圓的有關(guān)性質(zhì) (2).doc

第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(diǎn)(圓心)等于定長(zhǎng)(半徑)的點(diǎn)的集合叫圓,圓常被人們看成是最完美的事物,圓的圖形在人類(lèi)進(jìn)程中打下深深的烙印. 圓的基本性質(zhì)有:一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系,如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等;二是圓的對(duì)稱(chēng)性,圓既是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,又是一中心對(duì)稱(chēng)圖形.用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意: 1.熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明; 2.了解弧的特性及中介作用; 3.善于促成同圓或等圓中不同名稱(chēng)等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論:【例題求解】【例1】在半徑為1的O中,弦AB、AC的長(zhǎng)分別為和,則BAC度數(shù)為 . 作出輔助線(xiàn),解直角三角形,注意AB與AC有不同的位置關(guān)系.注: 由圓的對(duì)稱(chēng)性可引出許多重要定理,垂徑定理是其中比較重要的一個(gè),它溝通了線(xiàn)段、角與圓弧的關(guān)系,應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形,常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié)合起來(lái).圓是一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形,注意圓的對(duì)稱(chēng)性,可提高解與圓相關(guān)問(wèn)題周密性. 【例2】 如圖,用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形,則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A. B. C. D. 思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱(chēng)軸上,且最小圓應(yīng)盡可能通過(guò)圓形的某些頂點(diǎn),通過(guò)設(shè)未知數(shù)求解. 【例3】 如圖,已知點(diǎn)A、B、C、D順次在O上,AB=BD,BMAC于M,求證:AM=DC+CM.思路點(diǎn)撥 用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC)證明,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段相等的證明,證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它. 【例4】 如圖甲,O的直徑為AB,過(guò)半徑OA的中點(diǎn)G作弦C EAB,在CB上取一點(diǎn)D,分別作直線(xiàn)CD、ED,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,M. (1)求COA和FDM的度數(shù); (2)求證:FDMCOM; (3)如圖乙,若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn),點(diǎn)D改取在EB上,仍作直線(xiàn)CD、ED,分別交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F、M,試判斷:此時(shí)是否有FDMCOM? 證明你的結(jié)論.思路點(diǎn)撥 (1)在RtCOG中,利用OG=OA=OC;(2)證明COM=FDM,CMO=FMD;(3)利用圖甲的啟示思考.注:善于促成同圓或等圓中不同名稱(chēng)的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問(wèn)題的重要技巧,此處,要努力把圓與直線(xiàn)形相合起來(lái),認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線(xiàn)形問(wèn)題提供新的解題思路,而在解與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)常用到直線(xiàn)形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似). 【例5】 已知:在ABC中,AD為BAC的平分線(xiàn),以C為圓心,CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M,且B=CAE,EF:FD4:3.(1)求證:AFDF;(2)求AED的余弦值;(3)如果BD10,求ABC的面積. 思路點(diǎn)撥 (1)證明ADEDAE;(2)作ANBE于N,cosAED,設(shè)FE=4x,FD3x,利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線(xiàn)段用x的代數(shù)式表示;(3)尋找相似三角形,運(yùn)用比例線(xiàn)段求出x的值.注:本例的解答,需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想,綜合運(yùn)用直線(xiàn)形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵. 學(xué)歷訓(xùn)練1.D是半徑為5cm的O內(nèi)一點(diǎn),且OD3cm,則過(guò)點(diǎn)D的所有弦中,最小弦AB= .2.閱讀下面材料:對(duì)于平面圖形A,如果存在一個(gè)圓,使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑,則稱(chēng)圖形A被這個(gè)圓所覆蓋. 對(duì)于平面圖形A,如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓,使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑,則稱(chēng)圖形A被這些圓所覆蓋.例如:圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋,圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋. 回答下列問(wèn)題:(1)邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (2)邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm; (3)長(zhǎng)為2cm,寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋,r的最小值是 cm. (2003年南京市中考題)3.世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案,萬(wàn)物才顯得富有生機(jī),以下來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓:它們看上去多么美麗與和諧,這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)性. (1)請(qǐng)問(wèn)以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有 ,是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有 (分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a,b,c填空). (2)請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中,按要求分別畫(huà)出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫(huà)或徒手畫(huà)均可,但要盡可能準(zhǔn)確些,美觀些).a.是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形. b.既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.4.如圖,AB是O的直徑,CD是弦,若AB=10cm,CD8cm,那么A、B兩點(diǎn)到直線(xiàn)CD的距離之和為( )A.12cm B.10cm C. 8cm D.6cm 5.一種花邊是由如圖的弓形組成的,ACB的半徑為5,弦AB8,則弓形的高CD為( )A.2 B. C.3 D. 6.如圖,在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF,如果AB+CD=EF,那么AB+CD與E的大小關(guān)系是( )A.AB+CDEF B.AB+CD=F C. AB+CDAC,D為BAC的中點(diǎn),DEAB于E,求證:BD2-AD2=ABAC. 17.將三塊邊長(zhǎng)均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi),則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素,精確到0.1cm)18.如圖,直徑為13的O,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn),線(xiàn)段OA、OB(OAOB