高等數(shù)學(xué)上_復(fù)旦大學(xué)出版_習(xí)題三答案.pdf

高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 63 習(xí)題三習(xí)題三 1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1 32 26187yxxx 解 所給函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù) 可導(dǎo) 且 2 612186 1 3 yxxxx 可得函數(shù)的兩個駐點 在內(nèi) 分別取 號 故知函數(shù)在 12 1 3xx 1 1 3 3 y 內(nèi)單調(diào)增加 在內(nèi)單調(diào)減少 1 3 1 3 2 8 2 0 yxx x 解 函數(shù)有一個間斷點在定義域外 在定義域內(nèi)處處可導(dǎo) 且 則函數(shù)有駐點 在0 x 2 8 2y x 2x 部分區(qū)間內(nèi) 在內(nèi) 0 故知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加 而在內(nèi)單調(diào)減少 0 2 0y 4 3 1 1 yxx 解 函數(shù)定義域為 則函數(shù)有駐點 在內(nèi) 2 2 1 21 yxx 1 1 2 xx 1 2 0y 5 e 0 0 nx yxnn 解 函數(shù)定義域為 0 11 eee nxnxxn ynxxxnx 函數(shù)的駐點為 在上 函數(shù)單調(diào)增加 在上 函數(shù)單調(diào)減少 0 xxn 0 n0y n 0y 在上 函數(shù)單調(diào)減少 1 11 2 18 0y 在內(nèi) 函數(shù)單調(diào)增加 2 0y 故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 1 2 1 11 2 18 11 18 2 證明下列不等式 1 當(dāng)時 0 2 x 證明 令則 sintan2 f xxxx 2 2 1cos coscos1 cos xxx fx x 當(dāng)時 為嚴格單調(diào)增加的函數(shù) 故 0 2 x 0 0f xf 即sin2tan2 xxx 2 當(dāng)時 01x 2 esin1 2 x x x 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 65 證明 令 則 2 esin1 2 x x f xx ecos x fxxx 則為嚴格單調(diào)減少的函數(shù) 故 即 esin1e sin1 0 xx fxxx fx 0 0fxf f x 為嚴格單調(diào)減少的函數(shù) 從而 即 0 0f xf 2 esin1 2 x x x 1x 1 2y 2 32 23yxx 解 令 得駐點 2 66yxx 0y 12 0 1xx 126yx 01 0 0 xx yy 故極大值為 極小值為 0 0y 1 1y 3 32 26187yxxx 解 2 612186 3 1 yxxxx 令 得駐點 0y 12 1 3xx 1212yx 13 0 0 xx yy 故極大值為 極小值為 1 17y 3 47y 4 ln 1 yxx 解 令 得駐點 1 10 1 y x 0y 0 x 故為極大值 2 0 1 0 1 x yy x 0 0y 5 42 2yxx 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 66 解 32 444 1 yxxxx 令 得駐點 0y 123 1 0 1xxx 2 10 124 0 0 xx yxyy 故為極大值 為極小值 1 1y 0 0y 6 1yxx 解 令 得駐點且在定義域內(nèi)有一不可導(dǎo)點 當(dāng)時 1 1 2 1 y x 0y 1 3 4 x 1 2 1x 3 4 x 當(dāng)時 故為極大值點 且極大值為 0y 3 4 x 1 3 4 x 35 44 y 因為函數(shù)定義域為 故不是極值點 1x 1x 7 2 13 45 x y x 解 令 得駐點 23 125 45 x y x 0y 12 5 x 當(dāng)時 當(dāng) 故極大值為 12 5 x 0y 12 5 x 121 205 510 y 8 2 2 344 1 xx y xx 解 2 1 3 1 x y xx 22 2 1 x x y xx 令 得駐點 0y 12 2 0 xx 22 23 22 1 2 21 2 1 xxxxxx y xx 20 0 0 xx yy 故極大值為 極小值為 0 4y 8 2 3 y 9 e cos x yx 解 e cossin x yxx 令 得駐點 0y 0 1 2 4 k xkk 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 67 2e sin x yx 2 21 44 0 0 xkxk yy 故為極大值點 其對應(yīng)的極大值為 2 2 4 k xk 2 4 2 2 e 2 k k y x 為極小值點 對應(yīng)的極小值為 21 21 4 k xk 21 4 21 2 e 2 k k y x 10 1 x yx 解 11 2 11ln ln xx x yxxx xx 令 得駐點 0y ex 當(dāng)時 當(dāng)時 ex 0y ex 故極大值為 1 e e ey 11 2ee xx y 解 令 得駐點 2ee xx y 0y ln2 2 x ln2 2 2ee 0 xx x yy 故極小值為 ln2 2 2 2 y 12 2 3 2 1 yx 解 無駐點 y的定義域為 且y在x 1 處不可導(dǎo) 當(dāng)x 1 時 當(dāng)x 1時 3 21 31 y x 0y 1 2y 13 1 3 32 1 yx 解 無駐點 y在處不可導(dǎo) 但恒小于 0 故y無極值 2 3 21 3 1 y x 1x y 14 tanyxx 解 y為嚴格單調(diào)增加函數(shù) 無極值點 2 1sec0yx 5 試證明 如果函數(shù)滿足條件 那么這函數(shù)沒有極值 32 yaxbxcxd 2 30bac 證明 令 得方程 2 32yaxbxc 0y 2 320axbxc 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 68 由于 那么無實數(shù)根 不滿足必要條件 從而y無極值 22 2 4 3 4 3 0ba cbac 0y 6 試問a為何值時 函數(shù)在處取得極值 它是極大值還是極小值 并求此極 1 sinsin3 3 f xaxx 3 x 值 解 f x 為可導(dǎo)函數(shù) 故在處取得極值 必有 3 x 得a 2 3 0 coscos3 3 x faxx 又 3 30 2sin3sin3 3 x fxx 所以是極大值點 極大值為 3 x 3 3 f 7 求下列函數(shù)的最大值 最小值 2 54 1 0 f xxx x 解 y的定義域為 得唯一駐點x 3 0 3 2 2 27 0 x y x 且當(dāng)時 y單調(diào)遞減 當(dāng)時 y單調(diào)遞增 3 x 0y 因此x 3 為y的最小值點 最小值為f 3 27 又 故f x 無最大值 lim x f x 2 1 5 1 f xxxx 解 在上得唯一駐點 1 10 2 1 y x 5 1 3 4 x 又 53 1 1 5 65 44 yyy 故函數(shù)在 5 1 上的最大值為 最小值為 f x 5 4 65 42 3 82 13yxxx 解 函數(shù)在 1 3 中僅有兩個駐點x 0 及x 2 而y 1 5 y 0 2 y 2 14 y 3 11 故在 1 3 上 函數(shù)的最大值是 11 最小值為 14 8 設(shè)a為非零常數(shù) b為正常數(shù) 求y ax2 bx在以 0 和為端點的閉區(qū)間上的最大值和最小值 b a 解 得不可能屬于以 0 和為端點的閉區(qū)間上 20yaxb 2 b x a b a 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 69 而 2 2 0 0 bb yy aa 故當(dāng)a 0 時 函數(shù)的最大值為 最小值為 2 2bb y aa 0 0y 當(dāng)a 1000 0y 0 試證 的最大值為 11 11 f x xxa 2 1 a a 證明 11 0 11 11 0 11 11 11 x xxa f xxa xxa xa xxa 當(dāng)x 當(dāng) 0 xa時 22 11 0 11 fx xxa 又 且 lim 0 x f x 2 0 1 a ff a a 而的最大值只可能在駐點 分界點 及無窮遠點處取得 f x 故 max 242 0 121 aa f x aaa 11 在半徑為r的球中內(nèi)接一正圓柱體 使其體積為最大 求此圓柱體的高 解 設(shè)圓柱體的高為h 則圓柱體底圓半徑為 2 2 4 h r 2 2 23 2 4 4 h Vhr hh r 令 得0V 2 3 3 hr 即圓柱體的高為時 其體積為最大 2 3 3 r 12 某鐵路隧道的截面擬建成矩形加半圓形的形狀 如 12 題圖所示 設(shè)截面積為am2 問底寬x為多少時 才能使所用建造材料最省 解 由題設(shè)知 2 1 22 x xya 得 2 1 1 8 8 ax a yx xx 截面的周長 2 12112 2 2424 2 1 4 aa l xxyxxxxxx xx a l x x 令得唯一駐點 即為最小值點 0l x 8 4 a x 即當(dāng)時 建造材料最省 8 4 a x 13 甲 乙兩用戶共用一臺變壓器 如 13 題圖所示 問變壓器設(shè)在輸電干線 AB 的何處時 所需電線最短 解 所需電線為 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 71 222 22 22 11 5 3 03 2 25 3 3 1 1 2 25 3 L xxxx xxxx L x xx 在 0 x 3 得唯一駐點x 1 2 km 即變壓器設(shè)在輸電干線離 A 處 1 2km 時 所需電線最短 14 在邊長為a的一塊正方形鐵皮的四個角上各截出一個小正方形 將四邊上折焊成一個無蓋方盒 問截去 的小正方形邊長為多大時 方盒的容積最大 解解 設(shè)小正方形邊長為x時方盒的容積最大 2322 22 2 44 128 Vaxxxaxa x Vxaxa 令得駐點 不合題意 舍去 0V 2 a x 6 a x 即小正方形邊長為時方盒容積最大 6 a 15 判定下列曲線的凹凸性 1 y 4x x2 解 故知曲線在內(nèi)的圖形是凸的 42 20yx y 0 x 0y 解 故曲線圖形在是凹的 23 12 1 0yy xx 0 4 y xarctanx 解 2 arctan 1 x yx x 22 2 0 1 y x 故曲線圖形在內(nèi)是凹的 16 求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間 32 1 535yxxx 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 72 解 2 3103yxx 令可得 610yx 0y 5 3 x 當(dāng)時 故曲線在內(nèi)是凸弧 5 3 x 0y 0y 5 3 因此是曲線的唯一拐點 5 20 3 27 2 y xe x 解 1 e e 2 xx yxyx 令 得x 20y 當(dāng)x 2 時 即曲線在內(nèi)是凹的 0y 2 當(dāng)x 2 時 即曲線在內(nèi)是凸的 0y 故函數(shù)的圖形在內(nèi)是凹的 沒有拐點 4 y ln x2 1 解 2 222 22 1 1 1 xx yy xx 令得x 1 或x 1 0y 當(dāng) 1 x 當(dāng)x 1 或x 1 時 即在內(nèi)曲線是凸的 0y 0y 1 2 當(dāng)時 即曲線在內(nèi)是凹的 1 2 x 1 2 故有唯一拐點 1 arctan 2 1 e 2 6 y x4 12lnx 7 解 函數(shù)y的定義域為 0 且在定義域內(nèi)二階可導(dǎo) 32 4 12ln4 144ln yxxyxx 令 在 0 得x 1 0y 當(dāng)x 1 時 即曲線在內(nèi)是凹的 0y 1 當(dāng) 0 x 1 時 即曲線在 0 1 內(nèi)是凸的 0y 證明 令 n f xx 12 1 0 nn fxnxfxn nx 則曲線y f x 是凹的 因此 x yR 22 f xf yxy f 即 1 22 n nn xy xy 證明 令f x ex e e0 xx fxfx 則曲線y f x 是凹的 x yRxy 則 22 f xf yxy f 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 74 即 2 ee e 2 xyxy 證明 令f x xlnx x 0 1 ln1 0 0 fxxfxx x 則曲線是凹的 x y 有 yf x x yR 22 f xf yxy f 即 1 ln lnln 222 xyxy xxyy 18 求下列曲線的拐點 23 1 3 xtytt 解 222 23 d33d3 1 d2d4 ytyt xtxt 令 得t 1 或t 1 2 2 d 0 d y x 則x 1 y 4 或x 1 y 4 當(dāng)t 1 或t 當(dāng) 0 t 1 或 1 t 0 時 曲線是凸的 2 2 d 0 d y x 0 不失一般性 當(dāng)時 即時 3tan3 33 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 75 當(dāng)或時 即或時 tan3 tan3 3 2 2 d 0 d y x 故當(dāng)參數(shù)或時 都是y的拐點 且拐點為及 3 3 2 33 32 aa 2 33 32 aa 19 試證明 曲線有三個拐點位于同一直線上 2 1 1 x y x 證明 2 22 21 1 xx y x 23 2 1 23 23 1 xxx y x 令 得0y 1 23 23xxx 當(dāng)時 1 x 0y 當(dāng)時 23 23 x 0y 因此 曲線有三個拐點 1 1 1313 23 23 44 因為 0 111 13 123 4 13 123 4 因此三個拐點在一條直線上 20 問a b為何值時 點 1 3 為曲線y ax3 bx2的拐點 解 y 3ax2 2bx y 6ax 2b 依題意有 3 620 ab ab 解得 39 22 ab 21 試決定曲線y ax3 bx2 cx d中的a b c d 使得x 2 處曲線有水平切線 1 10 為拐點 且點 2 44 在曲線上 解 令f x ax3 bx2 cx d 聯(lián)立f 2 44 f 2 0 f 1 10 f 1 0 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 76 可解得a 1 b 3 c 24 d 16 22 試決定中的k的值 使曲線的拐點處的法線通過原點 22 3 yk x 解 22 4 3 12 1 ykx xyk x 令 解得x 1 代入原曲線方程得y 4k 0y 只要k 0 可驗證 1 4k 1 4k 是曲線的拐點 那么拐點處的法線斜率等于 法線方程為 1 8 x ky 1 8k 1 8 yx k 由于 1 4k 1 4k 在此法線上 因此 得 舍去 1 4 8 k k 22 321 321kk 故 12 832 k 23 設(shè)y f x 在x x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 如果 而 試問x x0 00 0 0fxfx 0 0fx 是否為極值點 為什么 又是否為拐點 為什么 00 xf x 答 因 且 則x x0不 是 極 值 點 又 在中 00 0fxfx 0 0fx 0 U x 故在左側(cè) 與異號 在右側(cè) 與 000 fxfxxxfxxf fx 0 x 0 fx 0 x 同號 故在x x0左 右兩側(cè)凹凸性不同 即是拐點 0 fx f x 00 xf x 24 作出下列函數(shù)的圖形 2 1 1 x f x x 解 函數(shù)的定義域為 且為奇函數(shù) 222 2222 2 23 121 1 1 2 3 1 xxx y xx x x y x 令 可得 0y 1x 令 得x 0 0y 3 列表討論如下 當(dāng)x 時 y 0 故y 0 是一條水平漸近線 x0 0 1 1 1 3 3 3 y 0 y 0 0 y0極大拐點 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 77 函數(shù)有極大值 極小值 有 3 個拐點 分別為 0 0 1 1 2 f 1 1 2 f 3 3 4 作圖如上所示 3 3 4 2 f x x 2arctanx 解 函數(shù)定義域為 且為奇函數(shù) 2 22 2 1 1 4 1 y x x y x 令y 0 可得x 1 令y 0 可得x 0 列表討論如下 又 2 limlim 1arctan 1 xx f x x xx 且lim lim 2arctan xx f xxx 故是斜 漸近 線 由對稱 性知亦是 漸近 線 函數(shù) 有極 小值 極 大值 yx yx 1 1 2 y 0 0 為拐點 作圖如上所示 1 1 2 y 2 3 1 x f x x 解 函數(shù)的定義域為 1xR x 2 22 3 2 1 2 1 1 1 2 1 xxxx x yx xx y x 令得x 0 x 20y 當(dāng)時 單調(diào)增加 2 x 0 yf x 當(dāng)時 單調(diào)減少 2 1 x 0 yf x x0 0 1 1 1 y 0 y 0 y0極小 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 78 當(dāng)時 單調(diào)減少 1 0 x 0 yf x 故函數(shù)有極大值f 2 4 有極小值f 0 0 又 故x 1 為無窮型間斷點且為鉛直漸近線 2 11 lim lim 1 xx x f x x 又因 且 lim1 x f x x 2 lim lim1 1 xx x f xx x x 故曲線另有一斜漸近線y x 1 綜上所述 曲線圖形為 4 2 1 e x y 解 函數(shù)定義域為 2 2 1 1 2 2 1 e e2 241 x x yx yxx 令 得x 1 0y 令 得 0y 2 1 2 x 當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)增加 1 x 0 y 當(dāng)時 函數(shù)單調(diào)減少 1 x 0 y 當(dāng)時 曲線是凸的 22 1 1 22 x 0y 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 79 故函數(shù)有極大值f 1 1 兩個拐點 11 22 22 1 e 1 e 22 AB 又 故曲線有水平漸近線y 0 lim 0 x f x 圖形如下 25 邏輯斯諦 Logistic 曲線族 0 1e cx A yxA B C B 建立了動物的生長模型 1 畫出B 1 時的曲線的圖像 參數(shù)A的意義是什么 設(shè)x表示時間 y表示某種動物數(shù)量 1e cx A g x 解 g x 在 內(nèi)單調(diào)增加 2 e 0 1e cx cx Ac g x 2222 44 ee2 1e ee 1e 1e 1e cxcxcxcxcxcx cxcx AcAcAc gx 當(dāng)x 0 時 在 0 內(nèi)是凸的 0 gxg x 當(dāng)x 當(dāng)x 0 時 2 A g x 且 故曲線有兩條漸近線y 0 y A 且A為該種動物數(shù)量 在特定環(huán)境中 最大值 lim 0 lim xx g xg xA 即承載容量 如圖 2 計算g x g x 并說明該和的意義 解 1e1e cxcx AA gxg xA 3 證明 曲線是對g x 的圖像所作的平移 1e cx A y B 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 80 證明 1e1ee c x TcxcT AA y BB 取 得e1 cT B lnB T c 即曲線是對g x 的圖像沿水平方向作了個單位的平移 1e cx A y B lnB T c 26 球的半徑以速率v改變 球的體積與表面積以怎樣的速率改變 解 32 4d 3d r VrArv t 2 ddd 4 ddd ddd 8 ddd VVr rv trt AAr r v trt 27 一點沿對數(shù)螺線運動 它的極徑以角速度旋轉(zhuǎn) 試求極徑變化率 ear 解 ddd ee ddd aa rr aa tt 28 一點沿曲線運動 它的極徑以角速度旋轉(zhuǎn) 求這動點的橫坐標與縱坐標的變化率 2 cosra 解 2 2 cos 2 cossinsin2 xa yaa ddd 22cos sin 2sin2 ddd ddd 2 cos22cos ddd xx aa tt yy aa tt 29 橢圓上哪些點的縱坐標減少的速率與它的橫坐標增加的速率相同 22 169400 xy 解 方程兩邊同時對t求導(dǎo) 得 22 169400 xy dd 32180 dd xy xy tt 由 得 dd dd xy tt 16 1832 9 yxyx 代入橢圓方程得 2 9x 16 3 3 xy 即所求點為 1616 3 3 33 30 一個水槽長 12m 橫截面是等邊三角形 其邊長為 2m 水以 3m3 min 1的速度注入水槽內(nèi) 當(dāng)水深 0 5m 時 水面高度上升多快 解 當(dāng)水深為h時 橫截面為 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 81 2 1 2 233 hh sh 體積為 2 22 12 124 3 33 h Vshhh dd 4 3 2 dd Vh h tt 當(dāng)h 0 5m 時 31 d 3mmin d V t 故有 d 34 3 2 0 5 d h t 得 m min 1 d3 d4 h t 31 某人走過一橋的速度為 4km h 1 同時一船在此人底下以 8 km h 1的速度劃過 此橋比船高 200m 求 3min 后 人與船相離的速度 解 設(shè)t小時后 人與船相距s公里 則 2222 2 4 8 0 2 800 04 d80 d 800 04 sttt st t t 且 km h 1 1 20 20d 8 16 d6 t s t 32 一動點沿拋物線y x2運動 它沿x軸方向的分速度為 3 cm s 1 求動點在點 2 4 時 沿y軸的分速度 解 ddd 236 ddd yyx xx txt 當(dāng)x 2 時 cm s 1 d 6 212 d y t 33 設(shè)一路燈高 4 m 一人高m 若人以 56 m min 1的等速沿直線離開燈柱 證明 人影的長度以常速增 5 3 長 證明 如圖 設(shè)在t時刻 人影的長度為ym 則 5 3 456 y yt 化簡得 m min 1 d 7280 40 40 d y ytyt t 即人影的長度的增長率為常值 34 計算拋物線y 4x x2在它的頂點處的曲率 解 y x 2 2 4 故拋物線頂點為 2 4 當(dāng)x 2 時 0 2yy 高等數(shù)學(xué)上 復(fù)大版 習(xí)題三 82 故 23 2 2 1 y k y 35 計算曲線y cos