全國高考數(shù)學第9章算法初步統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第4節(jié)變量間的相關關系與統(tǒng)計案例教師用書文.docx

第四節(jié)變量間的相關關系與統(tǒng)計案例考綱傳真1.會做兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用1回歸分析回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法；判斷相關性的常用統(tǒng)計圖是散點圖；統(tǒng)計量有相關系數(shù)與相關指數(shù)(1)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關(2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個變量具有線性相關關系2線性回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸方程為x，則，.其中，是回歸方程的斜率，是在y軸上的截距3殘差分析(1)殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，它們的隨機誤差為eiyibxia，i1,2，n，其估計值為iyiiyixi，i1,2，n，i稱為相應于點(xi，yi)的殘差(2)相關指數(shù)：R21.4獨立性檢驗(1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(22列聯(lián)表)為y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd則隨機變量K2(其中nabcd為樣本容量)1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系()(2)某同學研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關系，得回歸方程2.352x147.767，則氣溫為2時，一定可賣出143杯熱飲()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗()(4)若事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越小()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A.0.4x2.3B.2x2.4C.2x9.5D.0.3x4.4A因為變量x和y正相關，排除選項C，D.又樣本中心(3,3.5)在回歸直線上，排除B，選項A滿足3(2015全國卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論中不正確的是()圖941A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關D對于A選項，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確對于B選項，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確對于C選項，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，故選D.4為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算K20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是 ()A有99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀B有99%的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系C有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系D沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系D只有K26.635才能有99%的把握認為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系”，而即使K26.635也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系”這個論斷成立的可能性大小的結論，與是否有99%的人等無關，故只有D正確5(2017貴陽檢測)若8名學生的身高和體重數(shù)據(jù)如下表：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg48575464614359第3名學生的體重漏填，但線性回歸方程是0.849x85.712，則第3名學生的體重估計為_kg.50設第3名學生的體重為a，則(4857a5464614359)0.849(165165157170175165155170)85.712. 解得a50.相關關系的判斷(1)(2015湖北高考)已知變量x和y滿足關系y0.1x1，變量y與z正相關下列結論中正確的是()Ax與y正相關，x與z負相關Bx與y正相關，x與z正相關Cx與y負相關，x與z負相關Dx與y負相關，x與z正相關(2)x和y的散點圖如圖942所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_圖942x，y是負相關關系；在該相關關系中，若用yc1ec2x擬合時的相關指數(shù)為R，用x擬合時的相關指數(shù)為R，則RR；x，y之間不能建立線性回歸方程(1)C(2)(1)因為y0.1x1的斜率小于0，故x與y負相關因為y與z正相關，可設zy，0，則zy0.1x，故x與z負相關(2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負相關關系，故正確；由散點圖知用yc1ec2x擬合比用x擬合效果要好，則RR，故正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故錯誤規(guī)律方法1.利用散點圖判斷兩個變量是否有相關關系是比較直觀簡便的方法如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關關系如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關，若點散布在左上角到右下角的區(qū)域，則負相關2利用相關系數(shù)判定，當|r|越趨近于1，相關性越強當殘差平方和越小，相關指數(shù)R2越大，相關性越強變式訓練1甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關性()A甲B乙C丙D丁D在驗證兩個變量之間的線性相關關系時，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，相關性越強，在四個選項中只有丁的相關系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關性越強，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗結果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強的線性相關性線性回歸方程及應用(2016全國卷)如圖943是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖圖943注：年份代碼17分別對應年份20082014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關系數(shù)r，回歸方程t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，0.55，2分 (ti)(yi)tiyiyi40.1749.322.89，所以r0.99.因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.5分(2)由1.331及(1)得0.103.8分1.3310.10340.92.所以y關于t的回歸方程為0.920.10t.10分將2016年對應的t9代入回歸方程得0.920.1091.82. 所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸.12分規(guī)律方法1.在分析實際中兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，也可計算相關系數(shù)r進行判斷若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值2(1)正確運用計算，的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵(2)回歸直線x必過樣本點的中心(，)變式訓練2(2014全國卷)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.解(1)由所給數(shù)據(jù)計算得(1234567)4，(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3， (ti)2941014928，3分 (ti)(yi)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，0,5，4.30.542.3，所求回歸方程為0.5t2.3.6分(2)由(1)知，0.50，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.9分將2015年的年份代號t9代入(1)中的回歸方程，得0.592.36.8，故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.12分獨立性檢驗(2017鄭州調(diào)研)某高校共有學生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)(1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖944所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率； 【導學號：31222369】圖944(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.P(K2k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2.解(1)利用分層抽樣，30090，所以應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).4分(2)由頻率分布直方圖得12(0.0250.100)0.75.所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.8分(3)由(2)知，300位學生中有3000.75225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.10分又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得K2觀測值k4.7623.841.所以，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.12分規(guī)律方法1.在22列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足adbc0.|adbc|越小，說明兩個變量之間關系越弱；|adbc|越大，說明兩個變量之間關系越強2解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2計算K2的觀測值k；(3)比較k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷變式訓練3(2017濟南聯(lián)考)某市地鐵即將于2017年6月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下；月收入(單位：百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75贊成定價者人數(shù)123534認為價格偏高者人數(shù)4812521(1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結果保留2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計認為價格偏高者贊成定價者總計附：K2.P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)“贊成定價者”的月平均收入為x150.56.“認為價格偏高者”的月平均收入為x238.75，“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元).5分(2)根據(jù)條件可得22列聯(lián)表如下：月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)總計認為價格偏高者32932贊成定價者71118總計104050K26.276.635，沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”.12分思想與方法1回歸分析是處理變量相關關系的一種數(shù)學方法主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程2根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度易錯與防范1回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義根據(jù)回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值2獨立性檢驗中統(tǒng)計量K2的觀測值k的計算公式很復雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時出錯，而導致整個計算結果出錯課時分層訓練(五十七)變量間的相關關系與統(tǒng)計案例A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：y與x負相關且2.347x6.423；y與x負相關且3.476x5.648；y與x正相關且5.437x8.493；y與x正相關且4.326x4.578.其中一定不正確的結論的序號是 ()ABCDD由正負相關性的定義知一定不正確2兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是 ()A模型1的相關指數(shù)R2為0.98B模型2的相關指數(shù)R2為0.80C模型3的相關指數(shù)R2為0.50D模型4的相關指數(shù)R2為0.25A相關指數(shù)R2越大，擬合效果越好，因此模型1擬合效果最好3第31屆夏季奧林匹克運動會，中國獲26金，18銀，26銅共70枚獎牌居獎牌榜第二，并打破3次世界記錄由此許多人認為中國進入了世界體育強國之列，也有許多人持反對意見有網(wǎng)友為此進行了調(diào)查，在參加調(diào)查的2 548名男性公民中有1 560名持反對意見，2 452名女性公民中有1 200人持反對意見，在運用這些數(shù)據(jù)說明中國的獎牌數(shù)是否與中國進入體育強國有無關系時，用什么方法最有說服力()A平均數(shù)與方差B回歸直線方程C獨立性檢驗D概率C由于參加討論的公民按性別被分成了兩組，而且每一組又被分成了兩種情況：認為有關與無關，故該資料取自完全隨機統(tǒng)計，符合22列聯(lián)表的要求故用獨立性檢驗最有說服力4(2015福建高考)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程x，其中0.76，.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A11.4萬元B11.8萬元C12.0萬元D12.2萬元B由題意知，10，8，80.76100.4，當x15時，0.76150.411.8(萬元)5通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2，算得K27.8.附表：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結論是()A在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C根據(jù)獨立性檢驗的定義，由K27.86.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”二、填空題6(2017西安質(zhì)檢)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程0.67x54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_. 【導學號：31222370】68由30，得0.673054.975.設表中的“模糊數(shù)字”為a，則62a758189755，即a68.7為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下22列聯(lián)表：理科文科總計男131023女72027總計203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K24.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為_5%K24.844，根據(jù)假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.8(2017長沙雅禮中學質(zhì)檢)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程x中的2，預測當氣溫為4 時，用電量為_. 【導學號：31222371】68根據(jù)題意知10，40，因為回歸直線過樣本點的中心，所以40(2)1060，所以當x4時，y(2)(4)6068，所以用電量為68度三、解答題9(2017石家莊質(zhì)檢)微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具，據(jù)統(tǒng)計，某公司200名員工中90%的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余的員工每天使用微信的時間在一小時以上，若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段，那么使用微信的人中75%是青年人若規(guī)定：每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信，那么經(jīng)常使用微信的員工中是青年人(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關系，列出22列聯(lián)表：青年人中年人總計經(jīng)常使用微信不經(jīng)常使用微信總計(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷，是否有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關”？附：K2.P(K2k0)0.0100.001k06.63510.828解(1)由已知可得，該公司員工中使用微信的有20090%180(人)，經(jīng)常使用微信的有18060120(人)，其中青年人有12080(人)，使用微信的人中青年人有18075%135(人)，所以22列聯(lián)表：青年人中年人總計經(jīng)常使用微信8040120不經(jīng)常使用微信55560總計135451805分(2)將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得：K213.333，由于13.33310.828，所以有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關” .12分10為了研究某種細菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得如下試驗數(shù)據(jù)：天數(shù)t(天)34567繁殖個數(shù)y(千個)2.5344.56(1)求y關于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，預測t8時的細菌繁殖個數(shù)附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.解(1)由表中數(shù)據(jù)計算得，5，4， (ti)(yi)8.5， (ti)210，2分0.85，40.8550.25.所以回歸方程為0.85t0.25.5分(2)將t8代入(1)的回歸方程中得0.8580.256.55.10分故預測t8時，細菌繁殖個數(shù)為6.55千個.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為bxa，則()Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0B作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線bxa的斜率b0，當x0時，a0.故a0，b0.2(2017贛中南五校聯(lián)考)心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論，從所在學校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20)，給