量子力學 中科大課件 Q11講稿 第十一章 含時問題與量子躍遷.doc

第三部分 開放體系問題第十一章含時問題與量子躍遷本章討論量子力學中的時間相關現(xiàn)象。它們包括：含時問題求解的一般討論、含時微擾論、量子躍遷也即輻射的發(fā)射和吸收問題。如果說，以前各章主要研究量子力學中的穩(wěn)態(tài)問題，本章則專門討論非穩(wěn)態(tài)問題。根據(jù)第五章中有關敘述，由于我們所處時空結(jié)構(gòu)的時間軸固有的均勻性，孤立量子體系的Hamilton量必定不顯含時間，從而遵守不顯含時間的Schrdinger方程。因此，這里含時Schrdinger方程所表述的量子體系必定不是孤立的量子體系，而是某個更大的可以看作孤立系的一部分，是這個孤立系的一個子體系。當這個子體系和孤立系的其他部分存在著能量、動量、角動量、甚至電荷或粒子的交換時，便導致針對這個子體系的各類含時問題。在了解本章（以及下一章）內(nèi)容的時候，有時需要注意這一點。11.1含時Schrdinger方程求解的一般討論1,時間相關問題的一般分析量子力學中，時間相關問題可以分為兩類：i,體系的Hamilton量不依賴于時間。這時，要么是散射或行進問題，要么是初始條件或邊界條件的變化使問題成為與時間相關的現(xiàn)象?！靶羞M問題”例如，中子以一定的自旋取向進入一均勻磁場并穿出，這是一個自旋沿磁場方向進動的時間相關問題； “初始條件問題”比如，波包的自由演化，這是一個與時間相關的波包彌散問題。更一般地說，初態(tài)引起的含時問題可以表述為：由于Hamilton量中的某種相互作用導致體系初態(tài)的不穩(wěn)定。例如Hamilton量中的弱相互作用導致初態(tài)粒子的衰變等； 最后，“邊界條件變動”也能使問題成為一個與時間相關的現(xiàn)象。例如阱壁位置隨時間變動或振蕩的勢阱問題等。ii,體系的Hamilton量依賴于時間。這比如，頻率調(diào)制的諧振子問題或是時間相關受迫諧振子問題，交變外電磁場下原子中電子的狀態(tài)躍遷問題等等。如果問題允許有精確的、解析的解，就稱相應的Hamilton量為可積的，相應系統(tǒng)為可積體系。所謂“解是精確的”是指，所求的波函數(shù)能夠被表述為解析的形式或是一個積分 含時問題精確求解的論述可參見M. Kleber，Exact Solutions for Time-dependent Phenomena in Quantum Mechanics， Phys. Reports， 236，No.6 (1994)。情況和經(jīng)典力學相似，在量子力學中，時間相關可積體系比定態(tài)可積系統(tǒng)更少。絕大多數(shù)時間相關問題只能以各種近似方法求解。由于課程所限，這里只敘述時間相關的一部分問題和某些基本的近似方法。2,含時系統(tǒng)初始衰變率的一個普遍結(jié)論現(xiàn)在研究的問題可以一般地提為 (11.1)注意，通常情況是，不同時刻的可能彼此不對易，因而，時間演化算符不存在如下簡明緊湊的形式 于是，解也就不能寫成這種簡明緊湊的形式。含時量子體系問題的類型和相關計算都很復雜，但卻存在一個共同的普遍結(jié)論。定義：任意不穩(wěn)定量子體系演化到時刻初態(tài)仍存活著，而不衰變(或不躍遷)的概率可定義為 (11. 2)可以證明：任何不穩(wěn)定量子體系在初始時刻的衰變(或躍遷)的速率必定為零： （11. 3）證：由于 和 于是令取極限，即得（11. 3）式。 由于這是含時體系的一個普遍結(jié)論，當然也是下面各類含時微擾論的共同特征。表面上看，這里的量子力學結(jié)論（11. 3）式和放射源的負指數(shù)衰變的統(tǒng)計規(guī)律是互相抵觸的（初始衰變速率是）。然而，后者描述的是處于統(tǒng)計平衡的量子系綜（“在時間上先先后后”被制備出的大量同一種不穩(wěn)定粒子），因而在時間內(nèi)的衰變數(shù)必定正比于當時的粒子數(shù)，并且“可以認為”比例系數(shù)與無關（因為有各種存活“年令”的不穩(wěn)定粒子均衡混合著）。這樣一來，對t積分自然就得到負指數(shù)的統(tǒng)計衰變規(guī)律；而（11. 3）式是指“在同一時刻”被制備出的、因而具有同一存活年令的、大量同一種不穩(wěn)定粒子的衰變規(guī)律。兩者所研究的量子系綜不同，并不相互矛盾。3,衰變體系長期衰變規(guī)律的一個分析 本段內(nèi)容可見L. Fonda，G.C. Ghirardi and A. Rimini，Decay Theory of Unstable Quantum Systems，Rep. Prog. Phys.，Vol. 41，587 (1978)。和上面初始時刻衰變特性偏離負指數(shù)相呼應，下面證明，體系初態(tài)的衰變概率曲線當時也將偏離負指數(shù)規(guī)律。假定所研究的不穩(wěn)定體系是個孤立系，它初態(tài)的衰變完全由于內(nèi)部相互作用所致。于是Hamilton量將不顯含，并且有如記，到時刻初態(tài)的存活概率即為。我們假定，Hamilton量的能譜有一個下限。這個假定從物理上看是合理的，因為由于躍遷(特別是自發(fā)躍遷)的存在，沒有這個下限的量子系統(tǒng)將會因為不斷地向下躍遷、不斷地釋放能量而最終坍縮掉，從而失去研究的價值。設的本征函數(shù)族為，這里表示（除能量外的）標記能量本征態(tài)所必須的另一些量子數(shù)。于是 ，這里 . 。顯然有由于的這個絕對可積性質(zhì)，可以直接引用富里葉變換理論中的Riemann-Lebesque定理 參見，例如，河田龍夫著，富里哀變換與拉普拉斯變換，(現(xiàn)代應用數(shù)學叢書)，第三頁，上?？茖W技術出版社，1961年。，得知不但如此，根據(jù)富里葉變換理論中的Payley和Wiener定理 出處見前注中Fonda文章的參考文獻，為Payley和Wiener合著的書：復數(shù)域中的富里葉變換，美國羅德島州，普諾未登斯，美國數(shù)學學會，第18頁，定理12。：如果A(t)的富里葉變換像函數(shù)（）在某個下限頻率以下恒為零（現(xiàn)在在能譜下限以下恒為零），則A(t)必定滿足于是，若要此積分當時收斂，必須有這里、為某兩個常數(shù)并且；另一方面，由于，相應是負值，最后得 (11.4)這個結(jié)果表明，量子體系存在基態(tài)要求：在長的衰變時間下，不衰變概率必定偏離負指數(shù)規(guī)律，并且要慢于負指數(shù)的衰減。4,量子Zeno效應存在性的理論論證理論研究發(fā)現(xiàn) 這個純量子效應最早在理論上由Sudarshan等人提出，參見J. Math. Phys.，18，756 (1977)； Phys. Rev. D，16，520 (1977)。相關論述很多，這里改進的簡化論述取自 Y.D. Zhang，J.W. Pan and H. Rauch，Some Studies about Quantum Zeno Effects， 此文收在Fundamental Problems in Quantum Theory， edited by D.M. Greenberger and A. Zeilinger， Annals of the New York Academy of Sciences，Vol. 755，353 (1995)。，頻繁地對一個不穩(wěn)定體系進行量子測量將會抑制或阻止它的衰變(或躍遷)。極端而言，連續(xù)的量子測量將使不穩(wěn)定體系穩(wěn)定地保持在它的初態(tài)上，完全不發(fā)生衰變或躍遷。這種不穩(wěn)定初態(tài)的存活概率隨測量頻度的增加而增加的現(xiàn)象就是量子Zeno效應。根據(jù)上面的推導并結(jié)合下面敘述可以看到，這種效應其實就是量子測量理論和方程的一個直接推論，是一種完全不存在經(jīng)典對應的純量子現(xiàn)象。應當強調(diào)指出，這里的量子測量是完整意義上的量子測量，也即第一章中所論述的那一類可以分解為譜分解、隨機坍縮和初態(tài)演化三個階段的量子測量。設一個含時量子體系的初態(tài)為，按上面Riemann-Lebesque定理，隨著這個不穩(wěn)定體系的演化，其初態(tài)的存活概率將越來越小。當然，這個按它的物理含義應當只適用于，自開始演化之后，直到時刻才執(zhí)行檢驗初態(tài)存活與否的量子測量，在時間間隔內(nèi)不再進行任何這類量子測量?，F(xiàn)在問，如果在之間再附加以若干次這類量子測量，上面意義下的這個實測值會不會發(fā)生變化? 下面根據(jù)量子測量理論所作的分析表明，的實測值應當增加。具體如下：將區(qū)間等分為份，在每一時刻進行一次量子測量，以確認體系是否仍處在上。按上面關于含義的敘述，第一次在時刻測量時，初態(tài)存活概率為，按測量理論，除衰變或躍遷的已經(jīng)不予計入了以外，剩下的這部分將坍縮成為初態(tài)，并以此時刻為初始時刻再次重新開始演化，演化到時刻，再次作類似測量，于是，經(jīng)兩次測量后到時刻，總計的初態(tài)存活概率成為。如此繼續(xù)推論下去，最后可得：在內(nèi)經(jīng)受次測量后，初態(tài)的存活概率為當足夠大時足夠小，可將展開并保留到一階項如果令，就過渡到在內(nèi)為連續(xù)測量的理想極限情況。設這時存活概率為，有注意(11.3)式：，最后得到 (11.5)即當一個不穩(wěn)體系經(jīng)受連續(xù)量子測量時，將一直處于它的初態(tài)而不發(fā)生(本應發(fā)生的)衰變或躍遷。當然，盡管連續(xù)測量在原則上是存在的，但實驗上常常不易實現(xiàn)，因此用實驗檢驗這一效應存在與否時，只需做到：對于給定的區(qū)間，用實驗檢驗存活概率的如下不等式即可，這里應當指出兩點：其一，最近有論文表明，如果測量頻度在一定范圍內(nèi)，也可以造成反量子Zeno效應加速衰變的效應，具體要看衰變曲線的形狀決定。但此處推導已經(jīng)表明，不論衰變曲線的形狀如何，只要測量的頻度夠密，最終結(jié)果是反量子Zeno效應將消失，總歸是量子Zeno效應。其二，以上關于量子測量及相關的討論當然是理想化的、概念性的。盡管如此，上面敘述還是足以令人相信：量子Zeno效應揭示，在量子測量過程中時間實際上是停滯了。就是說，測量導致量子體系演化時間的塌縮 R。Coveney，et。al。，時間之箭， 第一推動叢書，江濤，向守平譯，湖南科學技術出版社，1995。！這一深邃而難以捉摸的現(xiàn)象竟然直接蘊含在量子理論的公設，特別是第三、第四這兩個公設之中，這是讓人興奮而又令人費解的。5,相互作用圖象中的處理Hamilton量中含時項往往只是一小部分，就是說含時項中含有一個小參數(shù)，于是有可能將含時Hamilton量分解成為一個不含時而且本征值本征矢量為已知的部分，加上一項含時的難于解析處理的部分。即常常（并不總是）能夠?qū)⒈硎緸?(11.6)這時，對Schrdinger方程作幺正變換（這就是常說的轉(zhuǎn)入相互作用圖象），記于是有完成左邊時間微商，即得相互作用圖象下的Schrdinger方程， (11.7)由于減除了的直接作用，方程(11.7)中態(tài)矢隨時間的導數(shù)將和相互作用中小參數(shù)成正比。這個特點極便于對方程作逐級近似，這正是這個圖象的優(yōu)點。將(11.7)式及初條件合并寫成積分方程， (11.8)通常采用迭代法求解這個積分方程（將上一級近似解代入方程右邊積分號下，按右邊計算出這一級的近似解，再代入積分號下求下一級近似解，等等）。從開始如此迭代，展開后即得(11.9)這里右邊各項分別包含了的零次冪、一次冪、二次冪、等等。由于算符正比于中所含的小參數(shù)，大括號內(nèi)各項即成為關于這個小參數(shù)的冪級數(shù)展開式，很便于作各級近似下的截斷處理。這正是由于(11.7)式是從原先Hamilton量中經(jīng)幺正變換消減去了（加在上的）主要部分的緣故。注意，一般與不對易，因此即便不含時，也總會含時。 舉個例子。設，其中含有小參量，可當作微擾。于是記，轉(zhuǎn)入相互作用圖象，即引進變換即得相互作用圖象中態(tài)矢運動的Schrdinger方程利用(5.79)式，算出右邊的變換，得這里。當不是的實函數(shù)時，此方程不易解析求解。這時便可利用上面迭代所得的級數(shù)展開近似求解， 注意這里積分號內(nèi)的算符和并不依賴于時間。6,受迫振子計算 和經(jīng)典理論的情況相似，受迫振子模型在量子理論，特別是在量子場論、量子光學、固體理論中有廣泛的應用。受迫振子是指一個受含時外力作用的諧振子，更一般地，還可以受一個與速度成正比的阻尼力的作用。此體系的Hamilton量為 （11.10）這里和為兩個實函數(shù)。轉(zhuǎn)入Fock空間并利用量子變換來解決這一含時問題。為此先作變換（參見第五章相干態(tài)敘述）這里是玻色子。于是得 （11.11）對此波色子作平移變換，其中復數(shù)是的待定函數(shù)，即將此變換引入現(xiàn)在的問題：得到 （11.12）由于于是可得 （11.13）現(xiàn)在，選取待定函數(shù)，使它滿足如下方程和初條件：按一階線性非齊次微分方程通解表達式，可求得為于是原先方程變換成為對的如下簡單可解的方程： （11.14）求積此方程，最后得到的解為： （11.15）這里，乘積的具體結(jié)果要視如何而定。例如，若，則是參數(shù)的相干態(tài)。這時進一步計算可將中間因子化為正規(guī)乘積形式，向右抽出含湮滅算子的乘子，作用到其后的并取出值，如此化簡之后，已經(jīng)容易直接計算下去。7,變頻振子計算隨時間變化振子也是量子理論中一個重要的含時模型，Hamilton量為 （11.16）嚴格求解這一問題可用廣義線性量子變換理論（GLQT） GLQT是Y.D. Zhang以及Z. Tang, S.X. Yu, L. Ma, J.W. Pan 和X.W. Xu等人的工作，其中部分文章為： J. of Math. Phys., Vol. 34, 5639 (1993); Nuovo Cimento, 109 B, 387 (1994); Commun. Theor. Phys., Vol. 24, 185 (1995); J. Phys. A: Math. Gen., Vol. 27, 6563 (1994); Commun. Theor. Phys., Vol. 27, 87 (1997); Phys. Rev. E, Vol. 56, 2553 (1997); Chin. Phys. Lett., Vol. 14, 812 (1997); Chin. Phys. Lett., Vol. 14, 241 (1997); Acta Physica Sinica, Vol. 48, 37 (1999)。本節(jié)敘述即取自這里最后一篇文章。按GLQT，可以假定將此含時量子體系的時間演化算符取為 （11.17）這時涉及的待定參量一共有四個：、，它們均為時間的實函數(shù)，且。符號“”表示對算符和取正規(guī)順序，即算符在乘積的左邊而在乘積的右邊，如，等等。由于（?。?，GLQT給出這種滿足以下變換關系式， （11.18）展開即為將代入Schrdinger方程，得因為初條件是任意的，從等式兩邊將其刪去，即得算符方程：，或 （11.19）考慮到算符已取為正規(guī)乘積形式，因此可將時間導數(shù)運算直接送入的正規(guī)乘積號之內(nèi)，按普通求導方式計算。將的表達式代入此算符方程，并注意變換關系式及，即可得到 （11.20）于是，對于給定的和所列的初條件，求解此四個系數(shù)函數(shù)，和的微分方程，然后將它們代入表達式，即得到解為相應的波函數(shù)為 （11.21）這里是給定的初態(tài)波函數(shù)。利用積分公式不難算出這個對的積分，最后得到 （11.22）11.2時間相關微擾論與量子躍遷1,含時擾動及量子躍遷的概念體系的Hamilton量原來為，自某一時刻（）起經(jīng)受一擾動，總Hamilton量成為。這時可按與時間是否有關而區(qū)分為兩種情況：第一，若與時間無關，要么是個定態(tài)微擾論問題，即定態(tài)波函數(shù)及其本征值的修正問題；要么屬于定態(tài)框架下的散射或躍遷問題，這看問題的提法及初態(tài)情況而定。與此相應，作為展開基矢的本征函數(shù)族，原則上既可選的也可以選擇的，但通常情況是的本征函數(shù)族難于求解，只能采用的本征函數(shù)族作為展開基矢。第二，若與時間有關，則是個非定態(tài)問題。體系能量已不再守恒，狀態(tài)波函數(shù)的概率分布一般會隨時間變化。此時只能選擇的本征函數(shù)族作為展開基矢。這里應當注意的是，用本征函數(shù)族對含時問題的未知態(tài)展開時，展開式系數(shù)應當與時間有關，是“變系數(shù)展開”： 于是 （11.23）從而，演化到時刻，系統(tǒng)處于態(tài)的概率為 (11.24)詳細些說就是，體系在時刻處于初態(tài)，經(jīng)受在（）時間段內(nèi)擾動，至時刻體系躍遷到的態(tài)的量子躍遷概率。2,量子躍遷系數(shù)基本方程組及其一階近似現(xiàn)在，根據(jù)上面變系數(shù)展開法具體地近似計算量子躍遷概率。由相互作用表象中態(tài)矢的方程(11.8)兩邊作用以，并在積分號下中間插入的完備性關系，得到為便于一般性考慮，將剛加上擾動的時刻改記為，上式成為(11.25)這里，。這里既可以是有限值，也可以為無限遠的過去（）。研究(11.25)式一個特殊情況。如果時刻體系處在的一個本征態(tài)上，在（）時間段內(nèi)經(jīng)受擾動，到時刻的躍遷系數(shù)方程組為 (11.26)這里已經(jīng)將向態(tài)的躍遷系數(shù)由改記為，以表示是由態(tài)出發(fā)的躍遷。對于發(fā)生躍遷()的情況，有 （11.27）相應的躍遷概率為如果體系初始時刻處于混態(tài)這里，即體系分別以的概率（而不是概率幅）處于態(tài)上，則向態(tài)(全部)的躍遷概率為 積分方程組(11.27)式是研究量子躍遷問題的基本方程組。為具體求解，假定含有一個可以看作小量的參數(shù)，于是就可以對這個方程組作逐階迭代近似。最簡單的一階近似是將方程組右邊積分號下的未知系數(shù)代以零階近似的。由此即得方程組左邊躍遷系數(shù)的一階近似值（）顯然，這里的敘述也可以應用于。此時如假定與無關而將積分積出，由方程(11.26)得 ,當值夠大時，會出現(xiàn)不合理情況。由這種分析可知，此處所做近似應當要求對角矩陣元對時間的積分值很小雖然積分時間間隔比大很多。， （11.28）由此得知，只在區(qū)間內(nèi)有擾動，在以外都撤除（當然，前面已說過，、也可以分別假定為和)的情況下，從至時刻系統(tǒng)自態(tài)躍遷到態(tài)的躍遷概率為 (11.29)（11.29）式是一階近似下討論造成的量子躍遷問題的出發(fā)點。注意，只要積分區(qū)間比大很多，積分上下限便可近似取為。由于在區(qū)間之外已撤除，此處富里葉積分在上下限處是收斂的。附帶指出，這里的表達式顯然滿足前面的普遍結(jié)論。11.3幾種常見含時微擾的一階近似計算1,常微擾假定微擾與時間無關，并且按體系特征時間尺度衡量，是在足夠長時間內(nèi)加在系統(tǒng)上。這時，按上面一階近似所得方程(11.29)，單位時間內(nèi)體系從態(tài)躍遷向態(tài)的概率 (即躍遷速率)為即 (11.30)這里（量綱為）只涉及兩個單態(tài)之間的躍遷。其中表示能量守恒，度量造成的在態(tài)和之間的躍遷強度。出現(xiàn)能量函數(shù)說明，這時所有使能量改變的躍遷都是不可能的。若向連續(xù)態(tài)躍遷(比如，在靜電場擾動之下原子電離)，設內(nèi)有態(tài)數(shù)目，其中為附近單位能量間隔內(nèi)末態(tài)的態(tài)密度。則單位時間內(nèi)向附近的連續(xù)末態(tài)躍遷的概率 (11.31)這個公式很有用，所以Fermi稱它為“2號黃金規(guī)則 L.I. 席夫，量子力學， 第327頁，人民教育出版社，1982，李淑嫻，陳崇光譯?！薄ｊP于末態(tài)態(tài)密度的計算，參見后面光電效應中（11.53）式的推導。2,周期微擾設微擾呈周期變化，即 （11.32）這里與無關。于是當充分大時，由于，方括號中第一個-函數(shù)表示電子向下躍遷并向擾動電磁場放出光子； 第二個-函數(shù)表示電子從擾動電磁場吸收光子并向上躍遷。若假定是后者，由，即得單位時間內(nèi)由態(tài)的躍遷速率為 (11.33)注意此結(jié)果和常微擾很相象，只是-函數(shù)中多了項。這表明，周期變化的電磁場可以看作該頻率的一束光子，量子躍遷系數(shù)的一階近似只考慮（該頻率）光子的單光子吸收和單光子發(fā)射。就是說，對真實物理過程作了單光子近似。11.4不撤除的微擾1,不撤除微擾的一般敘述現(xiàn)在考慮這一類微擾：，有限。就是說，在上加上含時微擾之后就一直持續(xù)下去不再撤除。這當然包括了在某個時刻突然加在體系上并一直不變地持續(xù)下去的所謂Sudden微擾這一特殊情況。這時上一節(jié)的基本公式不適用。因為在處不為零，積分在上限處急劇振蕩而不確定。這種不確定現(xiàn)象可以用如下辦法繞過去：將理解成由兩部分所組成：和。于是第一項相應于定態(tài)微擾，而第二項則引起量子躍遷。數(shù)學上相應于對實施分部積分(設)，即 （11.34）于是 （11.35）這里右邊第一項是在無限緩慢變化條件下，到時刻，擾動對初態(tài)的一階定態(tài)微擾修正。而在處它正是本征態(tài)的一階近似表示。它描述了原先態(tài)的靜態(tài)變形，并不涉及狀態(tài)之間的動態(tài)量子躍遷。第二項包含所有與初態(tài)不同的狀態(tài)，積分上限含時，表示量子躍遷。此時的躍遷概率為(11.36)2,特例之一 Sudden微擾對于時刻突然加上的常微擾，為時刻的單位階躍函數(shù)。即Sudden微擾情況，有 （11.37） (11.38)以上是當本征態(tài)難于求解，只使用本征態(tài)展開的情況。相應地，對躍遷的物理解釋當然也是在的本征態(tài)之間進行。另有一類Sudden擾動。比如中某個參數(shù)突然改變（例如諧振子彈性系數(shù)突然改變，原子核衰變使原子序數(shù)突變等等）。這時，Hamilton量雖然突變?yōu)?，但狀態(tài)來不及突變。于是原先的定態(tài)便成為新Hamilton量的初態(tài)，開始新一輪演化。這時躍遷便簡單地體現(xiàn)為兩類態(tài)矢(的和的)之間的內(nèi)積，特殊情況便是兩套基矢之間的內(nèi)積。比如，（在時刻）諧振子彈性系數(shù)突然改變?yōu)?，假定原先處于的基態(tài)，則粒子在新基矢中仍處于基態(tài)的概率為 （11.39）當然，如果新Hamilton量的本征態(tài)可解，就不必假定擾動很小。 另外，可以證明：如果很小，嚴格結(jié)果將化為上面微擾結(jié)果 參見朗道，非相對論量子力學，上冊，第180頁。因為，設初態(tài)處于的能級，末態(tài)為的能級，即有于是若是微擾，則，這樣便得到轉(zhuǎn)化為上面用的基矢表示的Sudden微擾(11.38)式。3,特例之二 絕熱微擾一種擾動，如果以十分緩慢的方式加于體系上。就是說，這種擾動相對于體系躍遷過程的內(nèi)稟時間尺度而言，持續(xù)時間足夠的長，而在該時間尺度內(nèi)變化又足夠的小，就稱這種擾動為絕熱擾動。這里，體系的內(nèi)稟時間是各能級躍遷的特征時間（主要是鄰近能級之間）。在絕熱擾動下，處于無簡并定態(tài)的體系，在變化過程中將處于準穩(wěn)定平衡狀態(tài)，體系的無量綱量子數(shù)將保持不變。常微擾結(jié)果也說明，在絕熱微擾時，無簡并定態(tài)的體系仍將留在該態(tài)上 這里是指擾動前后系統(tǒng)的哈密頓量不變的情況。參見：朗道，非相對論量子力學，上冊，第179頁。如果散射前后系統(tǒng)的哈密頓量改變，則這里的結(jié)論須作推廣。 絕熱微擾與Sudden微擾雖然同屬于不撤除微擾，但情況完全相反。這時微擾以十分緩慢的方式從起漸浸地施加到體系上，直到時刻全部加上，不再撤除。為形象地描述這種變化，引入絕熱因子（），將哈密頓量寫為 （11.40）這就是說，在的初始時刻，系統(tǒng)處于的一個定態(tài) 隨即在整個演化過程中，以足夠緩慢的速度加入，在時刻成為 直到時刻全部加上，成為的一個定態(tài) 注意，這里的（）和（）雖然相互對應（即，如果是的基態(tài)，則是的基態(tài)），但一般并不相等。 從本征函數(shù)族的觀點來看，絕熱擾動的結(jié)果出現(xiàn)了（除原先態(tài)之外）別的態(tài)（）。按（11.28）式，一階近似躍遷振幅為 （11.41）4,Sudden微擾和絕熱微擾的一個比較（突然加上的）Sudden微擾與（足夠緩慢加上的）絕熱微擾對系統(tǒng)的影響會很不相同。為了說明這一點，舉一個無限深方勢阱拆除勢壘的例子。設方向運動的粒子被堵在兩面剛性墻之間（），并處于基態(tài)。再設時刻，以突然和足夠緩慢這兩種方式將兩堵墻分開并相距無窮遠，看最后結(jié)果如何不同。突然拆除：這時粒子與墻之間沒有能量交換，粒子將以無限深方勢阱的基態(tài)波函數(shù)為初態(tài)波包，按新的Hamilton量作自由粒子含時演化（波包彌散）。由于這時動能（即總能量）守恒，粒子自由運動的動能等于阱內(nèi)時的能量。絕熱拆除：粒子在兩墻拉開過程中的任一時刻，始終處于該時刻阱寬的基態(tài)上。于是當兩墻拆除至無窮遠時，粒子的總能量（現(xiàn)在是自由粒子運動的動能）將為 說明在墻拉開時，粒子向兩面墻作功并將自己的能量完全交給了墻。順便指出，此例并非主張存在靜止粒子。粒子動能為零并不合理，那是由于此處模型設計得過于理想和簡單（即便如此，也需要無窮長的時間）。11.5光場與物質(zhì)的相互作用1, 概論眾所周知，光輻射和物質(zhì)之間存在相互作用，這種相互作用決定著光輻射被物質(zhì)的吸收和發(fā)射。經(jīng)典理論成功地描述了光輻射的傳播，然而卻無法正確描述光的吸收和發(fā)射。量子理論輝煌成就之一在于，能夠全面正確地描述光和物質(zhì)的相互作用，包括相互作用導致的光吸收和光輻射。盡管量子電動力學理論本身還存在著問題，但可以說，它是迄今為止人類所建立的最成功、最精確的物理理論。輻射和物質(zhì)相互作用的全量子理論。這應當是從統(tǒng)一的量子化觀點處理相互作用著的雙方：電磁場和物質(zhì)粒子。這里區(qū)分為兩種情況：非相對論量子電動力學：粒子原子及其中的電子遵從Schrdinger方程，電磁場被量子化成為量子電磁場。相對論量子電動力學：粒子遵從Dirac方程和Klein-Gordon方程，電磁場為量子電磁場。這便是常稱的量子電動力學的輻射理論。由于課程所限，這里只給出光場對物質(zhì)作用的量子力學理論，可稱作半量子理論：這個理論的實質(zhì)是對物質(zhì)中的原子、分子、電子采用量子力學的觀點，但對光場卻采用經(jīng)典電磁波觀點。于是成為如下一幅物理圖象：量子力學中的原子(及原子中的各層電子)在經(jīng)典電磁場的強迫振動下，發(fā)生能級之間的量子躍遷，與此同時便產(chǎn)生出光子或湮滅著光子。用半量子理論能夠給出光輻射和物質(zhì)相互作用的一部分正確結(jié)果，包括產(chǎn)生或湮滅光子的能量、譜線強度、偏振狀態(tài)、禁戒規(guī)則和角分布等等。但是，由于它的不徹底性，也如同非相對論量子力學的局限性一樣（參見第十二章），不能解釋處于激發(fā)態(tài)原子的自發(fā)輻射、強輻射場中的多光子過程、以及光場中物質(zhì)粒子的產(chǎn)生和湮滅等進一步的問題。其中自發(fā)輻射問題，Einstein曾依據(jù)熱力學平衡的一般觀念，半唯象但卻普適地處理了自發(fā)輻射和受激輻射之間的關系，見本節(jié)4。2, 受激原子的量子躍遷按半量子理論，原子和電磁場所組成的體系的Hamilton量為這里，是原子核的庫侖場，、屬于原子中電子。經(jīng)典的外加電磁場的矢勢為。選擇矢勢滿足庫侖規(guī)范，上述Hamilton量成為 (11.42)如果電磁場不十分強，可如Zeeman效應中所作的那樣，將中的項略去。由于電子位置矢徑變化只局限于原子尺度之內(nèi)，因此當電磁場波長遠大于原子尺度時，就意味著：在電子運動的空間范圍內(nèi)，電磁場可以看成是空間均勻的（只隨時間振蕩），也即這便是常說的“電偶極近似”。在此近似下可取。于是 （11.43）這就是不十分強的電磁場在偶極近似下對原子中電子的擾動算符。 與此相應，此電磁場的場強為這里，還有再考慮到，此電磁場的能流密度為設為此電磁場對時間的平均能量密度，可得 現(xiàn)在，假設電子躍遷前后所處初末態(tài)為和，能量為和，并記。注意Coulomb場中有，于是有等式將此式代入（11.43）式，得到在初末態(tài)之間的矩陣元為這里是電子的電偶極矩算符。由周期微擾敘述可知，對于吸收光子激發(fā)躍遷的情況()，只需取第二項，即將此式模平方，利用表示式消去經(jīng)典場振幅模平方，即得 （11.44）假定原子中的指向是無規(guī)的，可取方向為軸，即得方向余弦的平方平均為。于是有 （11.45）將此式代入周期微擾公式(11.33)，最后得到在輻射場擾動和電偶極近似下，吸收輻射所產(chǎn)生的躍遷速率為 （11.46）以上計算是針對電磁場頻譜為單色的情況。如果電磁場頻譜是連續(xù)的，將理解為電磁場在附近單位頻率間隔內(nèi)的平均能量密度，則總的躍遷速率將為 (11.47)3，電偶極輻射上面的受激躍遷將伴隨著光子的發(fā)射與吸收。所輻射的光子稱為電偶極輻射?，F(xiàn)對上面結(jié)果作一些討論。i, 和入射光的頻譜有關，并正比于其中有關的能量密度。ii,電偶極擾動下，分立態(tài)之間的躍遷選擇定則可以推導如下：由于并注意到這里中的連帶Legendre多項式采用了Ferrer定義。 可得三個分量不全都為零的條件為 (11.48)這便是電偶極躍遷的選擇定則。iii,角動量守恒和輻射光子的極化狀態(tài)問題電子運動：分量位相 電子運動：分量位相為零時，分量位相已為， 已到， 分量位相才到零，左手旋轉(zhuǎn)。與此相應，沿方 右手旋轉(zhuǎn)。與此相應，沿方向發(fā)射的光子為右手螺旋。在 向發(fā)射的光子為左手螺旋。-面內(nèi)觀察它則為垂直軸 在-面內(nèi)觀察它也為垂直的線偏光。 軸的線偏光。 設原子沿軸方向發(fā)出一個角動量為的光子：這時光子的極化狀態(tài)為右手螺旋（正螺度）。由于中心場和電偶極近似，角動量守恒，電子相應自態(tài)態(tài)躍遷時，它的應減少一個，即（），由ii, 中的表達式可知：電子的分量為零，和分量中含的項的矩陣元不為零，并且它們之間有如下關系： (11.49)說明電子的電偶極矩矩陣元為繞軸左手旋轉(zhuǎn)，如圖，即電子在躍遷中減少。偶極輻射的其他特征在經(jīng)典電動力學中都有敘述，這里不再贅述。如果是另附有方向磁場的Zeeman效應場合，原子將向軸取向（相應地，前面對無規(guī)取向的平均應予取消），電子能級發(fā)生分裂，的躍遷對應于比正常譜線頻率略高的分裂譜線。這時從磁場方向觀察這條譜線將為正螺度的圓偏振光（光學中的左旋光）。設原子沿軸方向發(fā)出一個角動量為的光子：這時光子的極化狀態(tài)為左手螺旋（負螺度）。與此相應，電子自態(tài)態(tài)躍遷時，增加一個，即應有()。這時， 的分量為零，和分量中只有含的項不為零，它們之間關系為 （11.50）說明電子躍遷時矩陣元為繞軸右手螺旋，如圖。如果在Zeeman效應的場合，的躍遷相應于頻率略低于正常譜線的分裂譜線，沿磁場方向觀察它將為負螺度的圓偏振光（光學中的右旋光）。對于的發(fā)射光子的情況，只有不為零，由于輻射場的橫向性質(zhì)，沿軸方向?qū)⒂^察不到這種輻射，而在-平面內(nèi)觀察光子將沿軸作線偏振。這個光子不帶走角動量，因為電子自態(tài)向態(tài)躍遷時、的期望值均未改變(前兩者仍為零，后者仍為)。顯然這對應于Zeeman效應中的線偏振光譜線。4自發(fā)輻射 考慮大量同類原子與輻射場相互作用并達到熱平衡，平衡溫度為，假設原子的任意兩個能級為，處在態(tài)上的原子數(shù)分別為。首先，計算輻射場的能量密度分布?？紤]輻射場中邊長為的立方體。利用在邊界的駐波條件可得容許駐波的波數(shù)，為波數(shù)是分立的，整波波數(shù)最小間距是。于是，在中頻率范圍內(nèi)電磁場駐波振動模數(shù)目為。這里乘2是由于每個振動模都有兩個相互垂直的極化狀態(tài)。注意，于是輻射場單位體積內(nèi)頻率在的駐波振子數(shù)密度自由度數(shù)目密度等于 (11.51)接著，如1.1.1中Planck所做的，在能量子這一重大假設下，根據(jù)M-B分布律，求出給定溫度下能量子的平均能量 (11.52)將它乘到(11.51)上，即得黑體輻射能量密度的Planck公式（1.1.1的（1.3）式）， (11.53) 現(xiàn)在，考慮原子數(shù)目的熱平衡分布問題。Einstein認為，向上躍遷的受激輻射躍遷（）原子數(shù)應該與輻射場相關的能量密度成正比；而向下躍遷的（）原子數(shù)內(nèi)，一部分是受輻射場擾動后的受激輻射、另一部分則是自發(fā)輻射。前者與成正比；后者只與原子自身性質(zhì)有關，與外場無關。由于假設達到熱平衡，可以寫出內(nèi)關于能量數(shù)值的細致平衡