博弈論基礎作業(yè)及答案.doc

_博弈論基礎作業(yè)一、名詞解釋納什均衡 占優(yōu)戰(zhàn)略均衡 純戰(zhàn)略 混合戰(zhàn)略 子博弈精煉納什均衡 貝葉斯納什均衡 精煉貝葉斯納什均衡 共同知識見PPT二、問答題1.舉出囚徒困境和智豬博弈的現(xiàn)實例子并進行分析。囚徒困境的例子：軍備競賽；中小學生減負；幾個大企業(yè)之間的爭相殺價等等；以中小學生減負為例：在當前的高考制度下，給定其他學校對學生進行減負，一個學校最好不減負，因為這樣做，可以帶來比其他學校更高的升學率。給定其他學校不減負，這個學校的最佳應對也是不減負。否則自己的升學率就比其他學校低。因此，不論其他學校如何選擇，這個學校的最佳選擇都是不減負。每個學校都這樣想，所以每個學校的最佳選擇都是不減負，因此學生的負擔越來越重。請用同樣的方法分析其他例子。智豬博弈的例子：大企業(yè)開發(fā)新產品；小企業(yè)模仿；股市中，大戶搜集分析信息，散戶跟隨大戶的操作策略以股市為例：給定散戶搜集資料進行分析，大戶的最佳選擇是跟隨。而給定散戶跟隨，大戶的最佳選擇是自己搜集資料進行分析。但是不論大戶是選擇分析還是跟隨，散戶的最佳選擇都是跟隨。因此如果大戶和散戶是聰明的，并且大戶知道散戶也是聰明的，那么大戶就會預見到散戶會跟隨，而給定散戶跟隨，大戶只有自己分析。請用同樣的方法分析其他例子。2.請用博弈論來說明“破釜沉舟”和“窮寇勿追”的道理。破釜沉舟是一個承諾行動。目的是要斷絕自己的退路，讓自己無路可退，讓自己決一死戰(zhàn)變得可以置信。也就是說與敵人對決時，只有決一死戰(zhàn)，這樣才可以取得勝利。否則，如果不破釜沉舟，那么遇到困難時，就很有可能退卻，也就無法取得勝利。窮寇勿追就是要給對方一個退路，由于有退路，對方就不會殊死抵抗。否則，對方退無可退，只有堅決抵抗一條路，因而必然決一死戰(zhàn)。自己也會付出更大的代價。3.當求職者向企業(yè)聲明自己能力強時，企業(yè)未必相信。但如果求職者拿出自己的各種獲獎證書時，卻能在一定程度上傳遞自己能力強的信息。這是為什么？由于口頭聲明幾乎沒有成本，因此即便是能力差的求職者也會向企業(yè)聲明自己能力強。當然能力強的人也會聲明自己的能力強。也就是說不同類型的求職者為了贏得職位會做出同樣的聲明。這樣口頭聲明就不能有效的傳遞信息，因此企業(yè)不會輕易相信。而求職者拿出獲獎證書就成了一個信號博弈。由于獲得證書是要付出代價的，但代價卻引人而異。能力強的個人可以相對輕易獲得證書，而能力弱的個人卻很難獲得證書，以至于能力弱的人認為化巨大的代價獲得證書，從而獲得企業(yè)的職位是不劃算的，因此干脆就不要獲獎證書。因此獲獎證書就成為個人能力的信號。4.五個海盜搶得100顆鉆石,他們?yōu)榉众E發(fā)生了爭議,最后達成協(xié)議,由抓鬮確定出分贓順序，然后按照民主程序進行分贓。首先由1號海盜提出分贓方案,五人共同舉手表決。若贊成的占一半以上（不包括一半的情況）,就按1號提出的方案分贓,否則1號將被扔到海里喂鯊魚。接著由2號提出方案, 四人共同舉手表決。若贊成的占一半以上（不包括一半的情況）,就按2號提出的方案分贓,否則2號將被扔到海里喂鯊魚,依此類推。如果你是1號海盜,你該提什么樣的方案?說明理由。 假設（1）五個強盜都很聰明，而且大家知道大家很聰明，大家知道大家知道大家很聰明，如此等等。（2）每個海盜都很貪婪，希望獲得盡可能多的鉆石，但是又不想為了鉆石丟掉性命。（3）給定一個方案，只有該方案大于他的備選方案所獲的鉆石時，海盜才選擇贊成。第一個海盜的提議應該是：五個海盜分別獲得的鉆石數(shù)目為97，0，1，0，2，或者97，0，1，2，0。具體理由自己思考，方法是倒推法。三、計算題1.試計算表1中的戰(zhàn)略式博弈的重復剔除劣戰(zhàn)略均衡。表1 一個戰(zhàn)略式表述博弈BLMRAU1,23,12,4M5,67,12,6D3,12,07,8對B而言，戰(zhàn)略M嚴格劣于R；（因為14, 16,08），因此剔除B的戰(zhàn)略M；構成新的博弈如下BLRAU1,22,4M5,62,6D3,17,8在新的博弈中，對于A而言，戰(zhàn)略U嚴格劣于D(因為13,27)，因此剔除A的戰(zhàn)略U，構成新的博弈如下：BLRAM5,62,6D3,17,8對于新的博弈中，已經沒有嚴格的劣戰(zhàn)略，因此沒有嚴格的劣戰(zhàn)略可以剔除。所以該博弈不是重復剔除嚴格劣戰(zhàn)略可解的。但是存在弱劣戰(zhàn)略。對于B而言，戰(zhàn)略L弱劣于R（因為6=6，18）,因此剔除B的弱劣戰(zhàn)略L，構成新的博弈如下：BRAM2,6D7,8在新的博弈中，對于A而言，戰(zhàn)略M嚴格劣于D（因為27）,因此剔除A的戰(zhàn)略M，構成新的博弈如下：BRAD7,8因此，重復剔除（弱）劣戰(zhàn)略均衡為（D，R）（ps: 如果同學們用劃線的方法求納什均衡，就可以發(fā)現(xiàn)純戰(zhàn)略nash均衡有兩個：（M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣戰(zhàn)略的方法，把其中一個納什均衡剔除掉了）2. 試給出下述戰(zhàn)略式表述博弈的所有納什均衡。2LR 1U2,23,3D4,41,2給定1選擇U，2的最佳選擇是R(因為22），在相應位置劃線給定2選擇L，1的最佳選擇是D（理由自己寫），在相應位置劃線給定2選擇R，1的最佳選擇是U（理由自己寫），在相應位置劃線找兩個數(shù)字下都劃線的，顯然有兩個純戰(zhàn)略納什均衡：和據Wilson的奇數(shù)定理，可能有一個混合戰(zhàn)略均衡。設1選的概率為，那么選D的概率為設2選的概率為，那么選R的概率為，如果存在混合戰(zhàn)略，那么2選戰(zhàn)略L和R的期望收益應該應該相等，因此應有 自己求解 （2分）同樣，1選戰(zhàn)略U和D的期望收益應該應該相等 得混合均衡：?3.市場里有兩個企業(yè)1和2。每個企業(yè)的成本都為0。市場的逆需求函數(shù)為P=16-Q。其中P是市場價格，Q為市場總產量。（1）求古諾（Cournot）均衡產量和利潤。（2）求斯坦克爾伯格（Stackelberg）均衡產量和利潤。(1)設兩個企業(yè)的產量分別為，有，因此利潤函數(shù)分別為：利潤最大化的一階條件分別為：因此企業(yè)1和企業(yè)2的反應函數(shù)分別為： 聯(lián)立，得到。自己求解（2）設企業(yè)1先行，企業(yè)2跟進。兩個企業(yè)的產量分別為，因此利潤函數(shù)分別為：由逆向歸納法，在第二階段，企業(yè)2在已知企業(yè)1的產量的情況下，最優(yōu)化自己的產量，從而得到企業(yè)2的反應函數(shù)：因此企業(yè)2的反應函數(shù)為： 在第一階段，企業(yè)1考慮到企業(yè)2的反應，從而自己的利潤函數(shù)為： （2分）要使企業(yè)1的利潤最大，應滿足一階條件：得到。 所以。 （PS: 古諾模型是完全信息靜態(tài)博弈，求的是納什均衡；斯坦伯格模型是完全信息動態(tài)博弈，求的是子博弈精煉納什均衡） 4.（1）試給出圖1中的完全信息動態(tài)博弈的子博弈精煉均衡和均衡結果。（2）倘若2告訴1：2的戰(zhàn)略是，問此時1的最優(yōu)戰(zhàn)略是什么？（3）在（2）中，1和2的戰(zhàn)略組合構成一個納什均衡嗎？均衡結果是什么？（4）（3）中的納什均衡不是子博弈精煉的，原因是什么？ 12 a b 2 2 c d e j (1,2) (2,1) 1 (6,3) f g (3,2) l i (4,6) (0,2)答： （1） 1 a b 2 2 c d e j (1,2) (2,1) 1 (6,3)2 （2分） f g (3,2) l i (4,6) (0,2)由逆向歸納法，子博弈精煉均衡為，均衡結果為（4，6）。（2）若2的戰(zhàn)略為，則1的最優(yōu)戰(zhàn)略為。（3）給定2的戰(zhàn)略為，1的最優(yōu)戰(zhàn)略為；反之，給定1的戰(zhàn)略，戰(zhàn)略是2的一個最優(yōu)戰(zhàn)略。所以它們構成一個納什均衡，均衡結果為（6,3）。（4）因為2的戰(zhàn)略中含有不可置信的威脅，使1在和之間不敢選。當博弈進行到2在與之間進行選擇的時候，2必會選，給定如此，1選而不是，此時2會選，這就是子博弈精煉均衡。5、試解出下述不完美信息動態(tài)博弈的精煉貝葉斯均衡。 1 R (1,2) L 2 l r l r (2,4) (0,1) (3,1) (7,2)當“2”看見“1”未選R時，設他認為“1”選L的概率為P， “1”選的概率為1P，則“2”選的期望支付為：“2”選的期望支付為當，即時，“2”選，而給定“2”選，“1”選L收益為2，選的收益為3，選R的收益為1，因此“1”會選。而給定“1”選，“2”認為（注意：P是“1”選L的概率），與矛盾。故不會有均衡；當，即時，“2”選，給定“2”選，“1”選L收益為0，選的收