2018年上海市高考數(shù)學(xué)試題+解析.pdf

第 1頁(yè) 共 24頁(yè) 絕密絕密 啟用前啟用前 2018 年上海市高考數(shù)學(xué)試卷年上海市高考數(shù)學(xué)試卷 考試時(shí)間 120 分鐘 試卷整理 微信公眾號(hào) 浙江數(shù)學(xué) 題號(hào)一二三總分 得分 注意事項(xiàng) 1 答題前填寫好自己的姓名 班級(jí) 考號(hào)等信息 2 請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上 第第 卷 選擇題 卷 選擇題 評(píng)卷人得分 一 選擇題 共一 選擇題 共 4 小題 滿分小題 滿分 20 分 每小題分 每小題 5 分 分 1 5 分 2018 上海 設(shè) P 是橢圓 1 上的動(dòng)點(diǎn) 則 P 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的 距離之和為 A 2B 2C 2D 4 2 5 分 2018 上海 已知 a R 則 a 1 是 1 的 A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 既非充分又非必要條件 3 5 分 2018 上海 九章算術(shù) 中 稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱 錐為陽(yáng)馬 設(shè) AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱 如圖 若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn) 以 AA1為底面矩形的一邊 則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是 第 2頁(yè) 共 24頁(yè) A 4 B 8C 12 D 16 4 5 分 2018 上海 設(shè) D 是含數(shù) 1 的有限實(shí)數(shù)集 f x 是定義在 D 上的函數(shù) 若 f x 的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合 則在以下各項(xiàng)中 f 1 的可能取 值只能是 A B C D 0 第 3頁(yè) 共 24頁(yè) 第第 卷 非選擇題 卷 非選擇題 評(píng)卷人得分 二 填空題 共二 填空題 共 12 小題 滿分小題 滿分 54 分 分 5 4 分 2018 上海 行列式的值為 6 4 分 2018 上海 雙曲線 y2 1 的漸近線方程為 7 4 分 2018 上海 在 1 x 7的二項(xiàng)展開(kāi)式中 x2項(xiàng)的系數(shù)為 結(jié)果用 數(shù)值表示 8 4 分 2018 上海 設(shè)常數(shù) a R 函數(shù) f x 1og2 x a 若 f x 的反函數(shù)的 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 3 1 則 a 9 4 分 2018 上海 已知復(fù)數(shù) z 滿足 1 i z 1 7i i 是虛數(shù)單位 則 z 10 4 分 2018 上海 記等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 a3 0 a6 a7 14 則 S7 11 5 分 2018 上海 已知 2 1 1 2 3 若冪函數(shù) f x x 為奇函數(shù) 且在 0 上遞減 則 12 5 分 2018 上海 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn) A 1 0 B 2 0 E F 是 y 軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 且 2 則的最小值為 13 5 分 2018 上海 有編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼 其中 5 克 3 克 1 克砝碼各一 個(gè) 2 克砝碼兩個(gè) 從中隨機(jī)選取三個(gè) 則這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為 9 克的概率是 結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示 14 5 分 2018 上海 設(shè)等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an qn 1 n N 前 n 項(xiàng)和為 第 4頁(yè) 共 24頁(yè) Sn 若 則 q 15 5 分 2018 上海 已知常數(shù) a 0 函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P p Q q 若 2p q 36pq 則 a 16 5 分 2018 上海 已知實(shí)數(shù) x1 x2 y1 y2滿足 x12 y12 1 x22 y22 1 x1x2 y1y2 則 的最大值為 評(píng)卷人得分 三 解答題 共三 解答題 共 5 小題 滿分小題 滿分 76 分 分 17 14 分 2018 上海 已知圓錐的頂點(diǎn)為 P 底面圓心為 O 半徑為 2 1 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 4 求圓錐的體積 2 設(shè) PO 4 OA OB 是底面半徑 且 AOB 90 M 為線段 AB 的中點(diǎn) 如圖 求 異面直線 PM 與 OB 所成的角的大小 18 14 分 2018 上海 設(shè)常數(shù) a R 函數(shù) f x asin2x 2cos2x 1 若 f x 為偶函數(shù) 求 a 的值 2 若 f 1 求方程 f x 1 在區(qū)間 上的解 第 5頁(yè) 共 24頁(yè) 19 14 分 2018 上海 某群體的人均通勤時(shí)間 是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地 到工作地的平均用時(shí) 某地上班族 S 中的成員僅以自駕或公交方式通勤 分析顯示 當(dāng) S 中 x 0 x 100 的成員自駕時(shí) 自駕群體的人均通勤時(shí)間為 f x 單位 分鐘 而公交群體的人均通勤時(shí)間不受 x 影響 恒為 40 分鐘 試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列 問(wèn)題 1 當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時(shí) 公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間 2 求該地上班族 S 的人均通勤時(shí)間 g x 的表達(dá)式 討論 g x 的單調(diào)性 并說(shuō) 明其實(shí)際意義 20 17 分 2018 上海 設(shè)常數(shù) t 2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 已知點(diǎn) F 2 0 直線 l x t 曲線 y2 8x 0 x t y 0 l 與 x 軸交于點(diǎn) A 與 交于點(diǎn) B P Q 分 別是曲線 與線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn) 1 用 t 表示點(diǎn) B 到點(diǎn) F 的距離 2 設(shè) t 3 FQ 2 線段 OQ 的中點(diǎn)在直線 FP 上 求 AQP 的面積 3 設(shè) t 8 是否存在以 FP FQ 為鄰邊的矩形 FPEQ 使得點(diǎn) E 在 上 若存在 求 第 6頁(yè) 共 24頁(yè) 點(diǎn) P 的坐標(biāo) 若不存在 說(shuō)明理由 21 17 分 2018 上海 給定無(wú)窮數(shù)列 an 若無(wú)窮數(shù)列 bn 滿足 對(duì)任意 n N 都有 bn an 1 則稱 bn 與 an 接近 1 設(shè) an 是首項(xiàng)為 1 公比為 的等比數(shù)列 bn an 1 1 n N 判斷數(shù)列 bn 是否 與 an 接近 并說(shuō)明理由 2 設(shè)數(shù)列 an 的前四項(xiàng)為 a1 1 a2 2 a3 4 a4 8 bn 是一個(gè)與 an 接近的數(shù)列 記集合 M x x bi i 1 2 3 4 求 M 中元素的個(gè)數(shù) m 3 已知 an 是公差為 d 的等差數(shù)列 若存在數(shù)列 bn 滿足 bn 與 an 接近 且在 b2 b1 b3 b2 b201 b200中至少有 100 個(gè)為正數(shù) 求 d 的取值范圍 第 7頁(yè) 共 24頁(yè) 2018 年上海市高考數(shù)學(xué)試卷年上海市高考數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一 選擇題 共一 選擇題 共 4 小題 滿分小題 滿分 20 分 每小題分 每小題 5 分 分 1 5 分 2018 上海 設(shè) P 是橢圓 1 上的動(dòng)點(diǎn) 則 P 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的 距離之和為 A 2B 2C 2D 4 分析 判斷橢圓長(zhǎng)軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) 所在的軸 求出 a 接利用橢圓的定義 轉(zhuǎn)化求解 即可 解答 解 橢圓 1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)在 x 軸 a P 是橢圓 1 上的動(dòng)點(diǎn) 由橢圓的定義可知 則 P 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之 和為 2a 2 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用 橢圓的定義的應(yīng)用 是基本知識(shí)的考查 2 5 分 2018 上海 已知 a R 則 a 1 是 1 的 A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 既非充分又非必要條件 分析 a 1 a 1 或 a 0 由此能求出結(jié)果 解答 解 a R 則 a 1 a 1 或 a 0 第 8頁(yè) 共 24頁(yè) a 1 是 的充分非必要條件 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查充分條件 必要條件的判斷 考查不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 考查 運(yùn)算求解能力 考查函數(shù)與方程思想 是基礎(chǔ)題 3 5 分 2018 上海 九章算術(shù) 中 稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱 錐為陽(yáng)馬 設(shè) AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱 如圖 若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn) 以 AA1為底面矩形的一邊 則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是 A 4 B 8C 12 D 16 分析 根據(jù)新定義和正六邊形的性質(zhì)可得答案 解答 解 根據(jù)正六邊形的性質(zhì) 則 D1 A1ABB1 D1 A1AFF1滿足題意 而 C1 E1 C D E 和 D1一樣 有 2 6 12 當(dāng) A1ACC1為底面矩形 有 2 個(gè)滿足題意 當(dāng) A1AEE1為底面矩形 有 2 個(gè)滿足題意 故有 12 2 2 16 故選 D 第 9頁(yè) 共 24頁(yè) 點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義 以及排除組合的問(wèn)題 考查了棱柱的特征 屬于中檔題 4 5 分 2018 上海 設(shè) D 是含數(shù) 1 的有限實(shí)數(shù)集 f x 是定義在 D 上的函數(shù) 若 f x 的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合 則在以下各項(xiàng)中 f 1 的可能取 值只能是 A B C D 0 分析 直接利用定義性函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果 解答 解 設(shè) D 是含數(shù) 1 的有限實(shí)數(shù)集 f x 是定義在 D 上的函數(shù) 若 f x 的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合 故 f 1 cos 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn) 定義性函數(shù)的應(yīng)用 二 填空題 共二 填空題 共 12 小題 滿分小題 滿分 54 分 分 5 4 分 2018 上海 行列式的值為18 分析 直接利用行列式的定義 計(jì)算求解即可 解答 解 行列式 4 5 2 1 18 故答案為 18 點(diǎn)評(píng) 本題考查行列式的定義 運(yùn)算法則的應(yīng)用 是基本知識(shí)的考查 第 10頁(yè) 共 24頁(yè) 6 4 分 2018 上海 雙曲線 y2 1 的漸近線方程為 分析 先確定雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸 再確定雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng) 最后確 定雙曲線的漸近線方程 解答 解 雙曲線的 a 2 b 1 焦點(diǎn)在 x 軸上 而雙曲線的漸近線方程為 y 雙曲線的漸近線方程為 y 故答案為 y 點(diǎn)評(píng) 本題考察了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的幾何意義 特別是雙曲線的漸近線 方程 解題時(shí)要注意先定位 再定量的解題思想 7 4 分 2018 上海 在 1 x 7的二項(xiàng)展開(kāi)式中 x2項(xiàng)的系數(shù)為21 結(jié)果用數(shù) 值表示 分析 利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式中 x2的系數(shù) 解答 解 二項(xiàng)式 1 x 7展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr 1 xr 令 r 2 得展開(kāi)式中 x2的系數(shù)為 21 故答案為 21 點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題 是基礎(chǔ)題 8 4 分 2018 上海 設(shè)常數(shù) a R 函數(shù) f x 1og2 x a 若 f x 的反函數(shù)的 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 3 1 則 a 7 第 11頁(yè) 共 24頁(yè) 分析 由反函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù) f x 1og2 x a 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 3 由此能求 出 a 解答 解 常數(shù) a R 函數(shù) f x 1og2 x a f x 的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 3 1 函數(shù) f x 1og2 x a 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 3 log2 1 a 3 解得 a 7 故答案為 7 點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法 考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算求解能力 考查函數(shù)與方程思想 是基礎(chǔ)題 9 4 分 2018 上海 已知復(fù)數(shù) z 滿足 1 i z 1 7i i 是虛數(shù)單位 則 z 5 分析 把已知等式變形 然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn) 再由復(fù)數(shù)求模公 式計(jì)算得答案 解答 解 由 1 i z 1 7i 得 則 z 故答案為 5 點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 考查了復(fù)數(shù)模的求法 是基礎(chǔ)題 10 4 分 2018 上海 記等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 a3 0 a6 a7 14 則 S7 14 分析 利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組 求出 a1 4 d 2 由此能求出 S7 第 12頁(yè) 共 24頁(yè) 解答 解 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn a3 0 a6 a7 14 解得 a1 4 d 2 S7 7a1 28 42 14 故答案為 14 點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前 7 項(xiàng)和的求法 考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 考 查運(yùn)算求解能力 考查函數(shù)與方程思想 是基礎(chǔ)題 11 5 分 2018 上海 已知 2 1 1 2 3 若冪函數(shù) f x x 為奇函數(shù) 且在 0 上遞減 則 1 分析 由冪函數(shù) f x x 為奇函數(shù) 且在 0 上遞減 得到 a 是奇數(shù) 且 a 0 由此能求出 a 的值 解答 解 2 1 1 2 3 冪函數(shù) f x x 為奇函數(shù) 且在 0 上遞減 a 是奇數(shù) 且 a 0 a 1 故答案為 1 點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法 考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算求解能力 考查函數(shù)與方程思想 是基礎(chǔ)題 12 5 分 2018 上海 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn) A 1 0 B 2 0 E F 是 y 軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 且 2 則的最小值為 3 分析 據(jù)題意可設(shè) E 0 a F 0 b 從而得出 a b 2 即 a b 2 或 b a 2 第 13頁(yè) 共 24頁(yè) 并可求得 將 a b 2 帶入上式即可求出的最小值 同理將 b a 2 帶入 也可求出的最小值 解答 解 根據(jù)題意 設(shè) E 0 a F 0 b a b 2 或 b a 2 且 當(dāng) a b 2 時(shí) b2 2b 2 的最小值為 的最小值為 3 同理求出 b a 2 時(shí) 的最小值為 3 故答案為 3 點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo) 以及向量 坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算 二次函數(shù)求最值的公式 13 5 分 2018 上海 有編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼 其中 5 克 3 克 1 克砝碼各一 個(gè) 2 克砝碼兩個(gè) 從中隨機(jī)選取三個(gè) 則這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為 9 克的概率是 結(jié) 果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示 分析 求出所有事件的總數(shù) 求出三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為 9 克的事件總數(shù) 然后求解 概率即可 解答 解 編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼 其中 5 克 3 克 1 克砝碼各一個(gè) 2 克砝碼 兩個(gè) 從中隨機(jī)選取三個(gè) 3 個(gè)數(shù)中含有 1 個(gè) 2 2 個(gè) 2 沒(méi)有 2 3 種情況 所有的事件總數(shù)為 10 第 14頁(yè) 共 24頁(yè) 這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為 9 克的事件只有 5 3 1 或 5 2 2 兩個(gè) 所以 這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為 9 克的概率是 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型的概率的求法 是基本知識(shí)的考查 14 5 分 2018 上海 設(shè)等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an qn 1 n N 前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 則 q 3 分析 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng) 通過(guò)數(shù)列的極限 列出方程 求解公比 即可 解答 解 等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 a qn 1 n N 可得 a 1 1 因?yàn)?所以數(shù)列的公比不是 1 an 1 qn 可得 可得 q 3 故答案為 3 點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用 等比數(shù)列求和以及等比數(shù)列的簡(jiǎn)單 性質(zhì)的應(yīng)用 是基本知識(shí)的考查 15 5 分 2018 上海 已知常數(shù) a 0 函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P p Q q 若 2p q 36pq 則 a 6 第 15頁(yè) 共 24頁(yè) 分析 直接利用函數(shù)的關(guān)系式 利用恒等變換求出相應(yīng)的 a 值 解答 解 函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P p Q q 則 整理得 1 解得 2p q a2pq 由于 2p q 36pq 所以 a2 36 由于 a 0 故 a 6 故答案為 6 點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn) 函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用 代數(shù)式的變換問(wèn)題的應(yīng)用 16 5 分 2018 上海 已知實(shí)數(shù) x1 x2 y1 y2滿足 x12 y12 1 x22 y22 1 x1x2 y1y2 則 的最大值為 分析 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 x1 y1 x2 y2 由圓的方程和向 量 數(shù) 量 積 的 定 義 坐 標(biāo) 表 示 可 得 三 角 形 OAB 為 等 邊 三 角 形 AB 1 的幾何意義為點(diǎn)A B兩點(diǎn)到直線x y 1 0的距離d1與d2之和 由兩平行線的距離可得所求最大值 解答 解 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 x1 y1 x2 y2 第 16頁(yè) 共 24頁(yè) 由 x12 y12 1 x22 y22 1 x1x2 y1y2 可得 A B 兩點(diǎn)在圓 x2 y2 1 上 且 1 1 cos AOB 即有 AOB 60 即三角形 OAB 為等邊三角形 AB 1 的幾何意義為點(diǎn) A B 兩點(diǎn) 到直線 x y 1 0 的距離 d1與 d2之和 顯然 A B 在第三象限 AB 所在直線與直線 x y 1 平行 可設(shè) AB x y t 0 t 0 由圓心 O 到直線 AB 的距離 d 可得 2 1 解得 t 即有兩平行線的距離為 即 的最大值為 故答案為 點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義 以及圓的方程和運(yùn)用 考查點(diǎn)與圓 的位置關(guān)系 運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵 屬于難題 三 解答題 共三 解答題 共 5 小題 滿分小題 滿分 76 分 分 17 14 分 2018 上海 已知圓錐的頂點(diǎn)為 P 底面圓心為 O 半徑為 2 1 設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 4 求圓錐的體積 第 17頁(yè) 共 24頁(yè) 2 設(shè) PO 4 OA OB 是底面半徑 且 AOB 90 M 為線段 AB 的中點(diǎn) 如圖 求 異面直線 PM 與 OB 所成的角的大小 分析 1 由圓錐的頂點(diǎn)為 P 底面圓心為 O 半徑為 2 圓錐的母線長(zhǎng)為 4 能求出 圓錐的體積 2 以 O 為原點(diǎn) OA 為 x 軸 OB 為 y 軸 OP 為 z 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 利用 向量法能求出異面直線 PM 與 OB 所成的角 解答 解 1 圓錐的頂點(diǎn)為 P 底面圓心為 O 半徑為 2 圓錐的母線長(zhǎng)為 4 圓錐的體積 V 2 PO 4 OA OB 是底面半徑 且 AOB 90 M 為線段 AB 的中點(diǎn) 以 O 為原點(diǎn) OA 為 x 軸 OB 為 y 軸 OP 為 z 軸 建立空間直角坐標(biāo)系 P 0 0 4 A 2 0 0 B 0 2 0 M 1 1 0 O 0 0 0 1 1 4 0 2 0 設(shè)異面直線 PM 與 OB 所成的角為 則 cos 第 18頁(yè) 共 24頁(yè) arccos 異面直線 PM 與 OB 所成的角的為 arccos 點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐的體積的求法 考查異面直線所成角的正切值的求法 考查空 間中線線 線面 面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算求解能力 考查函數(shù)與方 程思想 是基礎(chǔ)題 18 14 分 2018 上海 設(shè)常數(shù) a R 函數(shù) f x asin2x 2cos2x 1 若 f x 為偶函數(shù) 求 a 的值 2 若 f 1 求方程 f x 1 在區(qū)間 上的解 分析 1 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和三角形的函數(shù)的性質(zhì)即可求出 2 先求出 a 的值 再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出 解答 解 1 f x asin2x 2cos2x f x asin2x 2cos2x f x 為偶函數(shù) f x f x asin2x 2cos2x asin2x 2cos2x 2asin2x 0 第 19頁(yè) 共 24頁(yè) a 0 2 f 1 asin 2cos2 a 1 1 a f x sin2x 2cos2x sin2x cos2x 1 2sin 2x 1 f x 1 2sin 2x 1 1 sin 2x 2x 2k 或 2x 2k k Z x k 或 x k k Z x x 或 x 或 x 點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值 以及三角函數(shù)的性質(zhì) 屬于基礎(chǔ)題 19 14 分 2018 上海 某群體的人均通勤時(shí)間 是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地 到工作地的平均用時(shí) 某地上班族 S 中的成員僅以自駕或公交方式通勤 分析顯示 當(dāng) S 中 x 0 x 100 的成員自駕時(shí) 自駕群體的人均通勤時(shí)間為 f x 單位 分鐘 而公交群體的人均通勤時(shí)間不受 x 影響 恒為 40 分鐘 試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列 問(wèn)題 1 當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時(shí) 公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間 2 求該地上班族 S 的人均通勤時(shí)間 g x 的表達(dá)式 討論 g x 的單調(diào)性 并說(shuō) 第 20頁(yè) 共 24頁(yè) 明其實(shí)際意義 分析 1 由題意知求出 f x 40 時(shí) x 的取值范圍即可 2 分段求出 g x 的解析式 判斷 g x 的單調(diào)性 再說(shuō)明其實(shí)際意義 解答 解 1 由題意知 當(dāng) 30 x 100 時(shí) f x 2x 90 40 即 x2 65x 900 0 解得 x 20 或 x 45 x 45 100 時(shí) 公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間 2 當(dāng) 0 x 30 時(shí) g x 30 x 40 1 x 40 當(dāng) 30 x 100 時(shí) g x 2x 90 x 40 1 x x 58 g x 當(dāng) 0 x 32 5 時(shí) g x 單調(diào)遞減 當(dāng) 32 5 x 100 時(shí) g x 單調(diào)遞增 說(shuō)明該地上班族 S 中有小于 32 5 的人自駕時(shí) 人均通勤時(shí)間是遞減的 有大于 32 5 的人自駕時(shí) 人均通勤時(shí)間是遞增的 當(dāng)自駕人數(shù)為 32 5 時(shí) 人均通勤時(shí)間最少 點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題 也考查了分類討論與分析問(wèn)題 解決問(wèn)題 的能力 20 17 分 2018 上海 設(shè)常數(shù) t 2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 已知點(diǎn) F 2 0 第 21頁(yè) 共 24頁(yè) 直線 l x t 曲線 y2 8x 0 x t y 0 l 與 x 軸交于點(diǎn) A 與 交于點(diǎn) B P Q 分 別是曲線 與線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn) 1 用 t 表示點(diǎn) B 到點(diǎn) F 的距離 2 設(shè) t 3 FQ 2 線段 OQ 的中點(diǎn)在直線 FP 上 求 AQP 的面積 3 設(shè) t 8 是否存在以 FP FQ 為鄰邊的矩形 FPEQ 使得點(diǎn) E 在 上 若存在 求 點(diǎn) P 的坐標(biāo) 若不存在 說(shuō)明理由 分析 1 方法一 設(shè) B 點(diǎn)坐標(biāo) 根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式 即可求得 BF 方法二 根據(jù)拋物線的定義 即可求得 BF 2 根據(jù)拋物線的性質(zhì) 求得 Q 點(diǎn)坐標(biāo) 即可求得 OD 的中點(diǎn)坐標(biāo) 即可求得直線 PF 的方程 代入拋物線方程 即可求得 P 點(diǎn)坐標(biāo) 即可求得 AQP 的面積 3 設(shè) P 及 E 點(diǎn)坐標(biāo) 根據(jù)直線 kPF kFQ 1 求得直線 QF 的方程 求得 Q 點(diǎn)坐標(biāo) 根據(jù) 求得 E 點(diǎn)坐標(biāo) 則 2 8 6 即可求得 P 點(diǎn)坐標(biāo) 解答 解 1 方法一 由題意可知 設(shè) B t 2t 則 BF t 2 BF t 2 方法二 由題意可知 設(shè) B t 2t 由拋物線的性質(zhì)可知 BF t t 2 BF t 2 2 F 2 0 FQ 2 t 3 則 FA 1 AQ Q 3 設(shè) OQ 的中點(diǎn) D D kQF 則直線 PF 方程 y x 2 第 22頁(yè) 共 24頁(yè) 聯(lián)立 整理得 3x2 20 x 12 0 解得 x x 6 舍去 AQP 的面積 S 3 存在 設(shè) P y E m 則 kPF kFQ 直線 QF 方程為 y x 2 yQ 8 2 Q 8 根據(jù) 則 E 6 2 8 6 解得 y2 存在以 FP FQ 為鄰邊的矩形 FPEQ 使得點(diǎn) E 在 上 且 P 點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì) 直線與拋物線的位置關(guān)系 考查轉(zhuǎn)化思想 計(jì)算能 力 屬于中檔題 21 17 分 2018 上海 給定無(wú)窮數(shù)列 an 若無(wú)窮數(shù)列 bn 滿足 對(duì)任意 n N 第 23頁(yè) 共 24頁(yè) 都有 bn an 1 則稱 bn 與 an 接近 1 設(shè) an 是首項(xiàng)為 1 公比為 的等比數(shù)列 bn an 1 1 n N 判斷數(shù)列 bn 是否 與 an 接近 并說(shuō)明理由 2 設(shè)數(shù)列 an 的前四項(xiàng)為 a1 1 a2 2 a3 4 a4 8 bn 是一個(gè)與 an 接近的數(shù)列 記集合 M x x bi i 1 2 3 4 求 M 中元素的個(gè)數(shù) m 3 已知 a