初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座3.doc

數(shù)學(xué)驛站初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(三)數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題一、一、知識(shí)要點(diǎn)1、整數(shù)的十進(jìn)位數(shù)碼表示一般地，任何一個(gè)n位的自然數(shù)都可以表示成：122321110101010aaaaannnn其中，ai(i=1，2，n)表示數(shù)碼，且0ai9，an0.對(duì)于確定的自然數(shù)N，它的表示是唯一的，常將這個(gè)數(shù)記為N=121aaaann2、正整數(shù)指數(shù)冪的末兩位數(shù)字(1)(1)設(shè)m、n都是正整數(shù)，a是m的末位數(shù)字，則mn的末位數(shù)字就是an的末位數(shù)字。(2)(2)設(shè)p、q都是正整數(shù)，m是任意正整數(shù)，則m4p+q的末位數(shù)字與mq的末位數(shù)字相同。3、在與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題中，有不少問題涉及到求符合一定條件的整數(shù)是多少的問題，這類問題稱為數(shù)迷問題。這類問題不需要過多的計(jì)算，只需要認(rèn)真細(xì)致地分析，有時(shí)可以用“湊”、“猜”的方法求解，是一種有趣的數(shù)學(xué)游戲。二、二、例題精講例1、有一個(gè)四位數(shù)，已知其十位數(shù)字減去2等于個(gè)位數(shù)字，其個(gè)位數(shù)字加上2等于其百位數(shù)字，把這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)字反著次序排列所成的數(shù)與原數(shù)之和等于9988，求這個(gè)四位數(shù)。分析：將這個(gè)四位數(shù)用十進(jìn)位數(shù)碼表示，以便利用它和它的反序數(shù)的關(guān)系列式來解決問題。解：設(shè)所求的四位數(shù)為a103+b102+c10+d，依題意得：(a103+b102+c10+d)+(d103+c102+b10+a)=9988(a+d)103+(b+c)102+(b+c)10+(a+d)=9988比較等式兩邊首、末兩位數(shù)字，得a+d=8，于是b+c18又c-2=d，d+2=b，b-c=0從而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位數(shù)為1997評(píng)注：將整數(shù)用十進(jìn)位數(shù)碼表示，有助于將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，從而解決問題。例2一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“新生數(shù)”，試求所有的三位“新生數(shù)”。分析：將所有的三位“新生數(shù)”寫出來，然后設(shè)出最大、最小數(shù)，求差后分析求出所有三位“新生數(shù)”的可能值，再進(jìn)行篩選確定。解：設(shè)N是所求的三位“新生數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a、b、c(a、b、c不全相等)，將其各位數(shù)字重新排列后，連同原數(shù)共得6個(gè)三位數(shù)：cbacabbcabacacbabc,，不妨設(shè)其中的最大數(shù)為abc，則最小數(shù)為cba。由“新生數(shù)”的定義，得數(shù)學(xué)驛站N=caabccbacbaabc991010010100由上式知N為99的整數(shù)倍，這樣的三位數(shù)可能為：198，297，396，495，594，693，792，891，990。這9個(gè)數(shù)中，只有954-459=495符合條件。故495是唯一的三位“新生數(shù)”評(píng)注：本題主要應(yīng)用“新生數(shù)”的定義和整數(shù)性質(zhì)，先將三位“新生數(shù)”進(jìn)行預(yù)選，然后再?gòu)闹泻Y選出符合題意的數(shù)。這也是解答數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的一種常用方法。例3從1到1999，其中有多少個(gè)整數(shù)，它的數(shù)字和被4整除？將每個(gè)數(shù)都看成四位數(shù)(不是四位的，在左面補(bǔ)0)，0000至1999共2000個(gè)數(shù)。千位數(shù)字是0或1，百位數(shù)字從0到9中選擇，十位數(shù)字從0到9中選擇，各有10種。在千、百、十位數(shù)字選定后，個(gè)位數(shù)字在2到9中選擇，要使數(shù)字和被4整除，這時(shí)有兩種可能：設(shè)千、百、十位數(shù)字和為a，在2，3，4，5中恰好有一個(gè)數(shù)b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余數(shù)互不相同，其中恰好有一個(gè)余數(shù)是0，即相應(yīng)的數(shù)被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一個(gè)數(shù)c(=b+4)，使a+c被4整除。因而數(shù)字和被4整除的有：210102=400個(gè)再看個(gè)位數(shù)字是0或1的數(shù)。千位數(shù)字是0或1，百位數(shù)字從0到9中選擇，在千、百、個(gè)位數(shù)字選定后，十位數(shù)字在2到9中選擇。與上面相同，有兩種可能使數(shù)字和被4整除。因此數(shù)字和被4整除的又有：22102=80個(gè)。在個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字、千位數(shù)字均為0或1的數(shù)中，百位數(shù)字在2到9中選擇。有兩種可能使數(shù)字和被4整除。因此數(shù)字和被4整除的又有：2222=16個(gè)。最后，千、百、十、個(gè)位數(shù)字為0或1的數(shù)中有兩個(gè)數(shù)，數(shù)字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。于是1到1999中共有400+80+16+1=497個(gè)數(shù)，數(shù)字和被4整除。例4圓上有9個(gè)數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針方向記下，得到的是一個(gè)9位數(shù)并且能被27整除。證明：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針方向記下的話，那么所得的一個(gè)9位數(shù)也能被27整除。分析：把從某一位起按順時(shí)針方向記下的9位數(shù)記為：9321aaaa，其能被27整除。只需證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：1932aaaa也能被27整除即可。證明：設(shè)從某一位起按順時(shí)針方向記下的9位數(shù)為：9321aaaa依題意得：9321aaaa=987281101010aaaa能被27整除。為了證明題目結(jié)論，只要證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：1932aaaa也能被27整除即可。1932aaaa=197382101010aaaa109321aaaa-1932aaaa=10(987281101010aaaa)-(197382101010aaaa)數(shù)學(xué)驛站=101010109738291aaaa-(197382101010aaaa)=13191911100011010aaaa1100010009991100010001100011000223而999能被27整除，10003-1也能被27整除。因此，1932aaaa能被27整除。從而問題得證。評(píng)注：本題中，109-1難以分解因數(shù)，故將它化為10003-1，使問題得到順利解決。這種想辦法降低次數(shù)的思想，應(yīng)注意領(lǐng)會(huì)掌握。例5證明：111111+112112+113113能被10整除分析：要證明111111+112112+113113能被10整除，只需證明111111+112112+113113的末位數(shù)字為0，即證111111，112112，113113三個(gè)數(shù)的末位數(shù)字和為10。證明：111111的末位數(shù)字顯然為1；112112=(1124)28，而1124的末位數(shù)字是6，所以112112的末位數(shù)字也是6；113113=(1134)28113，1134的末位數(shù)字是1，所以113113的末位數(shù)字是3；111111，112112，113113三個(gè)數(shù)的末位數(shù)字和為1+6+3=10111111+112112+113113能被10整除評(píng)注：本題是將證明被10整除轉(zhuǎn)化為求三數(shù)的末位數(shù)字和為10。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，這是化歸思想。例6設(shè)P(m)表示自然數(shù)m的末位數(shù)，nPnPan2求199521aaa的值。解：199521aaa=112PP+222PP+199519952PP=199521199521222PPPPPP=199521199521222PP1995=10199+5，又因?yàn)檫B續(xù)10個(gè)自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是551995432119952122222222PPP=5+5=10又219961995199521PP=0199521aaa=10評(píng)注：本題用到了連續(xù)10個(gè)自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是5這個(gè)結(jié)論。數(shù)學(xué)驛站例71111111？請(qǐng)找出6個(gè)不同的自然數(shù)，分別填入6個(gè)問號(hào)中，使這個(gè)等式成立。(第三屆華杯賽口試題)分析：分子為1分母為自然數(shù)的分?jǐn)?shù)稱作單位分?jǐn)?shù)或埃及分?jǐn)?shù)，它在很多問題中經(jīng)常出現(xiàn)。解決這類問題的一個(gè)基本等式是：11111nnnn，它表明每一個(gè)埃及分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)之和。解：首先，1=2121從這個(gè)式子出發(fā)，利用上面給出的基本等式，取n=2可得：6131211=613121又利用上面給出的基本等式，取n=3可得：12141311=611214121再利用上面給出的基本等式，取n=4可得：20151411=611212015121最后再次利用上面給出的基本等式，取n=6可得：42171611=421711212015121即可找出2，5，20，12，7，42六個(gè)自然數(shù)分別填入6個(gè)問號(hào)中，使等式成立。評(píng)注：1、因?yàn)閱栴}要求填入的六個(gè)自然數(shù)要互不相同，所以每步取n時(shí)要適當(dāng)考慮，如：最后一步就不能取n=5，因?yàn)閚=5將產(chǎn)生30161，而61已出現(xiàn)了。2、本題的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得：1=6115611312015121例8如圖，在一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處填上1到9這些數(shù)數(shù)學(xué)驛站碼中的8個(gè)，每個(gè)頂點(diǎn)處只填一個(gè)數(shù)碼，使得每個(gè)面上的四個(gè)頂點(diǎn)處所填的數(shù)碼之和都相等，并且這個(gè)和數(shù)不能被那個(gè)未被填上的數(shù)碼整除。求所填入的8個(gè)數(shù)碼的平方和。(第12屆“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)題)解：設(shè)a是未填上的數(shù)碼，s是每個(gè)面上的四個(gè)頂點(diǎn)處所填的數(shù)碼之和，由于每個(gè)頂點(diǎn)都屬于3個(gè)面，所以6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a即6s=345-3a，于是2s=45-a，可以斷定a是奇數(shù)而a不整除s，所以a只能是7，則填入的8個(gè)數(shù)碼是1，2，3，4，5，6，8，9，它們的平方和是：12+22+32+42+52+62+82+92=236例9在右邊的加法算式中，每個(gè)表示一個(gè)數(shù)字，任意兩個(gè)數(shù)字都不同。試求A和B乘積的最大值。+)AB分析：先通過運(yùn)算的進(jìn)位，將能確定的確定下來，再來分析求出A和B乘積的最大值。解：設(shè)算式為：abc+)defghAB顯然，g=1，d=9，h=0a+c+f=10+B，b+c=9+A,A62(A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，A+B=8要想AB最大，A6，取A=5，B=3。此時(shí)b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故AB的最大值為15.評(píng)注：本題是通過正整數(shù)的十進(jìn)制的基本知識(shí)先確定g，d，h，然后再通過分析、觀察得出A、B的關(guān)系，最后求出AB的最大值。例10在一種游戲中，魔術(shù)師請(qǐng)一個(gè)人隨意想一個(gè)三位數(shù)abc。并請(qǐng)這個(gè)人算出5個(gè)數(shù)acb、bac、bca、cab、cba的和N，把N告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就能說出這個(gè)人所想的數(shù)abc?，F(xiàn)在設(shè)N=3194，請(qǐng)你做魔術(shù)師，求出數(shù)abc來。(第四屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)解：將abc也加到和N上，這樣a、b、c就在每一位上都恰好出現(xiàn)兩次，所以有abc+N=222(a+b+c)從而3194222(a+b+c)a1，由123aaa減去321aaa