2019年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第二課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系練習(xí)新人教A版.docx

第二課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系1.已知點(diǎn)(2,3)在橢圓+=1上,則下列說法正確的是(D)(A)點(diǎn)(-2,3)在橢圓外(B)點(diǎn)(3,2)在橢圓上(C)點(diǎn)(-2,-3)在橢圓內(nèi)(D)點(diǎn)(2,-3)在橢圓上解析:由橢圓的對稱性知點(diǎn)(2,-3)也在橢圓上.2.直線y=k(x-2)+1與橢圓+=1的位置關(guān)系是(B)(A)相離(B)相交(C)相切(D)無法判斷解析:直線y=k(x-2)+1過定點(diǎn)P(2,1),將P(2,1)代入橢圓方程,得+b0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為(D)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:已知橢圓與直線相交弦的中點(diǎn)及斜率,可以用兩點(diǎn)式求解.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)D(1,-1),則kAB=,x1+x2=2,y1+y2=-2,兩式相減得:+=0,即=-,即=,所以a2=2b2.又因?yàn)閏=3,所以b2=9,a2=18,橢圓方程為+=1.故選D.6.橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M,N兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為,則的值是(A)(A)(B)(C)(D)解析:聯(lián)立方程組(m+n)x2-2nx+n-1=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)P(x0,y0),則x0=,y0=1-x0=1-=.所以kOP=.故選A.7.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),則的最小值為(A)(A)(B)3(C)8(D)15解析:a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4.所以c=2,所以左焦點(diǎn)F(-2,0).設(shè)P(x0,y0),則+=1.=(x0,y0),=(x0+2,y0),所以=x0(x0+2)+.由得=5-,代入得=+2x0+5=(x0+)2+.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,所以-3x03,所以當(dāng)x0=-時(shí),取最小值.故選A.8.已知橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,直線l:x=2,點(diǎn)Al,線段AF交橢圓C于點(diǎn)B,若=3,則|等于(A)(A)(B)2(C)(D)3解析:設(shè)點(diǎn)A(2,n),B(x0,y0).由橢圓C:+y2=1知a2=2,b2=1,所以c2=1,即c=1.所以右焦點(diǎn)F(1,0).由=3,得(1,n)=3(x0-1,y0).所以1=3(x0-1)且n=3y0.所以x0=,y0=n.將x0,y0代入+y2=1,得()2+(n)2=1.解得n2=1,所以|=.9.設(shè)橢圓+=1與直線x+y=t有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.解析:由方程組消去y,得16x2+9(t-x)2=144,即25x2-18tx+9t2-144=0.由=(-18t)2-425(9t2-144)0,得t225,所以-5t5.答案:-5,510.橢圓+=1上的點(diǎn)到直線x-2y-12=0的距離的最大值為.解析:設(shè)橢圓上的點(diǎn)P(4cos ,2sin ),點(diǎn)P到直線的距離d=當(dāng)cos(+)=-1時(shí),距離取得最大值,dmax=4.答案:411.設(shè)F1,F2分別為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若F1F2P為直角三角形,該三角形的面積為.解析:由題F1PF290,不妨設(shè)PF2x軸;橢圓+=1的右焦點(diǎn)(3,0),2c=6,|F2P|=.三角形的面積為6=.答案:12.已知橢圓E:+=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于,則橢圓E的離心率的取值范圍是.解析:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,半焦距為c,連接AF1,BF1,則四邊形AF1BF為平行四邊形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根據(jù)橢圓定義,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因?yàn)辄c(diǎn)M到直線l:3x-4y=0的距離不小于,即,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c,所以0b0)上的點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).若y軸上一點(diǎn)M0,滿足|MA|=|MB|,求直線l斜率k的值.解:(1)|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=.因?yàn)閑=,所以c=1,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)可得F2(1,0),則直線的方程為y=k(x-1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓方程得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為G(,).k=0時(shí),不滿足條件;當(dāng)k0時(shí),因?yàn)閨MA|=|MB|,所以kMG=,整理得2k2-3k+1=0,解得k=1或k=.16.已知F1,F2為橢圓C:+=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)E是橢圓C上的動點(diǎn), 的取值范圍為(B)(A)7,9(B)7,8(C)8,9(D)8,17解析:由題意可知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-1,0),F2(1,0),設(shè)E(x,y),則=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=x2-1+y2=x2-1+8-x2=x2+7(-3x3),所以當(dāng)x=0時(shí),有最小值7,當(dāng)x=3時(shí),有最大值8,的取值范圍為7,8,故選B.17.如圖,圓O與離心率為的橢圓T:+=1(ab0)相切于點(diǎn)M(0,1),過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1,l2,兩直線與兩曲線分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D(均不重合).若P為橢圓上任一點(diǎn),記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1,d2,則+的最大值是(C)(A)4(B)5(C)(D)解析:易知橢圓C的方程為+y2=1,圓O的方程為x2+y2=1,設(shè)P(x0,y0),因?yàn)閘1l2,則+=PM2=+(y0-1)2,因?yàn)?=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3(y0+)2+,因?yàn)?1y01,所以當(dāng)y0=-時(shí),+取得最大值,此時(shí)點(diǎn)P(,-).18.已知動點(diǎn)P(x,y)在橢圓+=1上,若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),M為平面內(nèi)一點(diǎn),|=1,且=0,則|的最小值為.解析:由|=1,A(3,0),知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動,因?yàn)?0且P在橢圓上運(yùn)動,所以PMAM,即PM為圓A的切線,連接PA(如圖),則|=,所以當(dāng)|min=a-c=5-3=2時(shí),|min=.答案:19.若圓x2+(y-2)2=1與橢圓+=1的三個交點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,則該橢圓的離心率的值為.解析:如圖,圓x2+(y-2)2=1圓心為(0,2),半徑為1,則A(0,3),則橢圓+=1焦點(diǎn)在y軸上,即=3,則n=9,等邊三角形ABC為圓x2+(y-2)2=1的內(nèi)接正三角形,則AC=BC=AB=,所以DC=,AD=,所以O(shè)D=OA-AD=,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(,),代入橢圓方程+=1,解得m=1,所以橢圓方程x2+=1,即a=3,b=1,c=2,所以橢圓的離心率e=.答案:20.已知橢圓C:+=1(ab0)的一個長軸頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí),求k的值.解:(1)因?yàn)闄E圓一個長軸頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為,所以所以b=,所以橢圓C