y2 ut -2 + (8.29)對(duì)于ut中的每一個(gè)誤差項(xiàng)，內(nèi)生變量都對(duì)應(yīng)著一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)。這樣，一個(gè)含有4個(gè)內(nèi)生變量的VAR將有16個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)。要得到VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)，可以在VAR的工具欄中選擇Impulse功能健。（2）方差分解。另一個(gè)評(píng)價(jià)VAR模型的方法是方差分解。VAR的方差分解能夠給出隨機(jī)新息的相對(duì)重要性信息。EViews對(duì)于每一個(gè)內(nèi)生變量都計(jì)算一個(gè)獨(dú)立的方差分解。3個(gè)變量的VAR跨時(shí)為10的方差分解如下圖。S.E.所對(duì)應(yīng)的列是相對(duì)于不同預(yù)測(cè)期的變量的預(yù)測(cè)誤差。這種預(yù)測(cè)誤差來源于新息的當(dāng)期值和未來值。其他的幾欄給出關(guān)于源于某個(gè)特定的新息所引起的方差占內(nèi)生變量總方差的百分比。向前一個(gè)時(shí)期，一個(gè)變量的所有變動(dòng)均來自其本身的新息。因此第一個(gè)數(shù)字總是100%。同樣，方差分解主要取決于方程的順序。8.1.5 VAR模型滯后期k的選擇建立VAR模型除了要滿足平穩(wěn)性條件外，還應(yīng)該正確確定滯后期k。如果滯后期太少，誤差項(xiàng)的自相關(guān)會(huì)很嚴(yán)重，并導(dǎo)致參數(shù)的非一致性估計(jì)。正如在第4章介紹ADF檢驗(yàn)的原理一樣，在VAR模型中適當(dāng)加大k值（增加滯后變量個(gè)數(shù)），可以消除誤差項(xiàng)中存在的自相關(guān)。但從另一方面看，k值又不宜過大。k值過大會(huì)導(dǎo)致自由度減小，直接影響模型參數(shù)估計(jì)量的有效性。下面介紹幾種選擇k值的方法。1 用LR統(tǒng)計(jì)量選擇k值。LR（似然比）統(tǒng)計(jì)量定義為， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) (8.34)其中l(wèi)og L(k) 和log L(k+1) 分別是VAR(k) 和 VAR(k+1) 模型的極大似然估計(jì)值。k表示VAR模型中滯后變量的最大滯后期。LR統(tǒng)計(jì)量漸近服從分布。顯然當(dāng)VAR模型滯后期的增加不會(huì)給極大似然函數(shù)值帶來顯著性增大時(shí)，即LR統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值時(shí)，新增加的滯后變量對(duì)VAR模型毫無意義。應(yīng)該注意，當(dāng)樣本容量與被估參數(shù)個(gè)數(shù)相比不夠充分大時(shí)，LR的有限樣本分布與LR漸近分布存在很大差異。2 用赤池（Akaike）信息準(zhǔn)則 (AIC) 選擇k值。 AIC = log+ (8.35)其中表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇k值的原則是在增加k值的過程中使AIC的值達(dá)到最小。EViews 3.0的計(jì)算公式是AIC = -2+ 3用施瓦茨（Schwartz）準(zhǔn)則 (SC) 選擇k值。 SC = log+ (8.36)其中表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選擇最佳k值的原則是在增加k值的過程中使SC值達(dá)到最小。EViews 3.0的計(jì)算公式是SC =-2+8.1.6格蘭杰非因果性檢驗(yàn)VAR模型還可用來檢驗(yàn)一個(gè)變量與另一個(gè)變量是否存在因果關(guān)系。經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中格蘭杰（Granger）非因果性定義如下：格蘭杰非因果性：如果由yt和xt滯后值所決定的yt的條件分布與僅由yt滯后值所決定的條件分布相同，即 ( yt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, ), (8.37)則稱xt -1對(duì)yt存在格蘭杰非因果性。 格蘭杰非因果性的另一種表述是其他條件不變，若加上xt的滯后變量后對(duì)yt的預(yù)測(cè)精度不存在顯著性改善，則稱xt -1對(duì)yt存在格蘭杰非因果性關(guān)系。為簡(jiǎn)便，通?？偸前褁t-1 對(duì)yt存在非因果關(guān)系表述為xt（去掉下標(biāo) -1）對(duì)yt存在非因果關(guān)系（嚴(yán)格講，這種表述是不正確的）。在實(shí)際中，除了使用格蘭杰非因果性概念外，也使用“格蘭杰因果性”概念。顧名思義，這個(gè)概念首先由格蘭杰（Granger 1969）提出。西姆斯（Sims 1972）也提出因果性定義。這兩個(gè)定義是一致的。根據(jù)以上定義，xt 對(duì)yt 是否存在因果關(guān)系的檢驗(yàn)可通過檢驗(yàn)VAR 模型以yt 為被解釋變量的方程中是否可以把xt 的全部滯后變量剔除掉而完成。比如VAR 模型中以yt 為被解釋變量的方程表示如下： yt = + u1 t (8.38)如有必要，常數(shù)項(xiàng)，趨勢(shì)項(xiàng)，季節(jié)虛擬變量等都可以包括在上式中。則檢驗(yàn)xt 對(duì)yt存在格蘭杰非因果性的零假設(shè)是 H0: b1 = b2 = = bk = 0顯然如果（8.24）式中的xt 的滯后變量的回歸參數(shù)估計(jì)值全部不存在顯著性，則上述假設(shè)不能被拒絕。換句話說，如果xt 的任何一個(gè)滯后變量的回歸參數(shù)的估計(jì)值存在顯著性，則結(jié)論應(yīng)是xt 對(duì)yt 存在格蘭杰因果關(guān)系。上述檢驗(yàn)可用F統(tǒng)計(jì)量完成。 F = (8.39)其中SSEr 表示施加約束（零假設(shè)成立）后的殘差平方和。SSEu 表示不施加約束條件下的殘差平方和。k表示最大滯后期。N表示VAR模型中所含當(dāng)期變量個(gè)數(shù)，本例中N = 2，T表示樣本容量。在零假設(shè)成立條件下，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從F( k, T - k N ) 分布。用樣本計(jì)算的F值如果落在臨界值以內(nèi)，接受原假設(shè)，即xt 對(duì)yt 不存在格蘭杰因果關(guān)系。例：（file: stock）以661天（1999.1.4-2001.10.5）的上海（SH）和深圳（SZ）股票收盤價(jià)格綜合指數(shù)為例，滯后10期的Granger因果性檢驗(yàn)結(jié)果如下：（當(dāng)概率小于0.05時(shí)，表示推翻原假設(shè)）上表中概率定義為，P(F1.36) = 0.19316圖示如下：1.36 臨界值 P(F23.44) = 0.00000 因?yàn)镕值（1.36）落在原假設(shè)接受域，所以原假設(shè)“上海股票價(jià)格綜合指數(shù)對(duì)深圳股票價(jià)格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系” 被接受。因?yàn)镕值（23.44）落在原假設(shè)拒絕域，所以原假設(shè)“深圳股票價(jià)格綜合指數(shù)對(duì)上海股票價(jià)格綜合指數(shù)不存在Granger因果關(guān)系” 被推翻。用滯后110期的檢驗(yàn)式分別檢驗(yàn)，結(jié)論都是深圳股票價(jià)格綜合指數(shù)是上海股票價(jià)格綜合指數(shù)變化的原因，但上海股票價(jià)格綜合指數(shù)不是深圳股票價(jià)格綜合指數(shù)變化的原因，EViews操作方法是，打開數(shù)劇組窗口，點(diǎn)View鍵，選Granger Causility。在打開的對(duì)話窗口中填上滯后期（下面的結(jié)果取滯后期為10。），點(diǎn)擊OK鍵。VAR模型的EViews估計(jì)步驟。點(diǎn)擊Quick, 選Estimate VAR功能。輸出結(jié)果如下（部分）8.2 VAR模型與協(xié)整如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) (8.40)的內(nèi)生變量都含有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個(gè)平穩(wěn)的VAR模型。DYt = P1* DYt-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* (8.41)然而，當(dāng)這些變量存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，這種建模方法不是最好的選擇。如果Yt I(1)，且非平穩(wěn)變量間存在協(xié)整關(guān)系。那么非平穩(wěn)變量的由協(xié)整向量組成的線性組合則是平穩(wěn)的。這時(shí)，采用差分的方法構(gòu)造VAR模型雖然是平穩(wěn)的，但不是最好的選擇。建立單純的差分VAR模型將丟失重要的非均衡誤差信息。因?yàn)樽兞块g的協(xié)整關(guān)系給出了變量間的長(zhǎng)期關(guān)系。同時(shí)用這種非均衡誤差以及變量的差分變量同樣可以構(gòu)造平穩(wěn)的VAR模型。從而得到一類重要的模型，這就是向量誤差修正模型。下面推導(dǎo)向量誤差修正（VEC）模型的一般形式。對(duì)于k = 1的VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + ut，兩側(cè)同減Yt-1，得D Yt = (P1 I )Yt-1 + ut (8.42)對(duì)于k=2的VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + ut，兩側(cè)同減Yt-1，在右側(cè)加、減 P2 Yt-1，并整理得D Yt = (P1 + P2 - I ) Yt-1 - P2 DYt-1 + ut (8.43)對(duì)于k=3的VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + P3 Yt-3 + ut，兩側(cè)同減Yt-1，在右側(cè)加、減 P2 Yt-1和P3 Yt-1并整理得DYt = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 - P2 Yt-1 - P3 Yt-1 + P2 Yt-2 + P3 Yt-3 + ut = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 P2 DYt-1 - P3 Yt-1 + P3 Yt-3+ ut 在右側(cè)加、減 P3 Yt-2并整理得 DYt = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 - P2 DYt-1 - P3 Yt-1 + P3 Yt-2 - P3 Yt-2 + P3 Yt-3+ ut = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 - P2 DYt-1 - P3 DYt-1 - P3 DYt-2 + ut = (P1 + P2 + P3 - I ) Yt-1 (P2 +P3 ) DYt-1 - P3 DYt-2 + ut (8.44)對(duì)于k階VAR模型，Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut，利用k=1, 2, 3的VAR模型的推導(dǎo)規(guī)律，見(8.42) - (8.44)式，其向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是DYt = (P1 +P2 +Pk - I ) Yt -1- (P2 +P3 +Pk) DYt-1- (P3 +Pk) DYt-2 - Pk DYt - (k-1) +ut (8.45)令 Gj = -, j = 1, 2, , k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk - I， (8.46)則上式寫為DYt = P Yt-1 + G1 DYt-1 + G2 DYt-2 + + Gk-1 DYt - (k-1) + ut (8.47)這是向量誤差修正模型（VEC）的一般表達(dá)式。P 稱為壓縮矩陣（影響矩陣）。P 是全部參數(shù)矩陣的和減一個(gè)單位陣。P 為多項(xiàng)式矩陣，其中每一個(gè)元素都是一個(gè)多項(xiàng)式。運(yùn)算規(guī)則于一般矩陣相同。滯后期的延長(zhǎng)不影響對(duì)協(xié)整向量個(gè)數(shù)的分析。根據(jù)Granger定理，向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是 A(L) (1- L) Yt = a b Yt-1 + d (L) ut (8.48)其中A(L) 是多項(xiàng)式矩陣A(L)分離出因子(1- L)后降低一階的多項(xiàng)式矩陣，d (L)是由滯后算子表示的多項(xiàng)式矩陣。 上式與 (8.47) 式完全相同。其中A(L) (1- L) Yt = A(L) DYt = DYt - G1 DYt-1 - G2 DYt-2 - - Gk-1 DYt - (k-1)d(L) ut = ut在這里d (L) 退化為單位陣。若Yt CI(1, 1)，比較 (8.47) 和 (8.48) 式必然有P = a b 其中b是協(xié)整矩陣，a 是調(diào)整系數(shù)矩陣。a 和b 都是Nr階矩陣。表示有r個(gè)協(xié)整向量，b1, b2 , br，存在r個(gè)協(xié)整關(guān)系。因?yàn)閅t I(1)，所以 DYt I(0)。從模型 (8.45) 變換為模型 (8.47) 稱為協(xié)整變換。壓縮矩陣 P 決定模型 (8.47) 中是否存在，以及以什么規(guī)模存在協(xié)整關(guān)系。因?yàn)?DYt I(0)，所以除了P Yt-k ，模型 (8.47) 中各項(xiàng)都是平穩(wěn)的。而對(duì)于P Yt-k有如下三種可能。1 當(dāng)Yt 的分量不存在協(xié)整關(guān)系，P的特征根為零，P = 0。2 若rank (P) = N（滿秩），保證 P Yt-k平穩(wěn)的唯一一種可能是Yt I(0)。3 當(dāng)Yt I(1)，若保證 P Yt-k平穩(wěn)，只有一種可能，即Yt 的分量存在協(xié)整關(guān)系。 b Yt I(0)VEC模型是帶有誤差修正機(jī)制的關(guān)于DYt 的VAR模型。增加DYt-1滯后項(xiàng)的目的是吸收ut中的自相關(guān)成分，使其變?yōu)榘自肼暋]有這些項(xiàng)，等于丟掉了動(dòng)態(tài)成分。假定Yt I(1) 具有一般性。如果某個(gè)變量的單整階數(shù)高于1，可通過差分取其相應(yīng)單整階數(shù)為1的序列加入模型。上式也可以加入位移項(xiàng)與趨勢(shì)項(xiàng)。若 P = a b 成立，且存在r個(gè)協(xié)整關(guān)系，則P Yt-1的一般表達(dá)式是 P Yt-1 = a b Yt-1 = = = (8.49)為便于理解，現(xiàn)在以N =2, k=1的VEC模型為例，說明VEC模型中的協(xié)整關(guān)系。例8.4 有VEC模型 D y1, t = -( y1, t-1 y2, t-1) + u1 t (8.50) D y2, t =( y1, t-1 y2, t-1) + u2 t (8.51)看(8.50)式，令誤差修正項(xiàng) y1, t-1 (1/8) y2, t-1 = v1, t-1。當(dāng)v1, t-1增加，系統(tǒng)偏離了均衡點(diǎn)，y1, t-1 (1/8) y2, t-1，因?yàn)檎{(diào)整系數(shù)為負(fù)（- 1/2），在t期將導(dǎo)致 D y1, t減小，也即y1, t減小。從而使y1, t移向均衡點(diǎn)。反之亦然。把 (8.51) 式改寫如下，D y2, t = -( y2, t-1 8 y1, t-1) + v 2 t誤差修正機(jī)制的解釋與上類似。把 (8.50)，(8.51) 寫成矩陣形式。 =+= P Yt-1 + ut (8.52)現(xiàn)在分析矩陣P。因?yàn)?| P | = 0，P是降秩的。為求 P 的特征值，解如下特征方程，| P - l I | = = = 1/32 + 9/16l + l 2 1/32 = l 2 + 9/16l = l (l + 9/16) = 0 (8.53)兩個(gè)根是l1 = 0，l2 = - 9/16。l1 = 0，說明 P 是降秩的。一般來說，非零根的個(gè)數(shù)既是 P 的秩。P 有三種情形。（1）當(dāng) P 完全降秩，即rank(P) = 0時(shí)，任意形式的 P 通過適當(dāng)線性變換，可以得到 P = 0。于是（8.52）式變?yōu)椋?D Yt = ut這是一階差分形式的平穩(wěn)的VAR模型。說明Yt中含有一個(gè)單位根。VAR模型中沒有協(xié)整向量?，F(xiàn)在討論多于一個(gè)協(xié)整關(guān)系的情形。例8.5 設(shè)三個(gè)變量的k = 1的誤差修正模型如下， D y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (1/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1+ u1 t D y2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1+ u2 t D y3, t = (1/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (3/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1+ u3 t矩陣形式是 = + (8.54)P = a b =P 的特征值是 -0.7928，-0.4416，0。存在兩個(gè)協(xié)整關(guān)系。注意：在第一個(gè)協(xié)整向量中，y3, t的系數(shù)被約束為零。在第二個(gè)協(xié)整向量中，y1, t的系