實(shí)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)方法及例題

經(jīng)典例題 類型一有關(guān)概念的識(shí)別 1下面幾個(gè)數(shù)： 0. 23 ， 1.010010001， ， 3， ， ，其中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 解析：本題主要考察對(duì)無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中， 1.010010001， 3， 是無理數(shù) 故選 C 舉一反三： 【變式 1】下列說法中正確的是（ ） A、 的平方根是 3 B、 1 的立方根是 1 C、 = 1 D、 是 5 的平方根的相反數(shù) 【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念， =9， 9 的平方根是 3， A正確 1 的立方根是 1， =1， 是 5 的平方根， B、 C、 D 都不正確 【變式 2】如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn) A，則點(diǎn) A表示的數(shù)是（ ） A、 1 B、 1.4 C、 D、 【答案】本題考察了數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系正方形的邊長(zhǎng)為 1，對(duì)角線為 ，由圓的定義知 |AO|= ， A表示數(shù)為 ，故選 C 【變式 3】 【答案】 = 3.1415， 9 3 10 因此 3 -9 0， 3 -10 0 類型二計(jì)算類型題 2設(shè) ，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因?yàn)?， 所以選 B 舉一反三： 【變式 1】 1） 1.25 的算術(shù)平方根是 _；平方根是 _.2） -27 立方根是 _. 3）_， _， _. 【答案】 1） ； .2） -3. 3） ， ， 【變式 2】求下列各式中的 （ 1） （ 2） （ 3） 【答案】（ 1） （ 2） x=4 或 x=-2（ 3） x=-4 類型三數(shù)形結(jié)合 3. 點(diǎn) A 在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ，點(diǎn) B 在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ，則 A， B 兩點(diǎn)的距 離為 _ 解析：在數(shù)軸上找到 A、 B兩點(diǎn)， 舉一反三： 【變式 1】如圖，數(shù)軸上表示 1， 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A， B，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) A 的對(duì)稱點(diǎn)為 C，則點(diǎn) C表示的數(shù)是（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【答案】選 C 變式 2 已知實(shí)數(shù) 、 、 在數(shù)軸上的位置如圖所示： 化簡(jiǎn) 【答案】： 類型四實(shí)數(shù)絕對(duì)值的應(yīng)用 4化簡(jiǎn)下列各式： (1) | -1.4 | (2) | -3.142| (3) | - | (4) |x-|x-3| (x 3) (5) |x2+6x+10| 分析：要正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，就要弄清絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對(duì)值的定義正確去掉絕對(duì)值。 解： (1) =1.414 1.4 | -1.4 |=1.4 - (2) =3.14159 3.142 | -3.142|=3.142- (3) , | - |= - (4) x 3, x-3 0, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3| = 說明：這里對(duì) |2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對(duì) 這個(gè)絕對(duì)值的基本概念要有清楚的認(rèn)識(shí)，并能靈活運(yùn)用。 (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| (x+3)2 0, (x+3)2+1 0 |x2+6x+10|= x2+6x+10 舉一反三： 【變式 1】化簡(jiǎn)： 【答案】 = + - = 類型五實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用 5已知： =0，求實(shí)數(shù) a, b 的值。 分析：已知等式左邊分母 不能為 0，只能有 0，則要求 a+7 0，分子 +|a2-49|=0，由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知： 3a-b=0 且 a2-49=0，由此得不等式組 從而求出 a, b 的值。 解：由題意得 由 (2)得 a2=49 a= 7 由 (3)得 a-7， a=-7 不合題意舍去。 只取 a=7 把 a=7 代入 (1)得 b=3a=21 a=7, b=21 為所求。 舉一反三： 【變式 1】已知 (x-6)2+ +|y+2z|=0，求 (x-y)3-z3的值。 解： (x-6)2+ +|y+2z|=0 且 (x-6)2 0, 0, |y+2z| 0, 幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個(gè)加數(shù)都為 0。 解這個(gè)方程組得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【變式 2】已知 那么 a+b-c 的值為 _ 【答案】初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)： ， a=2,b=-5,c=-1； a+b-c=-2 類型六實(shí)數(shù)應(yīng)用題 6有一個(gè) 邊長(zhǎng)為 11cm 的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為 13cm，寬為 8cm 的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，問邊長(zhǎng)應(yīng)為多少 cm。 解：設(shè)新正方形邊長(zhǎng)為 xcm， 根據(jù)題意得 x2=112+13 8 x2=225 x= 15 邊長(zhǎng)為正， x=-15 不合題意舍去， 只取 x=15(cm) 答：新的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)取 15cm。 舉一反三： 【變式 1】拼一拼，畫一畫： 請(qǐng)你用 4 個(gè)長(zhǎng)為 a，寬為 b 的矩形拼成一個(gè)大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個(gè)小正方形。（ 4 個(gè)長(zhǎng)方形拼圖時(shí)不重疊） （ 1）計(jì)算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？ （ 2）當(dāng)拼成的這個(gè)大正方形邊長(zhǎng)比中間小正方形邊長(zhǎng)多 3cm 時(shí)，大正方形的面積就比小正方形的面積 多 24cm2，求中間小 正方形的邊長(zhǎng) . 解析：（ 1）如圖，中間小正方形的邊長(zhǎng)是： ，所以面積為 = 大正方形的面積 = ， 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積 = 。 所以， 答：中間的小正方形的面積 ， 發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是： （或 ） (2) 大正方形的邊長(zhǎng)： ， 小正方形的邊長(zhǎng)： ，即 ， 又 大正方形的面積比小正方形的面積多 24 cm2 所以有， 化簡(jiǎn)得： 將 代入，得： cm 答：中間小正方形的邊長(zhǎng) 2.5 cm。 類型七易錯(cuò)題 7判斷下列說法是否正確 （ 1） 的算術(shù)平方根是 -3； （ 2） 的平方根是 15. （ 3）當(dāng) x=0 或 2 時(shí)， （ 4） 是分?jǐn)?shù) 解析：（ 1）錯(cuò)在對(duì)算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù) .故 （ 2） 表示 225 的算術(shù)平方根，即 =15.實(shí)際上，本題是求 15 的平方根， 故 的平方根是 . （ 3）注意到，當(dāng) x=0 時(shí)， = ，顯然此式無意義， 發(fā)生錯(cuò)誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒有平方根”，故 x 0，所以當(dāng) x=2 時(shí)， x =0. （ 4）錯(cuò)在對(duì)實(shí)數(shù)的概念理解不清 . 形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù) . 類型八引申提高 8（ 1）已知 的整數(shù)部分為 a，小數(shù)部分為 b，求 a2-b2的值 . （ 2）把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)： （ 1）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分，首先判斷這個(gè)算術(shù)平方根在哪兩個(gè)整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分 解 ：由 得 的整數(shù)部分 a=5, 的小數(shù)部分 ， （ 2）解： (1) 設(shè) x= 則 -得 9x=6 . (2) 設(shè) 則 -，得 99x=23 . (3) 設(shè) 則 -，得 999x=107， . 學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)： A 組（基礎(chǔ)） 一、細(xì)心選一選 1下列各式中正確的是（ ） A B. C. D. 2. 的平方根是 ( ) A 4 B. C. 2 D. 3. 下列說法中 無限小數(shù)都是無理數(shù) 無理數(shù)都是無限小數(shù) -2 是 4 的平方根 帶根號(hào)的數(shù)都是 無理數(shù)。其中正確的說法有（ ） A 3 個(gè) B. 2 個(gè) C. 1 個(gè) D. 0 個(gè) 4和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的是（ ） A整數(shù) B.有理數(shù) C. 無理數(shù) D. 實(shí)數(shù) 5對(duì)于 來說（ ） A有平方根 B只有算術(shù)平方根 C. 沒有平方根 D. 不能確定 6在 （兩個(gè)“ 1”之間依次多 1 個(gè)“ 0”）中，無理數(shù) 的個(gè)數(shù)有（ ） A 3 個(gè) B. 4 個(gè) C. 5 個(gè) D. 6 個(gè) 7面積為 11 的正方形邊長(zhǎng)為 x，則 x 的范圍是（ ） A B. C. D. 8下列各組數(shù)中，互為相反數(shù) 的是（ ） A -2 與 B. - 與 C. 與 D. 與 9 -8 的立方根與 4 的平方根之和是（ ） A 0 B. 4 C. 0 或 -4 D. 0 或 4 10已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是 a ，則該自然數(shù)的 下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（ ） A B. C. D. 二、耐心填一填 11 的相反數(shù)是 _，絕對(duì)值等于 的數(shù)是 _， =_。 12 的算術(shù)平方根是 _， =_。 13 _的平方根等于它本身， _的立方根等于它本身， _的算術(shù)平方根等于它本身。 14已知 x的算術(shù)平方根是 8，那么 x 的立方根是 _。 15填入兩個(gè)和為 6 的無理數(shù)，使等式成立： _+_=6。 16大于 ， 小于 的整數(shù)有 _個(gè)。 17若 2a-5與 互為相反數(shù)，則 a=_， b=_。 18若 a =6， =3，且 ab 0，則 a-b=_。 19數(shù)軸上點(diǎn) A，點(diǎn) B分別表示實(shí)數(shù) 則 A、 B兩點(diǎn)間的距離為 _。 20一個(gè)正數(shù) x 的兩個(gè)平方根分別是 a+2 和 a-4，則 a=_， x=_。 三、認(rèn)真解一解 21計(jì)算 + + 4 9 + 2（ ） （結(jié)果保留 3 個(gè)有效數(shù)字） 22在數(shù)軸上表示下列各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把這些數(shù)和它們 的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用“ ”號(hào)連接： 參考答案： 一 : 1、 B 2、 D 3、 B 4、 D 5、 C 6、 A 7、 B 8、 C 9、 C 10、 D 二： 11、 ， -3 12、 3， 13、 0； 0， ； 0， 1 14、 15、答案不唯一 如： 16、 5 17、 18、 -15 19、 2 20、 1，9 三： 21、 -17 -9 2 -36 37.9 22、 B 組（提高） 一、選擇題： 1 的算術(shù)平方根是 （ ） A 0.14 B 0.014 C D 2 的平方根是 （ ） A 6 B 36 C 6 D 3下列計(jì)算或判斷： 3 都是 27 的立方根； ； 的立方根是 2； ， 其中正確的個(gè)數(shù)有 （ ） A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 4在下列各式中，正確的是 （ ） A ； B ； C ； D 5下列說法正確的是 （ ） A有理數(shù)只是有限小數(shù) B無理數(shù)是無限小數(shù) C無限小數(shù)是無理數(shù) D 是分?jǐn)?shù) 6下列說法錯(cuò)誤的是 （ ） A B C 2 的平方根 是 D 7若 ，且 ，則 的值為 （ ） A B C D 8下列結(jié)論中正確的是 （ ） A數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的有理數(shù) ； B數(shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的無理數(shù) ； C. 兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù) ； D. 數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間還有無數(shù)個(gè)點(diǎn) 9 -27 的立方根與 的平方根之和是 （ ） A 0 B 6 C 0 或 -6 D -12 或 6 10下列計(jì)算結(jié)果正確的是 （ ） A B C D 二填空題 : 11下列各數(shù)： 3.141、 0.33333、 、 、 、 0.3030003000003（相鄰兩個(gè) 3 之間 0 的個(gè)數(shù)逐次增加 2）、 0 中 ,其中是有理數(shù)的有 _；無理數(shù)的有 _.（填序號(hào)） 12 的平方根是 _； 0.216 的立方根是 _. 13算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是 _；立方根等于它本身的數(shù)是 _. 14. 的相反數(shù)是 _；絕對(duì)值等于 的數(shù)是 _ 15一個(gè)正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?27 倍，則它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?_倍 . 三、解答題： 16計(jì)算或化簡(jiǎn)： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 17已知 ，且 x 是正數(shù)，求代數(shù)式 的值。 18觀察右圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1， 圖中陰影部分的面積是多少？