橢圓(教師版).doc

橢圓基礎(chǔ)知識(shí):一橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于|這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于|，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段.2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（） 3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上. 二橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（）1橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程 線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸它們的長(zhǎng)分別等于和，離心率：（）.越接近于時(shí)，橢圓越扁；反之，越接近于時(shí)，橢圓就越接近于圓.2橢圓的第二定義 定義：與定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓準(zhǔn)線： （）的準(zhǔn)線方程為. 準(zhǔn)線方程.3橢圓的焦半徑： 設(shè)（-，0），（，0）分別為橢圓（）的左、右兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長(zhǎng)分別為，.4橢圓的參數(shù)方程橢圓（）的參數(shù)方程為（為參數(shù)） 這里參數(shù)叫做橢圓的離心角橢圓上點(diǎn)的離心角與直線的傾斜角不同：； 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.5橢圓的內(nèi)外部點(diǎn)在橢圓（）的內(nèi)部6焦點(diǎn)三角形經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、等關(guān)系面積公式:三直線與橢圓的位置關(guān)系1直線和橢圓方程分別是，聯(lián)立消去，得 （3） 如果，方程（3）的判別式為，那么：直線和橢圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)直線和橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)直線和橢圓相離，無公共點(diǎn)當(dāng)直線和橢圓相交時(shí)，在曲線內(nèi)的線段（包括端點(diǎn)）叫橢圓的弦，當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，稱其為焦點(diǎn)弦。2求弦長(zhǎng)的方法：利用弦長(zhǎng)公式：或 3求弦的中點(diǎn)的方法；可把直線方程與橢圓方程聯(lián)立再用韋達(dá)定理求之，即，4直線與橢圓關(guān)系應(yīng)用解決橢圓與直線的關(guān)系的問題，常用韋達(dá)定理和“點(diǎn)差法”求之。關(guān)于“點(diǎn)差法”：設(shè)橢圓：，直線與相交于兩點(diǎn)，則有（1）-（2）整理可得，即1 已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是A2 B6 C4 D122 在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為A B C D3 已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是A B C D4 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是A B C D5 把離心率等于黃金比的橢圓稱之為“黃金橢圓”，設(shè)為黃金橢圓，、分別是它的左焦點(diǎn)和右端點(diǎn)，是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則A B C D6 斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則的最大值為A2B CD 弦長(zhǎng)|AB|= 答案 C7 若直線和橢圓相交于不同兩點(diǎn)、則常數(shù)的取值范圍是 ；弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 （用表示）；當(dāng)變化時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程是 。8 已知直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，則等于 。9 對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線：與橢圓：恒有公共點(diǎn)，則取值范圍是_。10 直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 。11 求直線被橢圓所截弦長(zhǎng)。12 點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。13 過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引弦，使被平分，求直線的方程。14 設(shè)橢圓方程，為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，、為橢圓上相異兩點(diǎn)，若總存在以為底邊的等腰，則直線的斜率的取值范圍是 A B C D解：設(shè)MN：，代入，得.由，得.又由，得.因?yàn)?，所以，將代入，得，代入，得，于?5 過點(diǎn)的直線與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且離心率為的橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線過線段的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，試求直線與橢圓的方程 解法一 由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1 右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直線l y=x過AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1 若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 16 設(shè)橢圓：（）過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上方法二設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即點(diǎn)總在定直線上17 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)（1）寫出C的方程；（2）若，求的值；（3）若點(diǎn)在第一象限，證明：當(dāng)時(shí)，恒有解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為 （2）設(shè)，其坐標(biāo)滿足 消去y并整理得，故 若，即而，于是，化簡(jiǎn)得，所以 （3） 因?yàn)锳在第一象限，故由知，從而又，故，即在題設(shè)條件下，恒有 18 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)（1）若，求的值；（2）求四邊形面積的最大值DFByxAOE（1）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為， 如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化簡(jiǎn)得，解得或 （2）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式知，點(diǎn)到的距離分別為， 又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為 解法二：由題設(shè)，設(shè)，由得，故四邊形的面積為 ，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)所以的最大值為 19 橢圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)是，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若直線繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有，求的取值范圍。 解法一：(1)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，因?yàn)镸NF為正三角形， 所以, 即1 因此，橢圓方程為 (2)設(shè) ()當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)， ()當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所以 因?yàn)楹阌校訟OB恒為鈍角. 即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2對(duì)mR恒成立.當(dāng)mR時(shí)，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二：（1）同解法一，（2）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x=1代入=1.因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即1,解得a或a.（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(