基于卡爾曼濾波的電網(wǎng)頻率檢測測與預(yù)測畢業(yè)論文.doc

華北電力大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）基于卡爾曼濾波的電網(wǎng)頻率檢測測與預(yù)測畢業(yè)論文目 錄摘 要IAbstractII第一章 緒論21.1 課題研究的背景和意義21.2 國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀3第二章 卡爾曼濾波算法的結(jié)構(gòu)特點52.1 卡爾曼濾波的基本思想52.2.1 擴張卡爾曼濾波62.2.2 無跡卡爾曼濾波82.3 卡爾曼濾波器的應(yīng)用10第三章 時變隨機信號及其測量過程數(shù)學(xué)模型的建立113.1 隨機信號簡介113.2 一維時變隨機信號的數(shù)學(xué)模型113.3 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型12第四章 向量卡爾曼濾波和預(yù)測的一般方法144.1 標(biāo)量卡爾曼濾波器的基本內(nèi)容144.2 最優(yōu)遞歸型估計器的構(gòu)成164.3 標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法174.4 標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器184.5 向量卡爾曼濾波和預(yù)測20第五章 基于卡爾曼濾波原理對電網(wǎng)頻率進行檢測和預(yù)測255.1 電力系統(tǒng)狀態(tài)空間模型255.2 基于擴展卡爾曼濾波的估計實現(xiàn)275.3 數(shù)字仿真29總 結(jié)30致 謝31參考文獻32附錄34第一章 緒論 1.1 課題研究的背景和意義隨著電力電子技術(shù)的發(fā)展，電力電子裝置帶來的頻率擾動對電力系統(tǒng)安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟運行構(gòu)成潛在威脅，給周圍電氣環(huán)境帶來了極大影響，同時也阻礙了電力電子技術(shù)的發(fā)展1。因此，對電力系統(tǒng)頻率問題的研究已被人們逐漸重視。電力電子裝置等非線性負(fù)載所產(chǎn)生的諧波會引起負(fù)載和輸電設(shè)備的過載、失控和增加損耗，甚至嚴(yán)重危害電網(wǎng)和用電設(shè)備的安全。隨著電力電子技術(shù)在家庭、工業(yè)、交通、國防日益廣泛的應(yīng)用，電力電子裝置本身功率容量和功率密度的不斷增大，電網(wǎng)頻率不穩(wěn)定也日益嚴(yán)重。 頻率不穩(wěn)定危害可以歸結(jié)為：l)消耗無功與增加線路損耗； 2)引起設(shè)備過載、降低設(shè)備絕緣等級、加速絕緣老化甚至引起火災(zāi)等； 3)降低負(fù)載工作性能(如使電機產(chǎn)生附加力矩等)； 4)影響計量準(zhǔn)確度，影響繼電保護等裝置可靠運行；5)對通信系統(tǒng)和計算機網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生電磁干擾(EMI)等；6)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，危害電網(wǎng)安全運行。 電網(wǎng)頻率不穩(wěn)定已成為許多電子設(shè)備與系統(tǒng)現(xiàn)場可靠運行的主要障礙之一，而且還嚴(yán)重阻礙了諸如變頻調(diào)速等大批高效、節(jié)能電力電子技術(shù)的推廣應(yīng)用。因此，國內(nèi)外都在加緊研究頻率不穩(wěn)定的治理方法2。近些年，我國也開發(fā)了一些電力電子頻率實時跟蹤裝置，但在功能上、實用化方面還不夠理想，還存在許多問題： 1)處理功能較差、可擴展存儲空間較小、運算速度較慢，難以運用精確嚴(yán)格的算法進行大量的實時數(shù)據(jù)處理，不滿足電力監(jiān)測實時性的要求； 2)電力系統(tǒng)中最常用微處理器包括51系列和96系列等控制型器件，但隨著電力系統(tǒng)對實時性、數(shù)據(jù)量和計算要求的不斷提高，這些器件在計算能力方面已不能很好地適應(yīng)電力系統(tǒng)的要求，致使電力系統(tǒng)的高精度測量、實時監(jiān)控和先進算法的運用受到了限制。3)有的產(chǎn)品雖然直接引進了國外的技術(shù)模塊，功能較強，可是價格較高，且不完全適合我國市場； 4)有的產(chǎn)品無通訊和控制輸出功能，不滿足電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)化、自動化的發(fā)展方向；頻率是電力系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要標(biāo)志之一，本系統(tǒng)主要針對電力系統(tǒng)中頻率進行測量，實時跟蹤電網(wǎng)中頻率的波動及變化，保證電力系統(tǒng)供電穩(wěn)定及改善國家電網(wǎng)中電能質(zhì)量。因此，有必要對電力系統(tǒng)頻率檢測與控制的研究現(xiàn)狀作較為全面的評述，為后續(xù)研究提供參考。1.2 國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀頻率的正確檢測是頻率控制的前提。頻率檢測一般可分為硬件檢測和軟件檢測兩類。硬件檢測3-4主要利用過零比較器或鎖相環(huán)實現(xiàn)。檢測方法幾乎不占用處理器時間，但是需要增加硬件偵測電路， 加大了開發(fā)成本和系統(tǒng)體積。同時，檢測結(jié)果還易受諧波和器件零點漂移影響。軟件檢測5是通過某種算法對采樣信號進行分析，得出頻率信息。軟件檢測只占用處理器一定時間，無需硬件電路，可節(jié)約成本。近年來國內(nèi)外學(xué)者提出了多種電氣信號的軟件頻率檢測算法， 分類歸納主要有以下幾種。1）基于正弦信號模型的檢測算法 對信號觀測模型進行數(shù)學(xué)變換，將待測量f或f表示為樣本值的顯函數(shù)來估計，根據(jù)正弦函數(shù)的特性，從若干個采樣值中計算電氣信號頻率，如最大值算法、采樣值積算法、采樣值累計算法、三點頻率檢測法、Mann-Morrison導(dǎo)數(shù)算法和Prodar-70二階導(dǎo)數(shù)算法等6。這類算法的優(yōu)點是原理簡單，信號觀測時間短，采樣點數(shù)較少，易于實現(xiàn)，響應(yīng)速度較快。但這類算法難以考慮諧波、非周期分量和噪聲影響，且算法推導(dǎo)有近似化過程，精度總體不高，尤其是在非穩(wěn)態(tài)下頻率測量誤差較大，適應(yīng)于測量精度要求不高的應(yīng)用場合。2） 傅里葉變換檢測算法傅里葉變換檢測算法最常用的是離散傅里葉變換DFT或快速傅里葉變換算法FFT及它們的改進算法。DFT(FFT)是一種典型的數(shù)字濾波技術(shù)，也是頻譜分析的主要工具，目前在電氣信號頻率測量乃至電參量檢測領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛。DFT(FFT)分離信號的基波及各次諧波分量，從而得到信號的電力系統(tǒng)頻率，即使頻率稍微偏移標(biāo)稱值，選擇合適的采樣技術(shù)和數(shù)據(jù)窗，利用前后窗DFT(FFT)結(jié)果能夠準(zhǔn)確地估計系統(tǒng)的頻率，精度和穩(wěn)定度好，計算量較小。3) 過零檢測法 過零檢測法（Zero-crossing Algorithm）一般采用簡單信號觀測模型，通過測量信號波形相繼過零點間的時間寬度來計算頻率。該方法物理概念清晰、計算量小，易受諧波、隨機干擾和非周期分量的影響，精度低，實時性不好，實用的測頻裝置很少單一地應(yīng)用過零檢測法算法。對它的改進主要是提高其測量精度和實時性，典型的改進算法有水平交（Level crossing）算法7、高次修正函數(shù)法8和最小二乘多項式曲線擬合法， 它們以計算量和復(fù)雜度為代價來提高算法的測量精度和響應(yīng)速度，一定程度上喪失了原始的周期法的簡明性。 4) 隨即模型算法 a) 最小二乘算法（Least Error-Square-algorithm）。最小二乘算法檢測頻率的基本原理是在最小方差意義下實現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與模型的最佳擬合，即對量測矩陣方程在極小化誤差向量加權(quán)二次范數(shù)的約束下利用觀測值求解待測量。 b) 最小絕對值近似（Least Absolute Value Approximation）。最小絕對值近似方法以極小化誤差向量的一次范數(shù)，這是它與LES算法的不同之處。LAV算法較LES算法在采樣率、數(shù)據(jù)窗長度位置及壞數(shù)據(jù)對測量精度的影響等方面有所改善，但計算量大得多。 c) 牛頓類算法（Newton-type Algorithm）。牛頓類算法基本原理是將牛頓類迭代算法和最小二乘原理結(jié)合起來求解超定非線性方程組。該算法主要用來測量系統(tǒng)諧波，由于要多次迭代，計算量很大， 尤其是在待估高次諧波分量較多時，工作量十分可觀；且算法受限于參數(shù)設(shè)置和初始值，容易出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。 d) 離散卡爾曼濾波算法。 離散(擴展)卡爾曼濾波法通過對離散隨機動態(tài)過程及其含噪聲量測變換計算信號頻率，將卡爾曼濾波算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)頻率測量的前提建立在模型（如動態(tài)方程、量測方程和隨機序列的統(tǒng)計特性）和狀態(tài)變量、協(xié)方差陣初值的正確估計基礎(chǔ)上的。第二章 卡爾曼濾波算法的結(jié)構(gòu)特點2.1 卡爾曼濾波的基本思想卡爾曼濾波是線性無偏最小均方誤差遞推濾波器。與維納濾波相比，在平穩(wěn)條件下，它們所得到的穩(wěn)態(tài)結(jié)果是一致的。然而，它們解決的方法有很大區(qū)別。維納濾波是根據(jù)全部過去的和當(dāng)前的觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當(dāng)前值，它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)或單位樣本響應(yīng)h(n)的形式給出的，因此稱這種系統(tǒng)為最佳線性過濾器或濾波器。而卡爾曼濾波是用前一個估計值和最近一個觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當(dāng)前值，是用狀態(tài)方程和遞推的方法進行估計的，其解是以估計值形式給出。因此稱這種系統(tǒng)為線性最優(yōu)估計器或濾波器?？柭^濾中信號和噪聲是狀態(tài)方程和量測方程表示的，因此設(shè)計卡爾曼濾波器要求已知狀態(tài)方程和量測方程。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器是在最小均方誤差準(zhǔn)則下的最佳線性過濾器，就是說，它使系統(tǒng)的狀態(tài)向量和狀態(tài)向量的預(yù)測值之間的均方誤差達到最小，它用狀態(tài)方程和遞推方法進行估計，它的解是以估計值形式給出的。由于它能夠?qū)ξ矬w的運動建立某種模型，因此在跟蹤中經(jīng)常被用到。當(dāng)觀測方程不是線性時，上述標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程不再適用，但是如果狀態(tài)估計值離真實值不是很遠，可以將觀測方程局部線性化，得到擴展卡爾曼濾波器(extended Kalman filtering，EKF)。由于EKF使用泰勒展開的一階近似，跟蹤一段時間之后，經(jīng)常會引起很大的參數(shù)估計的累計誤差。為此，無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter ，UKF) 不再近似估計觀測方程，它仍然用高斯隨機變量表示狀態(tài)分布，不過是用特定選擇的樣本點加以描述。與EKF 相比，UKF 的誤差僅僅出現(xiàn)在三階以上的矩中，而且計算也簡單，而EKF 僅僅精確到一階矩?？偟膩碚f，卡爾曼濾波是一個線性的估計器，能夠有效地跟蹤物體的運動和形狀變化，但它基于兩個假設(shè)：一是背景相對干凈；二是運動參數(shù)服從高斯分布9。因而適用范圍有限，對于復(fù)雜的多峰情況，還得求助于其它方法。2.2 卡爾曼濾波器的原理卡爾曼濾波的含義是現(xiàn)時刻的最佳估計為在前一時刻的最佳估計的基礎(chǔ)上根據(jù)現(xiàn)時刻的觀測值作線性修正?？柭鼮V波在數(shù)學(xué)上是一種線性最小方差統(tǒng)計估算方法，它是通過處理一系列帶有誤差的實際測量數(shù)據(jù)而得到物理參數(shù)的最佳估算。其實質(zhì)要解決的問題是要尋找在最小均方誤差下的估計值。它的特點是可以用遞推的方法計算，其所需數(shù)據(jù)存儲量較小，便于進行實時處理。具體來說，卡爾曼濾波就是要用預(yù)測方程和測量方程對系統(tǒng)狀態(tài)進行估計。設(shè)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程分別為： (2-1) (2-2)上兩式子中，是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，和是k-1時刻到k時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是k時刻的測量值，是測量系統(tǒng)的參數(shù)，和分別表示過程和測量的噪聲，他們被假設(shè)成高斯白噪聲。如果被估計狀態(tài)和觀測量是滿足上述第一式，系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲滿足第二式的假設(shè)，k時刻的觀測的估計可按下述方程求解。進一步預(yù)測： (2-3)狀態(tài)估計： (2-4) 濾波增益矩陣： (2-5) 一步預(yù)測誤差方差陣： (2-6) 估計誤差方差陣： (2-7)上述就是卡爾曼濾波器的5條基本公式，只有給定初值和，根據(jù)k時刻的觀測值，就可以遞推計算得k時刻的狀態(tài)估計（K=1，2，N）。2.2.1 擴張卡爾曼濾波由于在實際中廣泛存在的是非線性狀態(tài)空間模型，使得常規(guī)卡爾曼濾波在電能質(zhì)量分析中的應(yīng)用存在困難，于是便出現(xiàn)了諸多針對非線性模型的次優(yōu)方10，其中應(yīng)用最廣泛的是擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filtering，EKF)。EKF 是將非線性系統(tǒng)線性化，與線性卡爾曼濾波公式完全類似。其主要思想是對非線性函數(shù)的泰勒展開式進行截斷，實現(xiàn)非線性函數(shù)的線性化。根據(jù)泰勒展開式進行的是1 階還是2 階截取，EKF 主要分為1 階EKF(first order EKF)和2 階EKF(second order EKF)。電能質(zhì)量分析中最常用的是1 階EKF，原理簡述如下。假如非線性系統(tǒng)可表示為x(t)= f x(t),t+w(t) (2-8) y(t)=hx(t),t+v(t) (2-9)式中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)向量；y(t)為系統(tǒng)量測向量；f 和h 是關(guān)于狀態(tài)的非線性函數(shù)；w 和v 均是均值為零的高斯白噪聲。式(2-8)(2-9)分別是狀態(tài)方程和量測方程。為了使卡爾曼濾波應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中，非線性系統(tǒng)必須在指定位置進行泰勒展開，實現(xiàn)線性化。推導(dǎo)過程如下：利用泰勒公式，分別在和 處對狀態(tài)方程和觀測方程進行 1階泰勒展開，可得 （2-10） (2-11) 假設(shè) （2-12） (2-13) (2-14) 則式(2-10)(2-11)可改寫成與常規(guī)卡爾曼方程相似的形式： (2-15) (2-16) 1階EKF遞推方程組與常規(guī)卡爾曼濾波遞推方程組在形式上相同，不同的是:KF中的和被1階EKF中的Jacobian 矩陣At和Ht代替，并且預(yù)測平均值和預(yù)測的冗余在EKF 中也分別計算,其遞推方程與卡爾曼濾波相同。在電能質(zhì)量分析中，A、B 矩陣的設(shè)計略有不同。1991 年，Beides H M 和Heydt G T 提出用擴展卡爾曼濾波獲得電力系統(tǒng)諧波的動態(tài)狀態(tài)估計，經(jīng)過實驗室仿真和實測試驗證明擴展卡爾曼濾波能動態(tài)地追蹤諧波內(nèi)容和時間。1993 年，Kamwa也將EKF 引入電力系統(tǒng)電能質(zhì)量分析中，用于測量閃變。雖然擴展卡爾曼濾波有很好的發(fā)展前景，但它在實際應(yīng)用中存在明顯的缺陷：一是線性化有可能產(chǎn)生極不穩(wěn)定的濾波；二是EKF需要計算Jacobian 矩陣的導(dǎo)數(shù)，實現(xiàn)起來較為復(fù)雜，而對于一些不可微的情況,EKF可能失效。在模型非線性較強以及系統(tǒng)噪聲非高斯時，估計的精度嚴(yán)重降低，甚至?xí)斐蔀V波器發(fā)散。2.2.2 無跡卡爾曼濾波為了更精確地擬合非線性函數(shù)，Julier 提出了無跡變換(unscented transformation，UT)和無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filtering，UKF)。通過結(jié)合無跡變換和無跡卡爾曼濾波來實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計，是近年來用于解決該問題的一種新的熱點方法。它通過一組精確選擇的Sigma 點來匹配隨機量的統(tǒng)計特性，UKF 沒有涉及非線性映射函數(shù)的Jacobian 矩陣計算問題，從而使算法的實現(xiàn)比EKF 更為容易, 在保持相當(dāng)運算量的同時，具有更高的估計精度和更廣泛的適用范圍。傳統(tǒng)的線性化方法是對非線性映射本身做某種線性近似，然后再應(yīng)用線性估計的各種方法。而Julier S. J.等人提出的無跡變換則是基于用有限的參數(shù)來近似隨機量的概率統(tǒng)計特性要比近似任意的非線性映射函數(shù)更為容易的思想11。無跡變換的基本步驟可概括為：關(guān)于x 的Sigma 點集的產(chǎn)生不確定性的非線性變換與傳遞關(guān)于y 的統(tǒng)計特性的推算。無跡變換Sigma 點集的選取方式不同，會產(chǎn)生很多種變換的演變形式，其目的主要是進一步提高變換的精度，增強算法的穩(wěn)定性和減小運算量等。在應(yīng)用UKF 時首先要對狀態(tài)量進行擴展，也就是將模型噪聲也作為狀態(tài)量的一部分，相應(yīng)地，無跡變換中用到的Sigma 點也需要擴展，具體表示如下。擴展?fàn)顟B(tài)方程的初始值： （2-17） （2-18）式中：為模型初始狀態(tài)變量；和 分別為擴展?fàn)顟B(tài)向量的均值和協(xié)方差陣。Sigma 點集的創(chuàng)建通過下式實現(xiàn)： (2-19) 式中i=0,n,n=1,2m,m為預(yù)測空間維數(shù)；表示矩陣 平方根的第i個行向量或列向量，而矩陣平方根的常見求法是采用Cholesky分解；為k1點處的協(xié)方差； ，決定 Sigma 取的點數(shù)，是由和參數(shù)決定的函數(shù)，為控制周圍的高階非線性值的參數(shù)，是介于0.000 1 1 之間的一個常數(shù)，是次要的比例參數(shù)，通常設(shè)置為 0 或3n ，以確保 Sigma點分布的峭度與高斯分布的峭度一致。Sigma 點向量通過狀態(tài)方程的非線性影射得到： (2-20)擴展?fàn)顟B(tài)量的1 步預(yù)測為 (2-21) 擴展?fàn)顟B(tài)量1 步預(yù)測的協(xié)方差陣為 (2-22)然后計算量測空間。量測空間的Sigma點集 的創(chuàng)建通過下式實現(xiàn)：1 步預(yù)測的擴展?fàn)顟B(tài)Sigma 點向量經(jīng)過觀測方程的非線性映射得到： (2-23)觀測量的1 步預(yù)測為 (2-24)式中： ； 為合并高階狀態(tài)分布的先驗知識，高斯分布的最佳選擇是2。觀測量1 步預(yù)測的協(xié)方差陣為 （2-25）計算濾波增益矩陣： （2-26） 更新估計： （2-27） UKF在保持相當(dāng)運算量的同時具有更高的估計精度和更為廣泛的適用范圍，它在國內(nèi)的相關(guān)研究起步較晚，但發(fā)展很快?？刹榈墓_資料主要集中于最近的23 年內(nèi)，而且在電力系統(tǒng)尤其是電能質(zhì)量方面的研究成果比較少。2.3 卡爾曼濾波器的應(yīng)用卡爾曼濾波器（Kalman Filter）是一個最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法（optimal recursive data processing algorithm），它的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括航空器軌道修正、機器人系統(tǒng)控制、雷達系統(tǒng)與導(dǎo)彈追蹤等。近年來更被應(yīng)用于組合導(dǎo)航與動態(tài)定位，傳感器數(shù)據(jù)融合、微觀經(jīng)濟學(xué)等應(yīng)用研究領(lǐng)域。特別是在圖像處理領(lǐng)域如頭臉識別、圖像分割、圖像邊緣檢測等當(dāng)前熱門研究領(lǐng)域占有重要地位?？柭鼮V波作為一種數(shù)值估計優(yōu)化方法，與應(yīng)用領(lǐng)域的背景結(jié)合性很強。因此在應(yīng)用卡爾曼濾波解決實際問題時，重要的不僅僅是算法的實現(xiàn)與優(yōu)化問題，更重要的是利用獲取的領(lǐng)域知識對被認(rèn)識系統(tǒng)進行形式化描述，建立起精確的數(shù)學(xué)模型，再從這個模型出發(fā)，進行濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)工作。濾波器實際實現(xiàn)時，測量噪聲協(xié)方差R一般可以觀測得到，是濾波器的已知條件。它可以通過離線獲取一些系統(tǒng)觀測值計算出來。通常，難確定的是過程激勵噪聲協(xié)方差的Q值，因為我們無法直接觀測到過程信號。一種方法是通過設(shè)定一個合適的Q，給過程信號“注入”足夠的不確定性來建立一個簡單的可以產(chǎn)生可接受結(jié)果的過程模型。為了提高濾波器的性能，通常要按一定標(biāo)準(zhǔn)進行系數(shù)的選擇與調(diào)整?；究柭鼮V波（KF）器限定在線性的條件下，在大多數(shù)的非線性情形下，使用擴展的卡爾曼濾波（EKF）器來對系統(tǒng)狀態(tài)進行估計。隨著卡爾曼濾波理論的發(fā)展，一些實用卡爾曼濾波技術(shù)被提出來，如自適應(yīng)濾波，次優(yōu)濾波以及濾波發(fā)散抑制技術(shù)等逐漸得到廣泛應(yīng)用。其它的濾波理論也迅速發(fā)展，如線性離散系統(tǒng)的分解濾波（信息平方根濾波，序列平方根濾波，UD 分解濾波），魯棒濾波（H 波）。第三章 時變隨機信號及其測量過程數(shù)學(xué)模型的建立3.1 隨機信號簡介隨機信號又稱為不確定信號，是指無法用確定的時間函數(shù)來表達的信號。一般這類信號的頻域是連續(xù)的，而函數(shù)信號為斷續(xù)的。隨機信號是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的，不能預(yù)測其未來任何瞬時值，任何一次觀測只代表其在變動范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，其值的變動服從統(tǒng)計規(guī)律。它不是時間的確定函數(shù)，其在定義域內(nèi)的任意時刻沒有確定的函數(shù)值12。3.2 一維時變隨機信號的數(shù)學(xué)模型對每一確定的取樣時刻k，x（k）是一個隨機變量。當(dāng)取樣時刻的時標(biāo)k變化時，我們就得到一個離散的隨機過程，即隨機系列x（k）。假設(shè)待估隨機信號的數(shù)學(xué)模型是一個由白噪聲系列w（k）驅(qū)動的一階自遞歸過程，其動態(tài)方程為： （3-1）式中：參數(shù)（3-1）式中的稱為過程噪聲或動態(tài)噪聲。當(dāng)時標(biāo)k變化時，它將構(gòu)成一個白噪聲序列，其統(tǒng)計特性可用以下數(shù)字特診來描述：均值： （3-2）方差： 常數(shù) （3-3）自相關(guān)序列： （3-4）由式（3-1）式所決定的信號x（k），當(dāng)時標(biāo)k變化時，將構(gòu)成一個平穩(wěn)隨機x（k），其統(tǒng)計特性可用以下數(shù)字特性來描述：1.均值： （3-5）2.方差： 常數(shù) （3-6）3.自相關(guān)序列 當(dāng)取樣時刻的時標(biāo)k變化時，取樣時刻時標(biāo)相差j的x（k）的兩樣值間的自相關(guān)序列為 （3-7）3.3 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型信號測量過程的數(shù)學(xué)模型，可用如下的測量方差給出 （3-8）式中：為k時刻的信號值。為該時刻對進行測量所得到的信號測量樣值。為此時在測量過程中所引入的量測噪聲，可將其視為獨立的附加白噪聲。當(dāng)k變化時，將組成一個隨機信號序列，將組成一個測量樣值序列，而將組成一個附加白噪聲序列。C為量測參數(shù)，它是一個由測量系統(tǒng)和測量方法所確定的不隨時間變化的常數(shù)。因為量測噪聲序列是一個白噪聲序列，故其統(tǒng)計特性可用如下的數(shù)字特征描述：均值： （3-9）方差： 常數(shù) （3-10）自相關(guān)序列： （3-11） 又因量測噪聲序列與隨機信號序列互不相關(guān)，故 所以，我們可以看到一維時變隨機信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型，見圖3-1.圖3-1 一維時變信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型第四章 向量卡爾曼濾波和預(yù)測的一般方法4.1 標(biāo)量卡爾曼濾波器的基本內(nèi)容一維隨機信號的遞歸型估計器的一般表達式： （4-1）在信號數(shù)學(xué)模型為（3-1）式、測量過程的數(shù)學(xué)模型為（3-2）的條件下，以均方根估計誤差最小為準(zhǔn)則對估計器的加權(quán)系數(shù)和進行最優(yōu)化，并推導(dǎo)出標(biāo)量卡爾曼濾波器的最有估計的遞推算法。由（3-1）式表達的遞歸型估計器在k時刻對信號的估計誤差為 （4-2） 均方估計差為： （4-3） 若將（3-1）式代入（4-3）式，可得 （4-4） 若令對呵的偏導(dǎo)數(shù)為零，即 （4-5） （4-6）則由（4-5）式和（4-6）式中解出和將保證該遞歸型估計器的均方估計誤差為最小。根據(jù)統(tǒng)計理論中的正交原理，我們也可將（4-5）式和（4-6）式分別寫成正交方程的形式，即 （4-7） （4-8）由（4-5）式，我們可得 （4-9）再由（4-9）式出發(fā)，經(jīng)過一系列的代換可求出 （4-10）此式為經(jīng)過最優(yōu)化得到的表達式。式中：是最優(yōu)遞歸型估計器的一個時變增益，它將隨時標(biāo)k的改變而變化。a是信號模型中反映一階自遞歸過程惰性大小的參數(shù)，只要信號模型確定后，它就是一個常數(shù)。顯然，和a是兩個意義完全不同的量。我們還可以看出，由于式中還包含另一個未知的時變增益，因此它實際上只是一個和的關(guān)系式。要想最終確定，還必須求出。最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差可寫成 （4-11）由正交公式（4-7）式和（4-8）式可知，上式等號右側(cè)的后兩項為零，故 （4-12） 由測量方程（3-2）式，我們可得 （4-13）代入（4-12）式，因為信號與測量噪聲不相關(guān)，（k-1）時刻的信號估計值與k時刻的量測噪聲也補相關(guān)，故 （4-14） 我們還可以把最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差寫成 （4-15）再利用和的關(guān)系式（4-10）式 （4-16）因為、和互不相關(guān)，它們的交叉乘積項的均值都為零，故 （4-17）將（4-13）式代入（4-15）式，經(jīng)整理后求解得 （4-18）此式即經(jīng)過最優(yōu)化所得到的的表達式。4.2 最優(yōu)遞歸型估計器的構(gòu)成 由（3-1）式 （4-19） 所表述的遞歸型估計器，當(dāng)其時變增益和經(jīng)過最優(yōu)化，即分別有（4-11）式和（4-16）式給出時，就是一個最優(yōu)遞歸型估計器，其均方估計誤差最小。利用（4-11）式，我們可從（3-1）式中消去，得到 （4-20）由（4-20）式，可構(gòu)成一個最優(yōu)遞歸型估計器-標(biāo)量科爾曼濾波器，其框圖如圖4-1.圖4-1 標(biāo)量卡爾曼濾波器框圖對（4-20）式物理意義的說明：在尚未獲得k時刻的新測量樣值以前，我們只能從（k-1）時刻對信號所作出的估計出發(fā)，根據(jù)由信號數(shù)學(xué)模型所確定的規(guī)律來對k時刻的信號進行預(yù)測。由于信號數(shù)學(xué)模型中的動態(tài)噪聲的確切數(shù)值無從得知，故對的預(yù)估值只能取作?？梢姡?-20）式等號右側(cè)的第一項就是在未獲得任何新信息的情況下，根據(jù)以往的測量數(shù)據(jù)對k時刻的信號所做的預(yù)估。在k 時刻的新測量樣值尚未得到之前，我們還可對k時刻的將要測得的新測量樣值進行預(yù)估。但是，此時我們只能從對k時刻的信號的預(yù)估值出發(fā)，根據(jù)量測方程來對k時刻將要測得的作出預(yù)估。由于量測噪聲的確切數(shù)值無從得知，故對的預(yù)估值只能取作 （4-21）當(dāng)我們測得k時刻的新測量樣值后，若所測得的值與其預(yù)估值 之差不為零，就說明k時刻的新測量樣值中包含有前（k-1）次測量中所沒有的新信息。若與其預(yù)估值之差為零，則說明k時刻的新測量樣值中不包含任何新信息。因此，我們把k時刻的信號實測值與其預(yù)估值之差稱為第k 次測量中的新信息。顯然，當(dāng)我們測得k時刻的新測量樣值之后，可利用第k次測量中的新信息乘上一個比例系數(shù)作為修正項，對未測得前對信號給出的預(yù)估值進行修正，從而得到k時刻對信號的估計值?？梢姡?-20）式等號右側(cè)的第二項即為對信號預(yù)估值的修正項。4.3 標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波的基本算法是預(yù)估加修正，而公式（4-20）式、（4-21）式和（4-13）式就構(gòu)成了標(biāo)量卡爾曼濾波器在信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型分別為和)時對信號進行最優(yōu)估計的一套完整的遞推算法。（4-6）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k對信號的估計值，即 （4-22）（4-20）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的時變?yōu)V波增益，即 （4-23）（4-13）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的均方估計誤差，即 （4-24） 為了便于將標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼濾波中去，給出如下的一套完整的遞推算法：濾波估計方程 （4-25）濾波增益方程 （4-26）式中：均方誤差濾波方程： （4-27）4.4 標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器假設(shè)待測量隨機信號的數(shù)學(xué)模型為一階自遞歸過程，即 （4-28）信號測量過程的數(shù)學(xué)模型為 （4-29）線性遞歸型預(yù)測估計器可用如下的遞推方程來表述： （4-30）為使（4-30）式表述的線性預(yù)估其成為一個最優(yōu)線性預(yù)估器，就必須依據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則對（4-30）式中的時變預(yù)測增益和進行最優(yōu)化。用上節(jié)類似的方法，可以求得經(jīng)最優(yōu)化后的和的表達式以及相應(yīng)的均方預(yù)測誤差的表達式，即 （4-31） （4-32） （4-33）其中：根據(jù)（4-31）式，可由推算出；再根據(jù)（4-32）式又可由推算出。只要選定了初值，這一遞歸過程就可以不斷的進行下去。將（4-31）式代入（4-30）式，可得 （4-34） 根據(jù)（4-34）式，可以構(gòu)成一個標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器，其框圖如圖4-2所示。圖4-2 標(biāo)量卡爾曼預(yù)測期框圖圖3-2所示的標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器的一套完整的遞推算法有（4-31）式、（4-32）式、（4-33）式組成。但為了便于將這組公式直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼遞推預(yù)測中去，當(dāng)變量隨機信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型分別為和時，將（4-33）式作下改寫，即利用（4-32）式消去（4-33）式中的。經(jīng)過改寫后得到卡爾曼預(yù)測器對此信號進行遞推預(yù)測的一套完整的遞推算法，公式如下：預(yù)測估計方程 （4-35） 預(yù)測增益方程 （4-36）均方預(yù)測誤差方程 （4-37）4.5 向量卡爾曼濾波和預(yù)測與標(biāo)量情況類似，可用向量表示k時刻對隨機信號向量的最優(yōu)線性濾波估計值，用向量表示在k時刻對（k+1）時刻的隨機信號向量的最優(yōu)線性預(yù)測估計值。 對向量卡爾曼濾波來說，標(biāo)量情況下的濾波誤差此時將變成一個濾波誤差向量 （4-38）標(biāo)量情況下的均方濾波誤差，此時將變成一個濾波誤差的協(xié)方差矩陣 （4-39）同樣，對向量卡爾曼預(yù)測來說，其預(yù)測誤差向量為 （4-40）其預(yù)測協(xié)方差矩陣為 （4-41）所謂向量卡爾曼濾波器或預(yù)測器，實際上就是一種能對向量隨機信號進行最優(yōu)線性濾波或預(yù)測的遞歸型濾波器。“最優(yōu)”的含義，是指能使每個信號分量的均方估計誤差同時為最小。 考慮到向量卡爾曼濾波器或預(yù)測與標(biāo)量卡爾曼濾波器或預(yù)測無論條件上（即信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型）還是在要求上（即“最優(yōu)”的含義）都完全相似，因而，可以直接把標(biāo)量卡爾曼濾波或預(yù)測的遞推公式推廣到向量情況。 在直接引用標(biāo)量卡爾曼濾波或預(yù)測的遞推公式時，除了應(yīng)把標(biāo)量形式的信號、信號估計值和測量樣值表述成向量形式，把系統(tǒng)參數(shù)a和量測參數(shù)c表述成系統(tǒng)矩陣（或稱系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣）A和量測矩陣C，把均方估計誤差和有關(guān)噪聲和方差表述成相應(yīng)的協(xié)方差矩陣外，還應(yīng)根據(jù)表3-1將遞推公式中的標(biāo)量運算變換成相應(yīng)的矩陣運算。表4-1 從標(biāo)量運算到矩陣運算的轉(zhuǎn)換表注意：在使用表4-1時必須使變換后的沒一步矩陣運算都能進行下去，并使等號兩側(cè)最終得到的矩陣在階數(shù)上保持一致。我們可以從標(biāo)量卡爾曼濾波的遞推算法（4-26）（4-29）式直接得到向量卡爾曼濾波的遞推算法：濾波估計方程： （4-42）濾波增益方程： （4-43）式中： 濾波協(xié)方差方程： （4-44） 和標(biāo)量卡爾曼濾波器一樣，向量卡爾曼濾波器也是以預(yù)測加修正作為其遞推濾波的基本算法的?？柭鼮V波器的這一特性，使得很容易用計算機來實現(xiàn)對信號的實時濾波，為此，可采用軟件方案來實現(xiàn)卡爾曼濾波。 在向量卡爾曼濾波的一整套遞推算法中，（4-42）式可構(gòu)成向量卡爾曼濾波的主程序算法， 圖4-3給出了主程序算法的框圖。圖 4-3 向量卡爾曼濾波的主程序算法框圖從圖4-3中可以看出，向量卡爾曼濾波的主程序算法主要分三步來進行。 第一步：在已知（k-1）時刻對信號向量的估計值的條件下，用系統(tǒng)矩陣A乘以，得到在（k-1）時刻對k時刻信號向量的預(yù)測值。 第二步：用量測矩陣C乘以，得到在（k-1）時刻對k時刻的測量數(shù)據(jù)向量的預(yù)測值；再用的實測值減去預(yù)測值，得到殘差（新信息）；最后用濾波增益矩陣乘以，得到修正量。 第三步：把對信號的預(yù)測值加上修正量，得到信號的濾波估計值。 值得注意的是：在上述運算過程中，所用的濾波增益矩陣并不是在主程序中計算出來的，而是從向量卡爾曼濾波的子程序算法中計算出來的。上述運算過程中所得到的值應(yīng)存儲起來，以供下一次遞推時使用。只要確定了信號估計值的初值，例如設(shè)，則隨著時間的推移，可在測得后算出，在測得后算出，依次類推。在從（k-1）時刻到k時刻這段時間內(nèi)，只需把存儲起來。隨著遞推的不斷進行，再對它不斷更新。當(dāng)然，如果系統(tǒng)矩陣和量測矩陣是時變的，就需把和也存儲起來。 向量卡爾曼濾波的子程序算法是由（4-41）（4-44）式構(gòu)成的，其算法框圖由圖4-4所示。 從圖4-4中可以看出，向量卡爾曼濾波的子程序算法也分三步來進行。 第一步：在以知和,的條件下，利用（4-43）式求出。 第二步：將、和代入（4-42）式，求出，供主程序調(diào)用。第三步：將、和代入（4-44）式，求出并存儲起來，以供下一次遞推用。圖4-4 向量卡爾曼濾波的子程序算法框圖由于濾波增益矩陣只與矩陣、和以及濾波協(xié)方差矩陣的初值無關(guān)，而與信號的估計值和測量值無關(guān)，所以對的計算可在對信號進行估計之前就由子程序來獨立完成14。 需要指出的是：即使A、C、Q、R都是與時間無關(guān)的常數(shù)矩陣，濾波協(xié)方差矩陣和濾波增益矩陣仍將與時間有關(guān)。只要選定了濾波協(xié)方差矩陣的初值，子程序中的遞推運算即可反復(fù)進行下去，從而對和主程序所需調(diào)用的不斷進行更新。此外，由于在用（4-43）式求的過程中需對（rr）階矩陣 求逆，所以量測數(shù)據(jù)向量的維數(shù)r一般不宜取得過大。 最后把向量卡爾曼濾波的主程序算法和子程序合在一起，看看子程序中影響濾波增益的諸因數(shù)與在主程序中所起的作用。在卡爾曼主程序中：首先根據(jù)信號模型對信號進行外推預(yù)測，得到信號的外推預(yù)測值；然后，根據(jù)信號的量測方程和信號的實測值，求出殘差，經(jīng)調(diào)用加權(quán)后，作為對信號預(yù)測值的修正量；最后，將預(yù)測值和修正值相加，給出信號的濾波估計值。在主程序中是修正量的加權(quán)因子。大，意味著實際測量值在濾波估計中所起的作用大；小，意味著外推預(yù)測值在濾波估計中所起的作用大。的大小是在卡爾曼濾波的子程序中計算出來的。從（4-43）式可知，的大小與有關(guān)。若變小，則變大。這一結(jié)果的物理意義很明顯。變小意味著測量過程中引入的量測噪聲變小，因此信號實測值的準(zhǔn)確度較高。此時，當(dāng)然把取大一些，使信號的濾波估計值依賴實測值的比重加大15。從（4-43）式還可知，的大小還與有關(guān)，即與預(yù)測誤差的協(xié)方差有關(guān)。根據(jù)（4-44）式，若變小，或變小，或兩者都變小，則變小。此時，也變小。這一結(jié)果的物理意義也不難理解。變小意味著原有濾波估計值較為準(zhǔn)確，變小意味著動態(tài)過程噪聲在信號模型中起的作用較小，這都會使信號的外推預(yù)測值的可靠性提高。這一點，也可以從預(yù)測協(xié)方差變小看出。此時，當(dāng)然應(yīng)把值取得小一些，使信號的濾波估計值依賴外推預(yù)測值的比重加大16。第五章 基于卡爾曼濾波原理對電網(wǎng)頻率進行檢測和預(yù)測5.1 電力系統(tǒng)狀態(tài)空間模型考慮包含個諧波的三相電壓系統(tǒng)，其離散傅里葉級數(shù)形式可以表示為： （5-1） 式中，表示諧波分量的次數(shù)；表示次諧波分量角頻率；，和分別表示各相次諧波分量有效值；，和分別表示各相次諧波分量相角；為采樣時間間隔，即采樣頻率。由式（5-1）可寫出三相電壓系統(tǒng)的正序瞬時值對稱分量為： （5-2）由于式（5-2）中含有系數(shù)，為便于分析，對式（5-2）進行修改如下： （5-3）因為負(fù)序瞬時值對稱分量為正序瞬時值對稱分量的復(fù)共軛，因此通過研究正序瞬時值對稱分量即可獲得對電網(wǎng)系統(tǒng)性能的了解。若將式（5-1）所表示的各相電壓的各次諧波分量用諧波相量表示，則有 （5-4）則正序和負(fù)序諧波對稱分量可表示為： （5-5） （5-6）式中，和分別為正序和負(fù)序基本對稱分量。對式（5-1）進行變換有 （5-7） 根據(jù)式（5-3）可得 （5-8）由式（5-8）可以看出，正序瞬時值對稱分量由很多次諧波對稱分量組成。由于在測量信號過程中存在著噪聲干擾，為減小估計誤差常需要對采樣信號進行濾波處理。 為濾波后諧波分量的最大頻率17。對式（5-8）進行變換有 （5-9）式中，；為需要估計的基本正序?qū)ΨQ分量。當(dāng)角頻率 難以確切知道時，就必須將其作為一個待估計的狀態(tài)變量，這時就需對式（5-9）進行變換。其狀態(tài)方程和量測方程可分別表示為： （5-10） （5-11）式中 ，。根據(jù)前面狀態(tài)變量的定義方法，為了將量測方程表示為矩陣形式，即： （5-12）對式（5-11）中的非線性函數(shù)進行變換，則式（5-12）可表示為： （5-13）式中，分別表示均值為零，方差為任意值的量測誤差和系統(tǒng)干擾，兩者為互不相關(guān)的高斯白噪聲序列，其統(tǒng)計特性如下: 式中，為函數(shù)，其特性為 ；為非負(fù)定矩陣；為正定矩陣。5.2 基于擴展卡爾曼濾波的估計實現(xiàn)由系統(tǒng)量測方程式（5-11），將其圍繞濾波值周圍周圍展成泰勒級數(shù)，略去二次以上項后，即可得到該系統(tǒng)的線性化模型18。即： （5-14）令 式中： 則該方程進一步可表示為： （5-15）應(yīng)用卡爾曼濾波基本方程，狀態(tài)變量的最優(yōu)估計方程為：