人教2012版數(shù)學(xué)第二十七章相似第21講相似三角形的綜合應(yīng)用.doc

第21講相似三角形的綜合應(yīng)用考點(diǎn)方法破譯 能熟練運(yùn)用三角形相似的判定定理證明三角形相似，并能把證角等、求邊長、求比值、求面積等問題轉(zhuǎn)化為相似問題； 能熟練運(yùn)用相似的典型模型求解、證明； 能運(yùn)用相似解決一些數(shù)學(xué)綜合問題。經(jīng)典考題賞析【例】如圖，丁軒同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影自得頂部剛好接觸到路燈的底部，當(dāng)他向前再步行20m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部，已知丁軒同學(xué)的身高是1.5m,兩個(gè)路燈的高度都是9m,，則兩路燈之間的距離是（）A24m B25m C28m D30m【解法指導(dǎo)】本題可利用平行比例求解解：設(shè)身高為h，由平行比例得=,設(shè)AP=BQ=x,則 = ,解得x=5，兩路燈之間的距離AB20+5+5=30（m）.本題應(yīng)選D【變式題組】1.如圖（1）是小明設(shè)計(jì)用手電來測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABBD，CD垂直BD，且測(cè)的AB1.2米，BP1.8米，PD12米，那么該古城墻的高度是（）A米B米C米D米【例】如圖（），一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形如圖擺放，被分割成了個(gè)部分.、這三塊的面積比依次為：，那么，、這兩塊的面積比是（）A3：4 B9：14 C4：5 D9：16【解法指導(dǎo)】本題首先要找出的直角邊、的寬與正方形邊長的關(guān)系。根據(jù)相似，先找出正方形邊長與的直角邊的關(guān)系，最后以的直角邊為單位量，表示出正方形邊長、的直角邊、的寬，即可求解。解法：設(shè)的直角邊為k，可判定,相似。由相似性質(zhì)得直角邊為2k。再設(shè)正方形的邊長為x，可列方程為3kx=42（kk2），解得x=7k。所以的寬為4k，的直角邊為6k，則,這兩塊的面積比是9：14，選B.【變式題組】2如圖G是ABC的重心（三邊中線的交點(diǎn)），直線l過點(diǎn)與平行，若直線G分別與AB、l交與D、E兩點(diǎn)，直線BG與AC交與F點(diǎn)，則AED面積：四邊形ADGF的面積為（）A：B：C：D：3.如圖，點(diǎn)A1，A，A，A在射線OA上，點(diǎn)B，B，B，在射線OB上，且A1B1A2B2A3B3,A2B1A3B2A4B3.若A2B1B2,A3B2B3的面積分別為，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和為4.圖為ABC與DEC重迭的情形，其中在BC上，AC交DE與F點(diǎn)，且ABDE，若ABC與DEC的面積相等，且EF，AB，則DF（ ）【例】已知四邊形ABCD外接O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AEAC，BD=8,求ABD的面積?！窘夥ㄖ笇?dǎo)】由題設(shè)得AB2=AEAC，AB：AC=AE：AB,又EAB=BAC，ABEACB，ABE=ACB,從而AB=AD，連接AO交BD于F，則BF=DF=1，連接OB，由勾股定理得AF=OAOF=2，故S=BDAF=8，【變式題組】5.如圖，若PA=PB，APB=2ACB,AC與PB交于點(diǎn)D，且PB=4，PD=3,則ADDC等于（ ）A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 6.如圖，在ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，下面種情況中，ABDACB不一定成立的情況是（）A. ADBC=ABBD B.AB2=ADAC C.ABD=ACB D.ABBC=ACBD【例3】如圖，H、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BH=BQ，過B作HC的垂線，垂足為P，求證:DPPQ【解法指導(dǎo)】根據(jù)條件BPHC，只要證明DPC=BPQ即可，但本題從邊角代換證角等無處下手，可考慮用相似證明。解：BPHCBPH=CPB=90,PCB+PBC=HBP+PBC=90,HBP=BCP,HBPBCP,BP：CP=HB：HC,又BH=BQ,BC=CDBP：CP=BQ：CD,ABCD,DCP=BHP又BHP=QBP,DCP=QBP,DCPQBP,DPC=BPQ,又BPQ+CPQ=90DPC+CPQ=90,即DPPQ【變式題組】7.如圖，等邊ABC的邊長為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP=1，D為AC上一點(diǎn)，若APD=60，則CD的長為（ ）A. B. C. D. 8.已知平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線順次與AC、AD及CD的延長線相交于點(diǎn)E、F、G，若BE=5,EF=2，則FG的長是【例】在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60，點(diǎn)E、F分別在線段AD，DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且BEF=120，設(shè)AE=x，DF=y.（）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？【解法指導(dǎo)】本題是“直線上架直角”相似模型的變式探究。解：（）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60，AD120，AEBABE180120=60，BEF=120,AEBDEF18012060ABEDEF。ABEDEF。 = AE=x,DF=y,=,y與x的函數(shù)表達(dá)式是y=x（6-x）=x2+x;（2）y=x2+x=（x-3）2+,當(dāng)x=3時(shí),P有最大值，最大值為【變式題組】9.閱讀理解：如圖，在直角梯形ABCD中， ABCD,900, 點(diǎn)P在邊BC上，當(dāng)APD=90時(shí)，易證ABPPCD，從而得到BPPC=ABCD，解答下列問題：（）模型探究：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在上，當(dāng)B=C=APD時(shí),求證BPPC=ABCD（）拓展應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD中，AB=4,BC=10,CD=6,B=C=600，AOBC與于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)O、C重合）當(dāng)APD=600時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；過點(diǎn)P作PEPD，交y軸于點(diǎn)E，設(shè)OP=x，OE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.演練鞏固反饋提高1.如圖，已知零件的外徑為25mm,現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等，OCOD）量零件的內(nèi)孔直徑AB，若OC:OA=1:2，量得CD=10mm,則零件的厚度x= mm2.如圖，在正三角形ABC中,D、E、F分別是BC,AC,AB上的點(diǎn)，DEAC,EFAB,FDBC,則DEF的面積與ABC的面積之比等于（）A. 1:3 B. 2:3 C. :2 D.:33.如圖，在梯形ABCD中，ABDC，D=900，AD=DC=4，AB=1,F為AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到BC的距離是（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 4.如圖，RtABC中，ABAC，AB=3，AC=4，P是BC邊上的一點(diǎn)，作PEAB于E，PDAC于D，設(shè)BP=x，則PD+PE=（ ）A. +3 B.4 C. D. -5.如圖，直線AB經(jīng)過O上的點(diǎn)C，且OAOB，CACB，O交直線AB于點(diǎn)E、D，連接EC、CD（）求證：直線AB是O的切線（）試猜想BC、BD、BE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；（）若O半徑為，求OA的長6.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-12分別交x軸，y軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在x軸上，且ABCAOB（）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿AB向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿CA向A運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)APQ的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍（）在（）的條件下，是否存在t的值，使以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)1如圖，ABC為等腰直角三角形，C=90,若AD=AC，CE=BC，則1與2的大小關(guān)系是（）A.12 B.12 C.1=2 D.無法確定2如圖，在ABC中，BAC=90，D是BC中點(diǎn)，AE交CB延長線于點(diǎn)E，則結(jié)論正確的是（）A.AEDACD B.AEBACD C.BAEACE D.AECDAC3如圖ABC中,ABC=60，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得APB=BPC=CPA，且PA=8，PC=6，則PB=4如圖，ABC和A1B1C1均為正三角形，BC和B1C1的中點(diǎn)均為D，求證：AA1CC15如圖，設(shè)P是等邊ABC的一邊BC上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，它的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，求證：BPPC=BMCN6.如圖，在RtABC中,ACB=90，CD是角平分線，