初一競(jìng)賽講座04（有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)）.doc.doc

初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(四)有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)一、一、知識(shí)要點(diǎn)1、絕對(duì)值x的絕對(duì)值x的意義如下：x=00xxxx，如果，如果x是一個(gè)非負(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，x=0絕對(duì)值的幾何意義是：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；由此可得：ba表示數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的距離。2、倒數(shù)1除以一個(gè)數(shù)(零除外)的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積等于1。3、相反數(shù)絕對(duì)值相同而符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的和等于0。二、二、例題精講例1化簡(jiǎn)6312xxx分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零點(diǎn)，然后用零點(diǎn)分段法將絕對(duì)值去掉，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0分別求得：x=-1/2，x=3，x=6當(dāng)21x時(shí)，原式=-(2x+1)+(x-3)-(x-6)=-2x+2當(dāng)321x時(shí)，原式=(2x+1)+(x-3)-(x-6)=2x+4當(dāng)63x時(shí)，原式=(2x+1)-(x-3)-(x-6)=10當(dāng)x6時(shí)，原式=(2x+1)-(x-3)+(x-6)=2x-2原式=時(shí)當(dāng)，時(shí)當(dāng)，時(shí)當(dāng)，時(shí)當(dāng)，6x2-2x6310342222121xxxxx評(píng)注：用零點(diǎn)分段法，通過(guò)零點(diǎn)分段將絕對(duì)值去掉，從而化簡(jiǎn)式子，解決問(wèn)題是解決含絕對(duì)值問(wèn)題的基本方法。例2已知312351312xxxxx，求的最大值和最小值。(第六屆迎春01-3杯決賽試題)分析：先解不等式，求出x的范圍，然后利用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求最大值和最小值。解：解不等式2351312xxx得：117x11731xx的幾何意義是x到1的距離與x到-3的距離的差，從上圖中可以看出：當(dāng)x-3時(shí)這差取得最大值4，因117x，則當(dāng)117x時(shí)這差取得最小值1133.評(píng)注：1、本題是采用數(shù)形結(jié)合的思想，用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解題。2、本題求得x的范圍后，也可用零點(diǎn)分段法將31xx化簡(jiǎn)，然后求出最大值和最小值。31xx=117322313431xxxxxxx，當(dāng)時(shí)當(dāng)，由上式可以看出：當(dāng)x-3時(shí)取得最大值4，當(dāng)117x時(shí)取得最小值1133例3解方程013.728111415926.3yyxx(第六屆華杯賽決賽初一試題)分析：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必須都是0。解：由原方程得)2(013.72811)1(01415926.3yyxx由(1)得：1415926.3xx從而x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963由(2)得：13.72811yy從而yyy13.7811y13.72811或所以y=2001701或y=6001151于是，原方程的解是60011515707963.120017015707963.1yxyx評(píng)注：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必須都是0是解題中常用的一個(gè)結(jié)論。本題中，求1415926.3xx中的x值也可以用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解，1415926.3xx表示x到原點(diǎn)與到3.1415926的距離相等，因而x是原點(diǎn)與點(diǎn)3.1415926連結(jié)線(xiàn)段的中點(diǎn)，即x=1.5707963例4有理數(shù)cba,均不為0，且.0cba設(shè)|,|bacacbcbax試求代數(shù)式xx99192000之值。(第11屆希望杯培訓(xùn)題)分析：要求代數(shù)式xx99192000的值，必須求出x的值。根據(jù)x的特征和已知條件，分析a與b+c,b與a+c，c與a+b的關(guān)系，從而求出x的值。解：由cba,均不為0，知baaccb,均不為0.0cba).(),(),(bacacbcba即,1,1,1bacacbcba又cba,中不能全同號(hào)，故必一正二負(fù)或一負(fù)二正所以bacacbcba|,|,|中必有兩個(gè)同號(hào)，即其值為兩個(gè)1，一個(gè)1或兩個(gè)1，一個(gè)1,1|bacacbcba.1|bacacbcbax因此，20009919xx.19022000991例5已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且514131accacbbcbaab，求cabcababc的值。(第8屆希望杯試題)分析：直接對(duì)已知條件式進(jìn)行處理有點(diǎn)困難，根據(jù)已知條件式的結(jié)構(gòu)特征，可以將它們兩邊取倒數(shù)。解：由已知條件可知a0，b0，c0，對(duì)已知三式取倒數(shù)得：511411311accbba，三式相加除以2得：6111cba因?yàn)?111cbaabccabcab，所以cabcababc=61例6求方程132xx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。(1991年祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)分析：1可以化成：32xx，于是32xx32xx由絕對(duì)值的性質(zhì)：若ab0，則baba可得(x-2)(x-3)0從而求得x解：原方程可化為：32xx32xx則(x-2)(x-3)0，所以03020302xxxx或，所以2x3因此原方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解。評(píng)注：本題很巧妙地將“1”代換成32xx，然后可利用絕對(duì)值的性質(zhì)來(lái)解題。在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題時(shí)，常常要用到“1”的代換。例7求關(guān)于x的方程1)a(0012ax的所有解的和。解：由原方程得ax12，ax120a1，ax12，即x-2=(1a),x=2(1a),從而，x1=3+a，x2=3-a，x3=1+a，x4=1-ax1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和為8例8已知：的值，求，且1012422xxxaaxxx。分析：直接求值有困難，但我們發(fā)現(xiàn)將已知式和待求式倒過(guò)來(lái)能產(chǎn)生xx1，通過(guò)將xx1整體處理來(lái)求值。解：axxxaaxxx110122，且即aaaxxaxx1111111而22222224211111111aaaaxxxxxxxaaxxx2112242評(píng)注：本題通過(guò)將xx1整體處理來(lái)解決問(wèn)題，整體處理思想是一種常用的數(shù)學(xué)思想。例9解方程組222222121212yyzxxyzzx(1984年江蘇省蘇州市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：觀察得，x=y=z=0為方程組的一組解。當(dāng)xyz0時(shí)，將原方程組各方程兩邊取倒數(shù)得：)3(112)2(112)1(112222yzxyzx(1)+(2)+(3)得：2221113222yxzzyx01111113222111222222zyxzyxzyx0111111zyxx=y=z=1故原方程組的解為：111000zyxzyx或評(píng)注：本題在對(duì)方程組中的方程兩邊取倒數(shù)時(shí)，不能忘了x=y=z=0這組解。否則就會(huì)產(chǎn)生漏解。三、三、鞏固練習(xí)選擇題1、若的值是，則aaa12()A、1B、-1C、1或-1D、以上都不對(duì)2、方程132xx的解的個(gè)數(shù)是()(第四屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)A、0B、1C、2D、3E、多于3個(gè)3、下面有4個(gè)命題：存在并且只存在一個(gè)正整數(shù)和它的相反數(shù)相同。存在并且只存在一個(gè)有理數(shù)和它的相反數(shù)相同。存在并且只存在一個(gè)正整數(shù)和它的倒數(shù)相同。存在并且只存在一個(gè)有理數(shù)和它的倒數(shù)相同。其中正確的命題是：（）（A）和（B）和（C）和（D）和4、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是49，則這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和是()A、4994B、9449C、4586D、86455、設(shè)y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c為常數(shù))，已知當(dāng)x=7時(shí)，y=7，則x=-7時(shí)，y的值等于()A、-7B、-17C、17D、不確定6、若a、c、d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a+b=c，b+c=d，c+d=a，則a+b+c+d的最大值是()A、-1B、0C、1D、-5填空題7、設(shè)a0，且x21,xxaa則=8、a、b是數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)，且滿(mǎn)足ab。點(diǎn)x到a的距離是x到b的距離的2倍，則x=9、若236ma與互為相反數(shù)，則ma10、計(jì)算：10032113211321121111、若a是有理數(shù)，則|)|(|)(aaaa的最小值是.12、有理數(shù)cba,在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)._|1|1|ccabba解答題13、化簡(jiǎn)：325xx14、已知200222110112baba，求15、若abc0，求ccbb