專業(yè)課資料 練習(xí)題 真題 20次作業(yè)2003已打印 ps7_n_2003_fll

Homework 7 October 14 2003 1 某消費者的效用函數(shù)為 u x yxy x 和 y 的價格都是 1 他的收入為 200 當(dāng) x 的 價格漲至 2 元時 計算消費者剩余的變化 補償變換和等價變換 solution Cohb Douglas 效用函數(shù)下 x y 的需求函數(shù)是 2 xy x m x ppm p 2 xy y m y ppm p x y 價格是 1 收入為 200 時 200 1 1 200 100 2 x 200 1 1 200 100 2 y 消費者的效用 0 100 100 10 000uu x 的價格漲至 2 時 200 2 1 200 50 4 x 200 2 1 200 100 2 y 消費者的效用 1 50 100 5 000uu x 的價格從 1 漲至 2 時 消費者剩余的變化 The lost consumer surplus 是 22 11 100 1 200 100ln269 3CSx pdpdp p 用 C 表示補償變化 Compensating variation 有 0 2 1 2 1 200200 100 000 42 200 21 82 8 u xmCymCu CC or C 用 E 表示等價變化 Equivalent variation 有 1 1 1 200 1 1 200 200200 5 000 22 100 22 58 6 u xEyEu EE or E 注意 趙老師在課上定義的CS 就是消費者剩余的損失 見課件第 14 章第 38 頁 這 樣定義也許是為了同補償變化和等價變化具有可比性 2 證明當(dāng)效用函數(shù)為擬線形時 消費者剩余的變化 補償變換 等價變換都相等 Proof 擬線性的效用可以表示成 u x yv xy 在預(yù)算約束 x p xym 把 y 的價格標(biāo)準(zhǔn)化為 1 下 假設(shè)內(nèi)點解 x 的反需求函數(shù)是 x pv x 由此可見 x 的需求與收入無關(guān) 在 y 的價格不變時有 1 xx x pmx p y 的需求等于 xx ymp x p 這時消費者的效用水平 xxx uv x pmp x p 設(shè) x 的價格從 x p變化到 x p 則消費者剩余變化 The lost consumer surplus 是 00 xx x px p xxxx xxxxxx CSv x dxp x pv x dxp x p v x pmp x pv x pmp x p uu 設(shè)補償變化為 C 有 1 1 xx xxx xxx u x pmCy pmCu orv x pmCp x pu Cuv x pmp x puu 設(shè)等價變化為 E 有 1 1 xx xxx xxx u x pmEy pmEu orv x pmEp x pu Ev x pmp x puuu 對比可見對于擬線性的效用函數(shù)對比可見對于擬線性的效用函數(shù)CSCE 3 消費者對商品 x 和在其它商品上的開支 y 的效用函數(shù)為 yxxyxu 2 2 1 1 市場上有完全同樣的消費者 100 人 寫出市場需求函數(shù) 2 該如何定價使銷售收入最大 此時價格彈性是多少 solution 首先求解單個消費者的最優(yōu)化問題 2 1 max 2 x xxy stp xym 其他商品上的開支設(shè)它是用貨幣度量的 所以價 格標(biāo)準(zhǔn)化為 1 解聯(lián)立方程組 1 11 xx y x MUpx MU p xym 得 2 1 x xx xp ympp 1 x 的市場需求函數(shù)是單個需求函數(shù)的橫向加總 100100 1 x Xxp 2 銷售收入用 R 表示 最大化銷售收入就是 max100 1 xx Rpp 1 100 12 0 2 xx x dR pp dp 這時需求彈性是 100 1 100 1 xx x xx ppdX X dpp 4 證明所有消費品的收入彈性的加權(quán)平均為 1 權(quán)重為每個消費品的開支比例 Proof 無論任何價格 收入下 我們都有預(yù)算約束式 1 n ii i p xm 成立 對預(yù)算約束是兩邊 對收入 m 求導(dǎo)得 1 1 1 n i i i x p m LLLLLL 而 iiiiii i