第9章真空中的靜電場課后答案.pdf

課后答案網(wǎng) 用心為你服務 大學答案 中學答案 考研答案 考試答案 最全最多的課后習題參考答案 盡在課后答案網(wǎng) Khdaw團隊一直秉承用心為大家服務的宗旨 以關注學生的學習生活為出發(fā)點 旨在為廣大學生朋友的自主學習提供一個分享和交流的平臺 愛校園 課后答案網(wǎng) 淘答案 第第 9 章真空中的靜電場習題解答章真空中的靜電場習題解答 9 19 1 精密的實驗已表明 一個電子與一個質子的電量在實驗誤差為e 21 10 的 范圍內(nèi)是相等的 而中子的電量在e 21 10 的范圍內(nèi)為零 考慮這些誤差綜合的最 壞情況 問一個氧原子 含 8 個電子 8 個質子 8 個中子 所帶的最大可能凈電荷 是多少 若將原子看成質點 試比較兩個氧原子間的電力和萬有引力的大小 其凈 力是引力還是斥力 解 解 1 一個氧原子所帶的最大可能凈電荷為eq 21 max 1024 2 兩個氧原子間的電力和萬有引力的大小之比為 6 2 227 11 2 21921 12 2 2 2 2 max 0 108 2 1067 116 1067 6 106 11024 1085 84 1 4 1 r r r m G r q f f G e 氧 其凈力是引力 9 2如習題 9 2 圖所示 在直角三角形 ABC 的 A 點處 有點電荷 q1 1 8 10 9C B 點處有點電荷 q2 4 8 10 9C AC 3cm BC 4cm 試求 C 點的場強 解 解 根據(jù)點電荷場強大小的公式 22 0 1 4 qq Ek rr 點電荷 q1在 C 點產(chǎn)生的場強大小為 1 1 2 0 1 4 q E AC 9 94 1 22 1 8 10 9 101 8 10 N C 3 10 方向向下 點電荷 q2在 C 點產(chǎn)生的場強大小為 2 2 2 0 1 4 q E BC 9 94 1 22 4 8 10 9 102 7 10 N C 4 10 方向向右 C 處的總場強大小為 22 12 EEE E2 E E1 q2 A C q1 B w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 44 1 0 9 13 103 245 10 N C 總場強與分場強 E2的夾角為 1 2 arctan33 69 E E 9 3半徑為 R 的一段圓弧 圓心角為 60 一半均勻帶正電 另一半均勻帶負電 其 電荷線密度分別為 和 求圓心處的場強 解 解 在帶正電的圓弧上取一弧元 ds Rd 電荷元為 dq ds 在 O 點產(chǎn)生的場強大小為 22 000 1d1d dd 444 qs E RRR 場強的分量為 dEx dEcos dEy dEsin 對于帶負電的圓弧 同樣可得在 O 點的場強的兩個分量 由于弧形是對稱的 x 方向的 合場強為零 總場強沿著 y 軸正方向 大小為 2d sin y L EEE 6 6 0000 sin d cos 22RR 0 3 1 22R 9 4 均勻帶電細棒 棒長 a 20cm 電荷線密度為 3 10 8C m 1 求 1 棒的延長線上與棒的近端相距 d1 8cm 處的場強 2 棒的垂直平分線上與棒的中點相距 d2 8cm 處的場強 解 解 1 建立坐標系 其中 L a 2 0 1 m x L d1 0 18 m 在細棒上取一線元 dl 所帶的電量為 dq dl 根據(jù)點電荷的場強公式 電荷元在 P1點產(chǎn)生的場強的大小 為 1 22 0 dd d 4 ql Ek rxl 場強的方向沿 x 軸正向 因此 P1點的總場強大小 通過積分得 1 2 0 d 4 L L l E xl Ex x E R ds Ey O y ds Exx E R Ey O y o l x dl y P1 r L L d1 w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 0 1 4 L L xl 0 11 4xLxL 22 0 12 4 L xL 將數(shù)值代入公式得 P1點的場強為 8 9 1 22 20 1 3 10 9 10 0 180 1 E 2 41 103 N C 1 方向沿著 x 軸正向 2 建立坐標系 y d2 在細棒上取一線元 dl 所帶的電量為 dq dl 在棒的垂直平分線上的 P2點產(chǎn)生的場強的大小為 2 22 0 dd d 4 ql Ek rr 由于棒是對稱的 x 方向的合場強為零 y 分量為 dEy dE2sin 由圖可知 r d2 sin l d2cot 所以dl d2d sin2 因此 02 dsin d 4 y E d 總場強大小為 02 sind 4 L y lL E d 02 cos 4 L lL d 22 02 2 4 L lL l d dl 22 0 22 12 4 L ddL 將數(shù)值代入公式得 P2點的場強為 o l x dl r LL y P2 dEy dE2 dEx d2 w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 8 9 22 1 2 20 1 3 10 9 10 0 08 0 080 1 y E 5 27 103 N C 1 方向沿著 y 軸正向 討論 討論 1 由于 L a 2 x L d1 代入 式 化簡得 1 011011 1 44 1 a E d dad da 保持 d1不變 當 a 時 可得 1 01 4 E d 這就是半無限長帶電直線在相距為 d1的延長線上產(chǎn)生的場強大小 2 由 式得 22 02 2 4 2 y a E d da 22 02 2 1 4 1 2 d da 當 a 時 得 02 2 y E d 這就是無限長帶電直線在線外產(chǎn)生的場強公式 如果 d1 d2 則有大小關系 Ey 2E1 9 5 一無限長均勻帶電細棒被彎成如習題 9 5 圖所示的對稱形狀 試問 為何值時 圓心 O 點處的場強為零 解 解 設電荷線密度為 先計算圓弧的電荷在圓心產(chǎn)生的場 強 在圓弧上取一弧元ds R d 所帶的電量為 dq ds 在圓心處產(chǎn)生的場強的大小為 22 00 dd dd 44 qs Ek rRR 由于弧是對稱的 場強只剩 x 分量 取 x 軸方向為正 場強為 dEx dEcos 總場強為 2 2 0 2 cosd 4 x E R R O R O x d dE w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) P b a Ox dx y 2 2 0 2 sin 4R 0 sin 22R 方向沿著 x 軸正向 再計算兩根半無限長帶電直線在圓心產(chǎn)生的場強 根據(jù)上一題的公式 可得半無限長帶電直線在延長上O點產(chǎn)生的場強 大小為 0 4 E R 由于兩根半無限長帶電直線對稱放置 它們在 O 點產(chǎn)生的合場強為 0 2coscos 222 x EE R 方向沿著 x 軸負向 當 O 點合場強為零時 必有 xx EE 可得tan 2 1 因此 2 4 所以 2 9 6 一寬為 b 的無限長均勻帶電平面薄板 其電荷密度為 如習題 9 6 圖所示 試 求 平板所在平面內(nèi) 離薄板邊緣距離為a的P點處的場強 解 解 建立坐標系 在平面薄板上取一寬度為 dx 的帶電直線 電荷的線密度為 d d x 根據(jù)直線帶電線的場強公式 0 2 E r 得帶電直線在 P 點產(chǎn)生的場強為 00 dd d 22 2 x E rbax 其方向沿 x 軸正向 由于每條無限長直線在 P 點的產(chǎn)生的場強方向相同 所以總場強為 2 0 2 1 d 2 2 b b Ex bax 2 0 2 ln 2 2 b b bax O E E x R w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 0 ln 1 2 b a 場強方向沿 x 軸正向 9 7 有一半徑為r的半球面 均勻地帶有電荷 電荷面密度為 求球心處的電 場強度 解解 如 圖 所 示 在 球 面 上 任 取 一 面 元 ddsind 2 rS 其上帶電量為 ddsindd 2 rSq 電荷元qd在球心處產(chǎn)生 的場強的大小為 2 2 0 2 0 ddsin 4 1d 4 1 d r r r q E 方向如圖 由對稱性分析可知 球心處場強方向豎直 向下 其大小為 0 2 0 2 0 0 4 dcossin 4 dcosd EEE z 9 8 1 點電荷 q 位于一個邊長為 a 的立方體中心 試求在該點電荷電場中穿過立方 體一面的電通量是多少 2 如果將該場源點電荷移到立方體的的一個角上 這時通過立方體各面的電通量是 多少 解 解 點電荷產(chǎn)生的電通量為 e q 0 1 當點電荷放在中心時 電通量要穿過 6 個面 通過每一面的電通量為 1 e 6 q 6 0 2 當點電荷放在一個頂角時 電通量要穿過 8 個卦限 立方體的 3 個面在一個卦限 中 通過每個面的電通量為 1 e 24 q 24 0 立方體的另外 3 個面的法向與電力線垂直 通過每個面的電通量為零 9 9 面電荷密度為 的均勻無限大帶電平板 以平板上的一點 O 為中心 R 為半徑作 一半球面 如習題 9 9 圖所示 求通過此半球面的電通量 解 解 設想在平板下面補一個半球面 與上面的半球面合成一 個球面 球面內(nèi)包含的電荷為 q R2 R O w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 通過球面的電通量為 e q 0 通過半球面的電通量為 e e 2 R2 2 0 9 10 兩無限長同軸圓柱面 半徑分別為 R1和 R2 R2 R1 帶有等量異號電荷 單位 長度的電量分別為 和 求 1 r R1 2 R1 r R2處各點的場強 解 解 由于電荷分布具有軸對稱性 所以電場分布也具有軸對稱性 1 在內(nèi)圓柱面內(nèi)做一同軸圓柱形高斯面 由于高斯內(nèi)沒有電荷 所以 E 0 r R1 2 在兩個圓柱之間做一長度為 l 半徑為 r 的同軸圓柱形高斯面 高斯 面內(nèi)包含的電荷為q l 穿過高斯面的電通量為 SS e rlEEdSSdE 2 根據(jù)高斯定理 e q 0 所以 0 2 E r R1 r R2 9 11 一厚度為 d 的均勻帶電無限大平板 電荷體密度為 求板內(nèi)外各點的場強 解 方法一 高斯定理法解 方法一 高斯定理法 1 由于平板具有面對稱性 因此產(chǎn)生的場強的方向與平板垂直且對稱于中心面 E E 在板內(nèi)取一底面積為 S 高為 2r 的圓柱面作為高斯面 場強與上下兩表面的法線方向平等而與側面垂直 通過高斯 面的電通量為 d e S ES 20 ddd SSS ESESES 1 02ESE SES 高斯面內(nèi)的體積為V 2rS 包含的電量為q V 2 rS 根據(jù)高斯定理 e q 0 可得場強為E r 0 0 r d 2 2 穿過平板作一底面積為 S 高為 2r 的圓柱形高斯面 通過高斯面的電通量仍為 e 2ES 高斯面在板內(nèi)的體積為V Sd 包含的電量為q V Sd 根據(jù)高斯定理 e q 0 可得場強為E d 2 0 r d 2 S2 S1 E S1 S2 E E d 2rS0 E S0 w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 方法二 場強疊加法方法二 場強疊加法 1 由于平板的可視很多薄板疊而成的 以 r 為界 下 面平板產(chǎn)生的場強方向向上 上面平板產(chǎn)生的場強方向向下 在下面板中取一薄層 dy 面電荷密度為 d dy 產(chǎn)生的場強為dE1 d 2 0 積分得 1 00 2 d 222 r d yd Er 同理 上面板產(chǎn)生的場強為 2 2 00 d 222 d r yd Er r 處的總場強為 E E1 E2 r 0 2 在公式 和 中 令 r d 2 得 E2 0 E E1 d 2 0 E 就是平板表面的場強 平板外的場強是無數(shù)個無限薄的帶電平板產(chǎn)生的電場疊加的結果 是均強電場 方向與 平板垂直 大小等于平板表面的場強 也能得出 式 9 129 12 一個均勻帶電圓盤 半徑為R 電荷面密度為 求 1 軸線上任一點的電勢 用x表示該點至圓盤中心的距離 2 利用電場強度與電勢的關系求軸線上的場強分布 解解 如圖所示 將均勻帶電圓盤視為一系列連續(xù)分 布的同心帶電細圓環(huán)所組成 距O點r處取一寬為dr的 細圓環(huán) 其帶電量為rdrddq 2S dq在P點 處產(chǎn)生的電勢為 22 1 222 1 2 00 1d12d d 4 4 qr r V rxrx 所以 整個帶電圓盤在P點產(chǎn)生的電勢為 22 22 1 2 0 00 2d d 4 2 R r r VVRxx rx 軸線上的場強分布為 1 2d d 22 0 xR x x V Ex 9 13 一半徑為 R 的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為 若 在球內(nèi)挖去一塊半徑為R R 的小球體 如習題 9 13 圖所示 試求兩球心 O 與O 處的電場強度 并證明小球空腔內(nèi)的電場為 E2 dyr y o E1 d O R a R O w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 均強電場 解 解 挖去一塊小球體 相當于在該處填充一塊電荷體密度為 的小球體 因此 空間 任何一點的場強是兩個球體產(chǎn)生的場強的疊加 對于一個半徑為 R 電荷體密度為 的球體來說 當場點 P 在球內(nèi)時 過 P 點作一半徑 為 r 的同心球形高斯面 根據(jù)高斯定理可得方程 23 0 1 4 4 3 Err P 點場強大小為 0 3 Er 當場點 P 在球外時 過 P 點作一半徑為 r 的同心球形高斯面 根據(jù)高斯定理可得方程 23 0 1 4 4 3 ErR P 點場強大小為 3 2 0 3 R E r O 點在大球體中心 小球體之外 大球體在 O 點產(chǎn)生的場強為零 小球在 O 點產(chǎn)生的 場強大小為 3 2 0 3 O R E a 方向由 O 指向 O O 點在小球體中心 大球體之內(nèi) 小球體在 O 點產(chǎn)生的場強為零 大球在 O 點產(chǎn)生的 場強大小為 0 3 O Ea 方向也由 O 指向 O 證明 證明 在小球內(nèi)任一點 P 大球和小球產(chǎn)生的場強大小分別為 0 3 r Er 0 3 r Er 方向如圖所示 設兩場強之間的夾角為 合場強的平方為 222 2cos rrrr EEEE E O a r O r Er Er E P w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 222 0 2 cos 3 rrrr 根據(jù)余弦定理得 222 2 cos arrrr 所以 0 3 Ea 可見 空腔內(nèi)任意點的電場是一個常量 還可以證明 場強的方向沿著 O 到 O 的方向 因 此空腔內(nèi)的電場為勻強電場 9 14如習題 9 14 圖所示 在 A B 兩點處放有電量分別為 q 和 q 的點電荷 ROBAO 現(xiàn)將另一正試驗電荷 q0從 O 點經(jīng)過半圓弧路徑移到 C 點 求移動過程中 電場力所做的功 解 解 正負電荷在 O 點的電勢的和為零 UO 0 在 C 點產(chǎn)生的電勢為 000 4346 C qqq U RRR 電場力將正電荷 q0從 O 移到 C 所做的功為 W q0UOD q0 UO UD q0q 6 0R 9 15 真空中有兩塊相互平行的無限大均勻帶電平面 A 和 B A 平面的電荷面密度為 2 B 平面的電荷面密度為 兩面間的距離為 d 當點電荷 q 從 A 面移到 B 面時 電場力 做的功為多少 解 解 兩平面產(chǎn)生的電場強度大小分別為 EA 2 2 0 0 EB 2 0 兩平面在它們之間產(chǎn)生的場強方向相反 因此 總場強大小為 E EA EB 2 0 方向由 A 平面指向 B 平面 兩平面間的電勢差為 U Ed d 2 0 當點電荷 q 從 A 面移到 B 面時 電場力做的功為 W qU q d 2 0 9 16 一半徑為 R 的均勻帶電球面 帶電量為 Q 若規(guī)定該球面上電勢值為零 則無 限遠處的電勢為多少 解 解 帶電球面在外部產(chǎn)生的場強為 2 0 4 Q E r q q O B D C A w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 由于 dd R RR UUE r El 2 00 d 44 RR QQ r rr 0 4 Q R 當 UR 0 時 0 4 Q U R 9 17 電荷 Q 均勻地分布在半徑為 R 的球體內(nèi) 試證明離球心 r r R 處的電勢為 22 3 0 3 8 QRr U R 證明 證明 球的體積為 3 4 3 VR 電荷的體密度為 3 3 4 QQ VR 利用 9 13 題的方法可求球內(nèi)外的電場強度大小為 3 00 34 Q Err R r R 2 0 4 Q E r r R 取無窮遠處的電勢為零 則 r 處的電勢為 ddd R rrR UE rE r El 32 00 dd 44 R rR QQ r rr Rr 2 3 00 84 R rR QQ r Rr 22 3 00 84 QQ Rr RR w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 22 3 0 3 8 QRr R 9 18 在 y b 和 y b 兩個 無限大 平面間均勻充滿電荷 電荷體密度為 其他 地方無電荷 1 求此帶電系統(tǒng)的電場分布 畫 E y 圖 2 以 y 0 作為零電勢面 求電勢分布 畫 U y 圖 解 平板電荷產(chǎn)生的場強的方向與平板垂直且對稱于 中心面 E E 但方向相反 1 在板內(nèi)取一底面積為 S 高為 2y 的圓柱面作為高 斯面 場強與上下兩表面的法線方向平等而與側面垂直 通 過高斯面的電通量為 d e S ES 0 ddd2 SSS ES ESESES 12 高斯面內(nèi)的體積為V 2yS 包含的電量為q V 2 Sy 根據(jù)高斯定理 e q 0 可得場強為E y 0 b y b 穿過平板作一底面積為 S 高為 2y 的圓柱形高斯面 通過高斯面的電通量仍為地 e 2ES 高斯面在板內(nèi)的體積為V S2b 包含的電量為q V S2b 根據(jù)高斯定理 e q 0 可得場強為E b 0 b y E b 0 y b E y 圖如左圖所示 2 對于平面之間的點 電勢為 0 dd y Uy El 2 0 2 y C 在 y 0 處 U 0 所以 C 0 因此電勢為 2 0 2 y U b y b 這是一條開口向下的拋物線 當 y b 時 電勢為 00 dd nqbnqb UyyC El o b E S2 S2 E y b E b b E S1 S0 S0 S1 w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) o y E b b o y U bb 在 y b 處 U b2 2 0 所以 C b2 2 0 因此電勢為 2 00 2 bb Uy b y 當 y b 時 電勢為 00 dd bb UyyC El 在 y b 處 U b2 2 0 所以 C d2 2 0 因此電勢為 2 00 2 bb Uy 兩個公式綜合得 2 00 2 bb Uy y d 這是兩條直線 U y 圖如右圖所示 U y 圖的斜率就形成 E y 圖 在 y b 點 電場強度是連續(xù)的 因 此 在 U y 圖中兩條直線與拋物線在 y b 點相切 注意 根據(jù)電場求電勢時 如果無法確定零勢點 可不加積分的上下限 但是要在積分 之后加一個積分常量 根據(jù)其他關系確定常量 就能求出電勢 不過 線積分前面要加一個 負號 即 dU El 這是因為積分的起點位置是積分下限 9 19 兩塊 無限大 平行帶電板如習題 9 19 圖所示 A 板帶正電 B 板帶負電并接 地 地的電勢為零 設 A 和 B 兩板相隔 5 0cm 板上各帶電荷 3 3 10 6C m 2 求 1 在兩板之間離 A 板 1 0cm 處 P 點的電勢 2 A 板的電勢 解 解 兩板之間的電場強度為 E 0 方向從 A 指向 B 以 B 板為原點建立坐標系 則 rB 0 rP 0 04m rA 0 05m 1 P 點和 B 板間的電勢差為 AB P w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) dd BB PP rr PB rr UUE r El 0 BP rr 由于 UB 0 所以 P 點的電勢為 6 12 3 3 10 0 04 8 84 10 P U 1 493 104 V 2 同理可得 A 板的電勢為 0 ABA Urr 1 866 104 V 9 20 電量 q 均勻分布在長為 2L 的細直線上 試求 1 帶電直線延長線上離中點為 r 處的電勢 2 帶電直線中垂線上離中點為 r 處的電勢 3 由電勢梯度算出上述兩點的場強 解 解 電荷的線密度為 q 2L 1 建立坐標系 在細線上取一線元 dl 所帶的電量為 dq dl 根據(jù)點電荷的電勢公式 它在 P1點產(chǎn)生的電勢為 1 0 1d d 4 l U rl 總電勢為 1 0 d 4 L L l U rl 0 ln 4 L lL rl 0 ln 8 qrL LrL 2 建立坐標系 在細線上取一線元 dl 所帶的電量為 dq dl 在線的垂直平分線上 的 P2點產(chǎn)生的電勢為 2 22 1 2 0 d d 4 l U rl 積分得 2 221 2 0 1 d 4 L L Ul rl AB P ro ox dl y L r L P1 l o l x dl LL y r P2 w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 22 0 ln 4 L lL rll 22 22 0 ln 8 qrLL L rLL 22 0 ln 4 qrLL Lr 3 P1點的場強大小為 1 1 U E r 0 11 8 q L rLrL 22 0 1 4 q rL 方向沿著 x 軸正向 P2點的場強為 2 2 U E r 2222 0 1 4 qr L r rLrLL 22 0 1 4 q r rL 方向沿著 y 軸正向 9 21 如習題 9 21 圖所示 一個均勻帶電 內(nèi) 外半徑分別為 R1和 R2的均勻帶電球 殼 所帶電荷體密度為 試計算 1 A B 兩點的電勢 2 利用電勢梯度求 A B 兩點的場強 解 1 A 點在球殼的空腔內(nèi) 空腔內(nèi)的電勢處處相等 因此 A 點的電勢就等于球心 O 點的電勢 在半徑為 r 的球殼處取一厚度為 dr 的薄殼 其體積為 dV 4 r2dr 包含的電量為 dq dV 4 r2dr 在球心處產(chǎn)生的電勢為 00 d dd 4 O q Ur r r A O R1 B R2 rA rB O R1 R2 r dr w w w k h d a w c o m 課后答案網(wǎng) 球心處的總電勢為 2 1 22 21 00 d 2 R O R Ur rRR 這就是 A 點的電勢 UA 過 B 點作一球面 B 的點電勢是球面外的電荷和球面內(nèi)的電荷共同產(chǎn)生的 球面外的電荷在 B 點產(chǎn)生的電勢就等于這些電荷在球心處產(chǎn)生的電勢 根據(jù)上面的推導可 得 22 12 0 2 B URr 球面內(nèi)的電荷在 B 點產(chǎn)生的電勢等于這些電荷集中在球心處在 B 點 產(chǎn)生的電勢 球殼在球面內(nèi)的體積為 33 1 4 3 B VrR 包含的電量為Q V 這些電荷集中在球心時在 B 點產(chǎn)生的電勢為 33 21 00 43 B BB Q UrR rr B 點的電勢為 UB U1 U2 3 22 1 2 0 32 6 B B R Rr r 2 A 點的場強為 0 A A A U E r B 點的場強為 3 1 2 0 3 B BB BB UR Er