不同類型數(shù)學(xué)知識的有效教學(xué)方式.doc

不同類型數(shù)學(xué)知識的有效教學(xué)方式不同學(xué)科的知識具有不同的特征，某一學(xué)科的知識也可以劃分為不同的類型。不同類型的知識在形成、發(fā)展、遷移等過程中具有不同的特點，如果用單一的方式來指導(dǎo)多種類型知識的學(xué)習(xí)，便會混洧各類知識的特征，遮蔽各類知識間的差異，阻礙知識價值的實現(xiàn)。為了提高教學(xué)成效，實現(xiàn)知識價值的最大化發(fā)展，教師需要在教學(xué)中對知識進行分類，依據(jù)不同類型的性質(zhì)、特征來選取合理的教學(xué)方式。一、數(shù)學(xué)知識的類型哲學(xué)家、心理學(xué)家已根據(jù)不同的的標(biāo)準(zhǔn)對知識進行不同類型的劃分，哲學(xué)家更多地關(guān)注知識的客觀形態(tài)，心理學(xué)家更多地關(guān)注主體對知識的表征，數(shù)學(xué)教學(xué)是以知識內(nèi)容為中介，師生共同參與的過程，既有客觀性的知識內(nèi)容，又有師生主體的參與，因而教學(xué)方式的建構(gòu)既要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科知識的形態(tài)，又要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)識規(guī)律，這就促使我們從學(xué)科知識和人的認(rèn)識特征兩個方面來思考對數(shù)學(xué)知識類型的劃分。課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)內(nèi)容分為四個部分，分別是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”?！皵?shù)與代數(shù)”主要包括各類數(shù)的概念、式的概念、量的概念；各類數(shù)與式的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、運算規(guī)律、運算率；各類數(shù)、式、量的運算；運用數(shù)、式量進行問題解決等?！皥D形與幾何”主要包含各類圖形的概念與特征；各類圖形之間的關(guān)系、性質(zhì)、公式、定理等；圖形的作圖、測量、相關(guān)量的運算；進行相關(guān)問題的解決?！敖y(tǒng)計與概率”主要包含各類數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的概念；不同的圖表如條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等概念；數(shù)據(jù)的收集、整理，圖表的設(shè)計、繪制等；利用數(shù)據(jù)進行簡單的推斷、通過簡單隨機事件判斷概率的發(fā)生；對數(shù)據(jù)、圖表進行分析并解決實際問題。“綜合與實踐”部分不涉及新的知識，主要是要求學(xué)生綜合運用所學(xué)知識與方法進行實際問題的分析與解決。不同領(lǐng)域雖然有各自的特點，包含體現(xiàn)各自特色的知識，但它們之間也有共性，都包含基本的概念，相關(guān)的公式、法則、定理、定律等進行操作的程序性知識，運用相應(yīng)的知識進行實際問題的解決。因此，根據(jù)不同領(lǐng)域知識的存在形態(tài)，數(shù)學(xué)知識又可以概括為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、程序性知識、數(shù)學(xué)問題四大類。現(xiàn)代萃知心理學(xué)把知識分為陳述性知識和程序性知識兩大類，莫雷教授在借鑒、吸收這兩種分類的同時也指出該分類的主要是依據(jù)不同類型的知識在大腦中形成、表征、激活等不同的特點及性質(zhì)來劃分的，他認(rèn)為，僅從這一維度來考慮知識的分類是不夠的，還需要關(guān)注“知識內(nèi)容方面的心理特征”在莫雷教授看來，人類學(xué)習(xí)機制有兩類，一類是聯(lián)聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)機制，即“個體獎同時出現(xiàn)在工作記憶的若干客體的激活點聯(lián)系起來而獲得經(jīng)驗的心理機制”；一類是運算性學(xué)習(xí)機制，即“有機體進行復(fù)雜的認(rèn)知操作（即運算）而獲得經(jīng)驗的心理機制”。從獲得知識的過程來看，有些知識可通過聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)機制來獲得，依據(jù)這一維度，知識又可分為聯(lián)結(jié)性知識和運算性知識。莫雷教授的這種分類觀對我們進行數(shù)學(xué)知識類型的劃分具有直接的指導(dǎo)意義，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些知識只需要聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)機制，而不需要進行運算便可以獲得，如對自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)概念的掌握、畫三角形、角等圖形；而有些知識需要進行復(fù)雜的認(rèn)知操作，運用運算性學(xué)習(xí)機制來獲得，如三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法運算、梯形的面積公式等。按照這種標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)知識又可以分為聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)知識和運算性數(shù)學(xué)知識，為些，便形成了數(shù)學(xué)知識的二維分類模式。表1 數(shù)學(xué)知識的二維分類模式學(xué)科知識聯(lián)結(jié)性知識運算性知識數(shù)學(xué)概念聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)概念運算性數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)例題聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)例題運算性數(shù)學(xué)例題程序性知識聯(lián)結(jié)性程序性知識運算性程序性知識數(shù)學(xué)問題聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)問題運算性數(shù)學(xué)問題二、數(shù)學(xué)知識教學(xué)有效方式的選取和建構(gòu)數(shù)學(xué)知識具有不同的類型，不同類型知識性質(zhì)和獲取機制存在著差異，這也影響并決定了數(shù)學(xué)教學(xué)方式的選取和建構(gòu)。聯(lián)結(jié)性知識的獲得只需個體把同時出現(xiàn)的若干對象激活聯(lián)結(jié)起來，不需要進行復(fù)雜的運算或操作活動，相對于聯(lián)結(jié)性知識的獲得需要進行復(fù)雜的心智活動，相對于聯(lián)結(jié)性知識，此類知識的教學(xué)更需進行深入的思考和精心的設(shè)計，教學(xué)方式也更多樣化。限于篇幅，本文重點探討運算性數(shù)學(xué)知識有效教學(xué)方式的建構(gòu)。（一）教學(xué)方式層面的建構(gòu)自課程改革提出改變教學(xué)方式以來，涌現(xiàn)了大量的研究，各種教學(xué)方式、方法層出不窮，多樣的教學(xué)方式為教學(xué)帶來了微型機和活力，同時也影響著人們對教學(xué)方式的態(tài)度和選擇，新的教學(xué)方式未必就有效，傳統(tǒng)的講授法也未必就無效，有效的教學(xué)方式不是對形式的追求，而是能夠讓學(xué)生深度地掌握知識，實現(xiàn)知識教學(xué)促進能力、個性的發(fā)展。1構(gòu)建深度認(rèn)識知識的有效教學(xué)方式知識具有雙重意義，既表現(xiàn)為靜態(tài)的認(rèn)識成果，同時又蘊含探究、認(rèn)識的動態(tài)過程。在第一層面上，知識體現(xiàn)為人類對物質(zhì)世界、精神世界的認(rèn)識，揭示出客觀對象的規(guī)律、性質(zhì)、屬性等，通常以文字、語言等符號為載體以結(jié)論的形式而存在，具有信息意義。例如，梯形的面積S=（ab）h，從公式中即可明白底、高與面積之間的關(guān)系。在第二層面上，知識則被看作表示過程狀態(tài)的動詞，即“知”與“識”的統(tǒng)一，“知”即“知道”“知嘵”， “識”即“認(rèn)識”， 知識即“知道”“認(rèn)識”的行為過程。與結(jié)論形態(tài)的知識相比，這層知識中蘊含著人類在認(rèn)識過程中的思維方式、行為準(zhǔn)則、情感傾向等，通常行為隱藏于內(nèi)容之中，但任何知識的產(chǎn)生都與行為密不可分，任何知識的形成都包含了人類的智力活動、思維過程，知識以結(jié)論形式呈現(xiàn)的同時，也以隱形的形式隱含著人類探索知識的智慧，因此知識還具有智慧意義，如梯形公式背后還凝聚著形成過程中人類的探索行為和推理思考。教學(xué)方式的選取蘊含著主體的價值傾向，知識教學(xué)既要獲得知識的信息意義，又需體驗知識的智慧意義，如何看待知識的雙重意義影響著教學(xué)方式的選擇，只注重靜態(tài)的知識成果，與在動態(tài)認(rèn)識活動中探索知識所進行的教學(xué)肯定會存在差異，也許學(xué)生最終都能夠掌握知識，但獲得知識方式的差異對學(xué)生知識的遷移、應(yīng)用及能力的發(fā)展則會產(chǎn)生不同的影響。選取有效的方式進行教學(xué)需要在觀念上深化對知識的認(rèn)識，能夠全方位、多層次、多角度地理解知識。2構(gòu)建知識促進能力發(fā)展的有效教學(xué)方式教學(xué)首先是知識的教學(xué)，擁有豐富的知識肯定是博學(xué)者，但博學(xué)者未必是能力的強者，知識的多寡與能力的強弱并非正相關(guān)，兩者的發(fā)展也并非同步，“知識增長和能力提高并非完全自然一致，有時甚至很不平衡，知識教學(xué)和能力發(fā)展可能形成正向平衡和不平衡與負(fù)向平衡和不平衡幾種狀態(tài)?！眱烧叩恼蚱胶?，即隨著知識的增長能力也不斷地增強，同時能力的增強也促進知識的不斷豐富，知識與能力呈現(xiàn)正相關(guān)；兩者的負(fù)向平衡，即知識教學(xué)水平低；學(xué)生知識掌握不系統(tǒng)，相應(yīng)的能力水平也很低；兩者的正向不平衡，即運用合理的教學(xué)方式以較少知識的獲得促進能力水平的最大化發(fā)展，這是教學(xué)的理想狀態(tài)和應(yīng)然追求；兩者的負(fù)向不平衡，即知識掌握得很牢固，但能力不是很強，沒有達(dá)到相應(yīng)的水平。教學(xué)應(yīng)努力克服兩者的負(fù)向不平衡，在保證正向平衡的基礎(chǔ)上努力達(dá)到兩者的正向不平衡，即知識教學(xué)促進能力的最大化發(fā)展。知識和能力都具有不同的類型和層面，一種知識柯促進多種能力的發(fā)展，也可主要促進某種能力的發(fā)展；一種能力的發(fā)展可能需要多種類型的知識，也可能主要需要某種類型的知識。知識與能力之間具有多層次、多方向等錯綜復(fù)雜的關(guān)系。能力可以在獲得知識的過程中自然而然地發(fā)展，但是這種發(fā)展是低效的，知識如何高效地轉(zhuǎn)化為能力需運用合理的教學(xué)方式有目的的促進，這也是建構(gòu)有效教學(xué)方式的價值追求。（二）不同類型運算性數(shù)學(xué)知識的教學(xué)方式運算性知識的獲得需要個體進行復(fù)雜的認(rèn)知操作和行為活動，不同類型的運算性數(shù)學(xué)知識又具有自身的獨特性，因此在觀念性教學(xué)方式的指導(dǎo)下，在具體的教學(xué)實踐中還需要根據(jù)不同的知識選取合適的教學(xué)方式來促進教學(xué)的有效性。1運算性概念教學(xué)的教學(xué)方式概念是對一類事物本質(zhì)特征的抽象和概括，從來源看，主要有兩個方面：“一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得；二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲?！睌?shù)學(xué)概念是對具有相同特征的數(shù)學(xué)對象的共同特征或本質(zhì)屬性的抽象和概括，是數(shù)學(xué)知識體系的細(xì)胞，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。運算性數(shù)學(xué)概念的形成蘊含了個體辨別、比較、歸類、抽取、概括、歸納等認(rèn)知活動，這些特征規(guī)定了教學(xué)不僅要掌握概念的內(nèi)容，還需讓學(xué)生感受概念的形成中的過程，經(jīng)歷感知材料、分析辨別、抽象概括等一系列活動，在不斷抽象概括中摒棄與研究對象無關(guān)的非本質(zhì)因素，達(dá)到對共同特征或本質(zhì)因素的理解與把握，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念智慧意義的領(lǐng)悟。對事物本質(zhì)特征的把握很重要的一點是對非本質(zhì)特性的甄別和把握，兩者都把握了才能達(dá)到對本質(zhì)特性的真正把握。而形式多樣的非本質(zhì)特性往往遮蔽了本質(zhì)特性，把本質(zhì)特性掩藏于其中，很難一眼識破，從而影響了人們對本質(zhì)特性的認(rèn)識。教師在教學(xué)中可以用類比的方式引導(dǎo)學(xué)生對本質(zhì)和非本質(zhì)特性進行甄別，用提問的方式引導(dǎo)學(xué)生對本質(zhì)特性進行抽象概括?；诖耍瑢\算性數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式的建構(gòu)是類比提問。教學(xué)中的類比可以分為同類事物之間的類比、相異事物之間的類比。通過對同類事物間的辨別、比較、分析等，可以把握它們之間的共同特征；通過對相異事物的辨別、比較、分析等，可以區(qū)分出非本質(zhì)特征，使本質(zhì)特征從共同特征中脫離出來。教學(xué)中學(xué)生通過類比等一系列活動，經(jīng)常表現(xiàn)出能感知事物的本質(zhì)特征。但很難用語言清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)出來。這時教師應(yīng)該進行及時指引，設(shè)置不同類型的問題，不斷提問，層層逼近，引導(dǎo)學(xué)生把握信關(guān)鍵因素，逐漸把語言、措辭聚焦到事物本質(zhì)特征上，在此基礎(chǔ)上達(dá)到對概念的準(zhǔn)確、精煉的表達(dá)。2運算性數(shù)學(xué)命題的教學(xué)方式數(shù)學(xué)命題包括數(shù)學(xué)公式、法則、公理、定理、定律等內(nèi)容，此類知識揭示了數(shù)量關(guān)系、幾何圖形等的內(nèi)在規(guī)律，具有客觀性、確定性。運算性數(shù)學(xué)命題的形成凝聚著人類無數(shù)次的探索和嘗試，蘊含了復(fù)雜又豐富的智力活動，但教材對此類知識的呈現(xiàn)具有簡約性，遮蓋了探索過程的曲折。采取何種方式進行教學(xué)取決于教師的選擇，講解、記憶式教學(xué)能使學(xué)生掌握知識的信息意義，卻不能讓學(xué)生體驗知識形成中隱藏的智力活動方式，因而消減了知識的智慧意義。運算性數(shù)學(xué)命題的獲得需要運用運算性學(xué)習(xí)機制，需要學(xué)生在分析、猜想、推理、驗證等活動中發(fā)現(xiàn)知識，形成對知識的深刻認(rèn)識。因此，對此類知識教學(xué)方式的建構(gòu)是探究發(fā)現(xiàn)。鼓勵學(xué)生在動手操作、合作交流中進行探究發(fā)現(xiàn)是新課改以來一直提倡的教學(xué)方式。學(xué)生在探究活動中進行著猜想、推理、判斷等活動，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家在形成知識過程中的認(rèn)知方式，與數(shù)學(xué)家、教師的思維過程進行對話，重蹈數(shù)學(xué)家探索知識的步子。這樣的探究過程中學(xué)生既可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論性的知識，也可以體驗到智慧性的知識。在課堂教學(xué)中，有時會因時間等因素影響而使探究發(fā)生過程進行得不徹底。著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“教一個科學(xué)的分支（或一個理論、一個概念）時，應(yīng)當(dāng)讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中那些關(guān)鍵性的步子。當(dāng)然，我們不應(yīng)當(dāng)讓他重蹈過去的無數(shù)個錯誤，而僅僅是重蹈關(guān)鍵性步子。”運用探究發(fā)現(xiàn)對運算性數(shù)學(xué)命題進行教學(xué)，教師需要學(xué)生關(guān)注關(guān)鍵性的問題、步驟，并進行探究，這樣既可以保證探究的實效性，又可以讓學(xué)生真正深刻體驗到知識的意義。3運算性程序性知識的教學(xué)方式程序性知識是指進行某項操作活動的知識，包括完成某項內(nèi)容的一系列操作過程和步驟，是關(guān)于“怎么做”的知識。對程序性知識的學(xué)習(xí)是學(xué)會在某種情境下能采取一系列操作步驟，并熟練地依據(jù)步驟完成整個操作過程，以達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)，與聯(lián)結(jié)性程序性知識相比，運算性程序性知識需要更為復(fù)雜的認(rèn)知方式和操作行為。它雖然有相對固定的步驟，但沒有墨守成規(guī)的做法。顯然尺規(guī)作圖與分?jǐn)?shù)加減法運算的學(xué)習(xí)是不一樣的，按照一套規(guī)則、步驟即可完成尺規(guī)作圖，而進行分?jǐn)?shù)加咸運算雖然也有明確的步驟，但真正的計算過程涉及復(fù)雜的心智活動。例如在通分的時候如何確定最小公倍數(shù)、為了保持分?jǐn)?shù)大小不變分子分母需要同時擴大相同的倍數(shù)、計算結(jié)果是否需要約分、如何進行約分等問題都需要進行分析、判斷。因此，運算性程序性知識的學(xué)習(xí)不僅要掌握相應(yīng)的操作步驟，還需要個體能根據(jù)不同的情況進行靈活的變換。若要獲得對程序性知識的熟練掌握，必定離不開練習(xí)。缺少練習(xí)，即使對相應(yīng)的規(guī)則、步驟倒背如流，也很很難形成熟練的操作程序。在需要復(fù)雜心智活動的運算性程序性知識的學(xué)習(xí)中，同樣需要一定量的練習(xí)，而是具有變化性的變式練習(xí)。對運算性程序性知識的變式可以有內(nèi)容的變式、方法的變式、題型的變式、操作的變式等。運用變式教學(xué)，可以使學(xué)生對運算性程序性知識的操作由易到難，滿足不同學(xué)生學(xué)習(xí)的需要；可以使知識在不同的情景中呈現(xiàn)，引起學(xué)生的興趣，學(xué)會對知識的靈活運用。通過各種類型變式的練習(xí)，能夠促使學(xué)生感悟運算性程序性知識中的認(rèn)知活動方式，并促進知識向能力的轉(zhuǎn)化。因此，變式練習(xí)是對此類知識教學(xué)方式的建構(gòu)。4運算性數(shù)學(xué)問題的教學(xué)方式新課改以來，在教材內(nèi)容的設(shè)置上，很多法則、規(guī)律等知識的學(xué)習(xí)都置于問題情境之下，數(shù)學(xué)問題承載著對各類知識的整合和運用，成為教學(xué)的中心和重點。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，聯(lián)結(jié)性數(shù)學(xué)問題主要是鞏固學(xué)習(xí)的知識，問題、解題材方法和過程都比較簡單，不需要太多的思維運算。而運算性數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，且題型豐富多樣，即使是相同的知識點也可以設(shè)計出各種不同的數(shù)學(xué)問題?？偸堑囊阎獥l件、未知條件不同，可能涉及的解題方法、思路、思維過程都會不同，即使是相同的問題，也可能存在多種思路和解題方法。并且，運算性數(shù)學(xué)問題各種數(shù)量關(guān)系隱藏其中，不易察覺，解決的過程需要進行仔細(xì)分析、揭示已知量與未知量之間的關(guān)系、抽象出數(shù)學(xué)模型等多種心智活動。運算性數(shù)學(xué)問題的這些特點決定了教學(xué)過程需要教師的指導(dǎo)，利用啟發(fā)性的語言為學(xué)生撥開云霧，指點迷津，引導(dǎo)學(xué)生對問題進行深層分析，把握問題解決的關(guān)鍵因素，厘清各種數(shù)量的