北大版金融數(shù)學(xué)引論第二章答案,.doc

版權(quán)所有，翻版必究第二章習(xí)題答案1某家庭從子女出生時(shí)開(kāi)始累積大學(xué)教育費(fèi)用5萬(wàn)元。如果它們前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。計(jì)算X。解：S=1000s20p7%+Xs10p7%X=500001000s20p7%s10p7%=651.722價(jià)值10,000元的新車(chē)。購(gòu)買(mǎi)者計(jì)劃分期付款方式：每月底還250元，期限4年。月結(jié)算名利率18%。計(jì)算首次付款金額。解：設(shè)首次付款為X，則有10000=X+250a48p1.5%解得X=1489.363設(shè)有n年期期末年金，其中年金金額為n，實(shí)利率i=1。試計(jì)算該年金的現(xiàn)值。解：PV=nanpi1vnn=n1n=(n+1)nn2nn+2(n+1)n4已知：anp=X，a2np=Y。試用X和Y表示d。解：a2np=anp+anp(1d)n則YX1d=1(X)n5已知：a7p=5.58238,a11p=7.88687,a18p=10.82760。計(jì)算i。解：a18p=a7p+a11pv7解得6.證明：11v10=s10p+ap。s10pi=6.0%北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第1頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究證明：s10p+ap(1+i)101+11s10p=i(1+i)101ii=1v107已知：半年結(jié)算名利率6%，計(jì)算下面10年期末年金的現(xiàn)值：開(kāi)始4年每半年200元，然后減為每次100元。解：PV=100a8p3%+100a20p3%=2189.7168某人現(xiàn)年40歲，現(xiàn)在開(kāi)始每年初在退休金帳號(hào)上存入1000元，共計(jì)25年。然后，從65歲開(kāi)始每年初領(lǐng)取一定的退休金，共計(jì)15年。設(shè)前25年的年利率為8%，后15年的年利率7%。計(jì)算每年的退休金。解：設(shè)每年退休金為X，選擇65歲年初為比較日100025p8%=X15p7%解得9已知貼現(xiàn)率為10%，計(jì)算8p。X=8101.65解：d=10%，則i=110.求證：(1)np=anp+1vn；1d1=198p=(1+i)1v8i=5.6953(2)np=snp1+(1+i)n并給出兩等式的實(shí)際解釋。證明：(1)np=1dvn=1ivn=1vni+1vn所以(2)np=(1+i)n11+inp=anp+1vn(1+i)n1=(1+i)n1n1d=i1+ii+(1+i)所以np=snp1+(1+i)n版權(quán)所有，翻版必究12.從1980年6月7日開(kāi)始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季結(jié)算名利率6%，計(jì)算：1）該年金在1979年9月7日的現(xiàn)值；2）該年金在1992年6月7日的終值。解：PV=100a49p1.5%100a2p1.5%=3256.88AV=100s49p1.5%100s2p1.5%=6959.3713.現(xiàn)有價(jià)值相等的兩種期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B(yǎng)在第110年和第2130年中每年付款金額為Y，在第1120年中沒(méi)有。已知：v10=1，計(jì)算Y。解：因兩種年金價(jià)值相等，則有2a30pi+a10piv10=Ya30piYa10piv10所以Y=3v102v301+v102v30=1.814.已知年金滿(mǎn)足：2元的2n期期末年金與3元的n期期末年金的現(xiàn)值之和為36；另外，遞延n年的2元n期期末年金的現(xiàn)值為6。計(jì)算i。解：由題意知，2a2npi+3anpi=362anpivn=6解得a7pa3p+sXpi=8.33%15.已知a11p=aYp+sZp。求X，Y和Z。解：由題意得解得1v71v11=(1+i)Xv3(1+i)ZvY16.化簡(jiǎn)a15p(1+v15+v30)。解：X=4,Y=7,Z=4a15p(1+v15+v30)=a45p北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第3頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究17.計(jì)算下面年金在年初的現(xiàn)值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年結(jié)算名利率9%。解：年金在4月1日的價(jià)值為P=1+4.5%4.5%2000=46444.44，則PV=P(1+i)2+23=41300.65718.某遞延永久年金的買(mǎi)價(jià)為P，實(shí)利率i，寫(xiě)出遞延時(shí)間的表達(dá)式。解：設(shè)遞延時(shí)間為t，有1解得t=ln(1+lniPi)P=ivt19.從現(xiàn)在開(kāi)始每年初存入1000元，一直進(jìn)行20年。從第三十年底開(kāi)始每年領(lǐng)取一定的金額X，直至永遠(yuǎn)。計(jì)算X。解：設(shè)年實(shí)利率為i，由兩年金的現(xiàn)值相等，有X100020pi=iv29解得X=1000(1+i)30(1+i)10)20.某人將遺產(chǎn)以永久年金的方式留給后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人繼承。如果四人的遺產(chǎn)份額的現(xiàn)值相同。計(jì)算(1+i)n。解：設(shè)遺產(chǎn)為，則永久年金每年的年金為i，那么A,B,C得到的遺產(chǎn)的現(xiàn)值為i3anpi，而D得到遺產(chǎn)的現(xiàn)值為vn。由題意得所以1vn3(1+i)n=4=vn21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分?jǐn)?，A接受第一個(gè)n年，B接受第二個(gè)n年，C接受第三個(gè)n年，D接受所有剩余的。已知：C與A的份額之比為0.49，求B與D的份額之比。版權(quán)所有，翻版必究解：由題意知那么PVCPVAPVB=anpv2nanpanpvn13n=0.49=0.61PVDiv22.1000元年利率4.5%的貸款從第五年底開(kāi)始每年還貸100元，直至還清，如果最后一次的還款大于100元。計(jì)算最后一次還款的數(shù)量和時(shí)間。100anp4.5%v41000解得n=17列價(jià)值方程解得100a16p4.5%+Xv21=1000X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；兩者現(xiàn)值相等。如果以同樣的年利率計(jì)算貨幣的價(jià)值在n年內(nèi)將增加一倍，計(jì)算n。解：兩年金現(xiàn)值相等，則4a36pi=518，可知v18=0.25由題意，(1+i)n=2解得n=924.某借款人可以選擇以下兩種還貸方式：每月底還100元，5年還清；k個(gè)月后一次還6000元。已知月結(jié)算名利率為12%，計(jì)算k。解：由題意可得方程100a60p1%=6000(1+i)k解得25.已知a2pi=1.75，求i。解：由題意得解得k=291v2=1.75ii=9.38%26.某人得到一萬(wàn)元人壽保險(xiǎn)賠付。如果購(gòu)買(mǎi)10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金為每年1072元。計(jì)算年利率。解：版權(quán)所有，翻版必究27.某人在銀行中存入一萬(wàn)元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半內(nèi)提前支取，銀行將扣留提款的5%作為懲罰。已知：在第4、5、6和7年底分別取出K元，且第十年底的余額為一萬(wàn)元，計(jì)算K。解：由題意可得價(jià)值方程10000=105Ka2p4%v3+Ka2p4%+10000v10則K=1000010000v10105a2p4%v3+a2p4%v5=979.9428.貸款P從第六個(gè)月開(kāi)始分十年逐年還清。第一次的還款額為后面還款的一半，前四年半的年利率為i，后面的利率為j。計(jì)算首次付款金額X的表達(dá)式。解：選取第一次還款日為比較日，有價(jià)值方程1P(1+i)2=X+2Xa4pi+2Xa5pj(1+i)4所以P(1+i)12X=1+2a4pi+2a5pj(1+i)429.已知半年名利率為7%，計(jì)算下面年金在首次付款8年后的終值：每?jī)赡旮犊?000元，共計(jì)8次。解：30.計(jì)算下面十年年金的現(xiàn)值：前5年每季度初支付400元，然后增為600元。已知年利率為12%。（缺命令）解：PV=4400+4600v5=11466.1431.已知半年結(jié)算的名貼現(xiàn)率為9%，計(jì)算每半年付款600元的十年期初年金的現(xiàn)值表達(dá)式。解：32.給出下面年金的現(xiàn)值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一個(gè)貨幣單位。解：PV=1s4pia24piv3=(1+i)241(1+i)27(1+i)41=a28pa4ps3p+s1p北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第6頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年換算名利率4%，求R的表達(dá)式。解：設(shè)年實(shí)利率為i，則(1+2%)2=1+i。有題意得750i+750s20pii=Ra30pi解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的現(xiàn)值為125/91，計(jì)算年利率。解：由題意知解得i=20%1is3pi=1259135.已知：1元永久期初年金的現(xiàn)值為20，它等價(jià)于每?jī)赡旮犊頡元的永久期初年金，計(jì)算R。解：由題意得解得R=1.9520=1d=Ra2pii36.已知每半年付款500元的遞延期初年金價(jià)格為10000元。試用貼現(xiàn)率表示遞延時(shí)間。(2)解：設(shè)貼現(xiàn)率為d，則1+i2=1(1d)12設(shè)遞延時(shí)間為t，由題意得10000=2500vt(2)p1解得t=ln20+ln(1(1d)2)ln(1d)37.計(jì)算：3a(2)np=2a(2)2np=45s(2)1p，計(jì)算i。解：ii3anpi=2anpi=45is1pi解得：vn=1,i=1i(2)。i2i2230北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第7頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究38.已知i(4)=16%。計(jì)算以下期初年金的現(xiàn)值：現(xiàn)在開(kāi)始每4個(gè)月付款1元，共12年。（問(wèn)題）解：39.已知：t=1+1t。求np的表達(dá)式。解：np=n0eR0tsdsdt=ln(1+n)40.已知一年內(nèi)的連續(xù)年金函數(shù)為常數(shù)1，計(jì)算時(shí)刻t，使得只要在該時(shí)刻一次性支付一個(gè)貨幣單位，則兩種年金的現(xiàn)值相等。解：第一種年金的現(xiàn)值為10vtdt=1e第二種年金的現(xiàn)值為et，則所以t=1+1lni1e=et41.已知：=0.08。計(jì)算從現(xiàn)在開(kāi)始每個(gè)季度初存入100元的20年期初年金的現(xiàn)值。（結(jié)果和李凌飛的不同）解：設(shè)季度實(shí)利率為i。因a(t)=et，則e14=(1+i)所以1v80PV=10080pi=100(1+i)i=4030.5342.現(xiàn)有金額為40,000元的基金以4%的速度連續(xù)累積。同時(shí)每年以2400元的固定速連續(xù)地從基金中取錢(qián)，該基金可以維持多少時(shí)間？解：設(shè)年實(shí)利率為i，則i=e1設(shè)基金可維持t年，由兩現(xiàn)值相等得40000=2400atpi解得t=28北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第8頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究43.已知某永久期末年金的金額為：1，3，5，.。另外，第6次和第7次付款的現(xiàn)值相等，計(jì)算該永久年金的現(xiàn)值。解：由題意：1113(1+i)6=(1+i)7i=112PV=v+3v2+(2n1)vn+=v1+PV+2(v+v2+)=v(1+PV+2v解得:PV=661v)44.給出現(xiàn)值表達(dá)式Aanp+B(Da)n|所代表的年金序列。用這種表達(dá)式給出如下25年遞減年金的現(xiàn)值：首次100元，然后每次減少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n1)B,.,A+2B,A+B所求為25a25p+3(Da)25|45.某期末年金（半年一次）為：800,750,700,.,350。已知半年結(jié)算名利率為16。若記：A=a10p8%，試用A表示這個(gè)年金的現(xiàn)值。解：考慮把此年金分割成300元的固定年金和500元的遞減，故有：2(10A)300a10p8%+500(Da)10|8%=300A+i(2)=6250325A46.年利率8的十年儲(chǔ)蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年遞增5。計(jì)算第十年底的余額。解：由題意：AV=1000s5p8%(1+8%)6+(10001.051.085+10001.0521.084+10001.0551.08)=1000(1+8%)518%1.086+10001.051.0851(1.051.08)511.051.08=16606.7247.已知永久年金的方式為：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此類(lèi)推。證明其現(xiàn)值為:v4100北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系ivd第9頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究解：把年金分解成：從第5年開(kāi)始的100元永久年金，從第7年開(kāi)始的100元永久年金.。從而PV=v410011=100v411=100v4ia2piii1v2ivd48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。證明其現(xiàn)值為：160010p(I(4)(4)1|元證：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=1,R=100m2=1600從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：1600(I(4)(4)元再貼現(xiàn)到開(kāi)始時(shí)：1|160010p(I(4)(4)1|元49.從現(xiàn)在開(kāi)始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，計(jì)算現(xiàn)值。解：半年的實(shí)利率：j=(1+8%)121=3.923%PV=1+1.031+j1.03+1.032(1+j)2+=(11+j)1=112.5950.某人為其子女提供如下的大學(xué)費(fèi)用：每年的前9個(gè)月每月初500元，共計(jì)4年。證明當(dāng)前的準(zhǔn)備金為：60004p(12)9/12|證：首先把9個(gè)月的支付貼現(xiàn)到年初：m=12,n=9/12,R=500m=6000從而每年初當(dāng)年的年金現(xiàn)值：6000(12)貼現(xiàn)到當(dāng)前：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系9/12|60004p(12)9/12|第10頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究51.現(xiàn)有如下的永久年金：第一個(gè)k年每年底還；第二個(gè)k年每年底還2R；第三個(gè)k年每年底還3R；依此類(lèi)推。給出現(xiàn)值表達(dá)式。解：把此年金看成從第nk年開(kāi)始的每年為R的永久年金(n=0,1,2,):每個(gè)年金的值為Rap在分散在每個(gè)k年的區(qū)段里：Ra|ak|再按標(biāo)準(zhǔn)永久年金求現(xiàn)值：R(a|)2ak|52.X表示首次付款從第二年底開(kāi)始的標(biāo)準(zhǔn)永久年金的現(xiàn)值，20X表示首次付款從第三年底開(kāi)始的永久年金：1,2,3,的現(xiàn)值。計(jì)算貼現(xiàn)率。解：由題意：X=11i1+i20X=(111解得：i=0.05i+i2)(1+i)2即：d=i1+i=0.0476253.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4=0.75，計(jì)算現(xiàn)值。與原答案有出入解：(期初年金)PV=1+6v4+11v9+=(期末年金)(5n4)v(4n4)=i=15(1v4)241v4=64PV=v+6v5+11v10+=vPV=59.558754.永久連續(xù)年金的年金函數(shù)為:(1+k)t，年利率i，如果：0ki，計(jì)算該年金現(xiàn)值。與原答案有出入解：由于0kqi不存在,pq(2)令f(i)=piqiiq2f0(i)=pi2+qi2+2qi3=0解得：i=2qpqpq58.某零件的使用壽命為9年，單位售價(jià)為2元；另一種產(chǎn)品，使用壽命15年，單價(jià)增加X(jué)。如果某人需要35年的使用期，假定在此期間兩種產(chǎn)品的價(jià)格均以年增4%的幅度增加，要使兩種產(chǎn)品無(wú)差異的X為多少？(缺少利率?下面的計(jì)算年利率i=5%)(與原答案有出入)解：用9年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為：PV1=21+(1.041.05)9+(1.041.05)18+(1.041.05)27用15年一周期的產(chǎn)品，則有支付的現(xiàn)值為：1.041.04PV2=(2+X)1+(由PV1=PV2有：X=0.69921.05)15+(1.05)3059.計(jì)算m+n年的標(biāo)準(zhǔn)期末年金的終值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，smp7%=34,snp11%=128。解：由snp的表達(dá)式有：(1+0.11)n=0.11snp11%+1AV=smp7%(1+0.11)n+snp11%=smp7%(0.11snp11%+1)+snp11%=640.72北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第13頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，兩種股票都是每股10元。A股票每年底每股分得紅利0.40元，共計(jì)10年，在第10次分紅后，甲以每股2元的價(jià)格將所有的股票出售，假設(shè)甲以年利率6%將紅利收入和股票出售的收入進(jìn)行投資。B股票在前10年沒(méi)有紅利收入，從第11年底開(kāi)始每年每股分得紅利0.80元，如果乙也是以年利率6%進(jìn)行投資，并且在n年后出售其股票。為了使甲乙在乙的股票出售時(shí)刻的累積收入相同，分別對(duì)n=15,20兩種情況計(jì)算乙的股票出售價(jià)格。解：設(shè)X為買(mǎi)價(jià)，有價(jià)值方程：0.4s10p6%+2=0.8sn10|6%+X(1+0.06)(n10)從而有：X=(0.4s10p6%+20.8sn10|6%)(1+0.06)(n10)5.22n=15解得：X=2.48n=2061.某獎(jiǎng)學(xué)金從1990年元旦開(kāi)始以十萬(wàn)元啟動(dòng)，每年的6月30日和12月31日用半年結(jié)算名利率8%結(jié)算利息。另外，從1991年元旦開(kāi)始每年初可以固定地收到捐款5000元。(從1991年的7月開(kāi)始？)每年的7月1日要提供總額為一萬(wàn)二千元的獎(jiǎng)金。計(jì)算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余額。解：由題意：AV=100000(1+4%)20+5000s20p4%s2p4%12000(1+4%)s20p4%s2p4%=109926.02162.已知貸款L經(jīng)過(guò)N（偶數(shù)）次、每次K元還清，利率i。如果將還貸款次數(shù)減少一半，記每次的還款為K1，試比較K1與2K的大小。解：由題意：1K1ampi=Ka2mpiK1=K1+(1+i)mv2即：Mn，證明：L=anp在1i1上有唯一解。版權(quán)所有，翻版必究證：(斯圖姆判別？)考慮如下現(xiàn)金流：初始時(shí)刻投入L,而后的n年每年末得到回報(bào)1,從而此投資的內(nèi)部收益率i滿(mǎn)足L=anpi由于現(xiàn)金流只改變一次方向，從而由笛卡兒符號(hào)法則有，在1i0,n0時(shí)，有：i+(n+1)(Ia)npi(n+1)/2anpi(Da)npi證：由69題有：(Ia)npi+(Da)npi/2=(n+1)anpi/2從而，只要證：(Ia)npi(Da)npi()注意到：(Da)npi(Ia)npi(n1),(n3),(n3),(n1)這年金前后對(duì)稱(chēng)，而后面的貼現(xiàn)因子比較大，從而有()成立。71.某雇員在退休前的第37年參加企業(yè)養(yǎng)老金計(jì)劃,當(dāng)時(shí)年收入為18,000元，然后每年以4的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中進(jìn)行)。1)分別對(duì)以下兩種退休金方式計(jì)算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金為工作期間年平均工資的70%；年退休金為年平均工資的2.5%再乘以工作年限。2如果企業(yè)和個(gè)人分別將年工資的3%存入年利率6%的養(yǎng)老基金，試對(duì)以上兩種退休金方式計(jì)算退休金的領(lǐng)取年限。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第16頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究解：1)平均工資：$=18000(1+1.04+1.0436)/37=39747.04退休前一年的工資：18000(1+0.04)36=73870.79法一：年退休金：0.7$=27822.93,比例為：37.66%法二：年退休金：0.25$37=36766.01,比例為：49.77%2)企業(yè)和個(gè)人各存3%則一共存6%,從而這筆基金的終值為：36P=180006%(1+4%)t(1+6%)36t=235871.7t=0設(shè)年退休金為R,則有：Rnp6%P解得：n=12第一種方式8第二種方式72.已知永久期初年金為：首次1元；第二年初1+2元；第三年初1+2+3元；依此類(lèi)推；第n年初1+2+n元。證明該年金的現(xiàn)值為:p(I)p。解：進(jìn)行現(xiàn)金流拆分：從第一年出發(fā)的一份標(biāo)準(zhǔn)永久年金，從第二年出發(fā)的兩份標(biāo)準(zhǔn)永久年金，,從第n年出發(fā)的n份標(biāo)準(zhǔn)永久年金。分別求各個(gè)子現(xiàn)金流的現(xiàn)值得到如下的現(xiàn)金流：p,2p,np,其現(xiàn)值即為原年金的現(xiàn)值：p(I)p。73.已知連續(xù)年金函數(shù)為f(t)，0時(shí)刻的年金為F0，利息力，如果用Ft表示時(shí)刻t的年金終值，證明:dFt=Ft+f(t)dt證：由定義Ft=dFtt0f(s)e(ts)ds=ettt0f(s)es)dsdt=et0f(s)esds+f(t)=Ft+f(t)74.A從B處借得10,000元，年利率4%，計(jì)劃分40次按季度等額償還。在第6年底，B希望立即收回所有借款，因此將今后接受還款的權(quán)利轉(zhuǎn)賣(mài)給C，轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)格使C今后幾年的年收益率將達(dá)到6%，計(jì)算轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià)格。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第17頁(yè)版權(quán)所有，翻版必究解：A從B借款：季度實(shí)利率為i=(1+0.04)1/4110000=Ra40piB把后16次的還款賣(mài)給C：季度實(shí)利率為：i0=(1+0.06)1/41a40|i0解得：P=4303.1。P=Ra40|i0=100