建筑力學(xué)12-梁的應(yīng)力.ppt

9.4提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑,一般情況下，梁的設(shè)計是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件max=Mmax/Wz可以看出，梁橫截面上最大正應(yīng)力與最大彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。所以提高梁的彎曲強(qiáng)度主要從降低最大彎矩值和增大抗彎截面系數(shù)這兩方面進(jìn)行。,(1)合理布置梁的支座以簡支梁受均布荷載作用為例(圖9.21(a)，跨中最大彎矩Mmax=1/8ql2，若將兩端的支座各向中間移動0.2l(圖9.21(b)，最大彎矩將減小為Mmax=ql2/40，僅為前者的1/5。因而在同樣荷載作用下，梁的截面可減小，這樣就大大節(jié)省材料，并減輕自重。,9.4.1降低最大彎矩值,圖9.21,(2)改善荷載的布置情況若結(jié)構(gòu)上允許把集中荷載分散布置，可以降低梁的最大彎矩值。例如簡支梁在跨中受一集中力P作用(圖9.22(a)，其Mmax=1/4Pl。若在AB梁上安置一根短梁CD(圖9.22(b)，最大彎矩將減小為Mmax=1/8Pl，僅為前者的1/2。又如將集中力P分散為均布荷載q=P/l(圖9.22(c)，其最大彎矩減小為Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原來的1/2。,圖9.22,(3)合理布置荷載作用位置將荷載布置在靠近支座處比布置在跨中時，最大彎矩值要小得多。例如承受集中力P作用的簡支梁，荷載作用在梁中點時(圖9.23(a)，最大彎矩Mmax=1/4Pl，若荷載靠近支座作用(圖9.23(b)，則最大彎矩Mmax=5/36Pl，減小近一半，且隨著荷載離支座距離的縮小而繼續(xù)減小。,圖19.23,(4)適當(dāng)增加梁的支座由于梁的最大彎矩與梁的跨度有關(guān)，增加支座可以減小梁的跨度，從而降低最大彎矩值。例如均布荷載作用的簡支梁，在梁中間增加一個支座(圖9.24)，則Mmax=1/32ql2，只是原梁的1/4。,圖9.24,(1)選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積A比值高的截面梁所能承受的彎矩與抗彎截面系數(shù)Wz成正比，Wz不僅與截面的尺寸有關(guān)，還與截面的形狀有關(guān)。梁的橫截面面積愈大，Wz也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面應(yīng)該是用最小的面積得到最大的抗彎截面系數(shù)。表9.1列出幾種常用截面形狀Wz/A的比值。從表中可看出，圓形截面的比值最小，矩形截面次之，工字鋼及槽鋼較好。,9.4.2選擇合理的截面形狀,表9.1幾種常用截面Wz/A的比值,(2)根據(jù)材料的特性選擇截面由正應(yīng)力強(qiáng)度條件lmax=Mmax/Wl=Mmax/Iy1lymax=Mmax/Wy=Mmax/I2y可知，當(dāng)截面的最大拉應(yīng)力與壓應(yīng)力同時達(dá)到其許用值時，材料才能得到充分利用，故同時滿足以上兩式的截面形狀才是合理的。由以上兩式取等號相比得l/y=y1/y2,對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，由于l=y，則要求y1=y2，應(yīng)采用對稱于中性軸的截面，如矩形、圓形、工字形等截面。對于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的脆性材料，由于ly，則要求y1y2，應(yīng)采用不對稱于中性軸的截面，如T形、槽形等截面。還應(yīng)注意脆性材料的y往往比l大得多，因此受壓邊緣離中性軸的距離y2應(yīng)較大。,等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩Mmax確定的，其他截面由于彎矩小，最大應(yīng)力都未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料未得到充分利用。為了充分發(fā)揮材料的潛力，在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處采用較小截面。這種橫截面沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁。若變截面梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于材料的許用應(yīng)力，稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的Wz(x)沿梁軸線變化的規(guī)律為Wz(x)=M(x)/,9.4.3采用變截面梁,從強(qiáng)度觀點看，等強(qiáng)度梁是最理想的，但因截面變化，這種梁的施工較困難。因此在工程上常采用形狀簡單的變截面梁，來代替理論上的等強(qiáng)度梁。例如，在房屋建筑中的陽臺及雨篷挑梁，如圖9.25所示，梁的截面高度是變化的，自由端較小，固定端較大。,圖9.25,9.5梁的主應(yīng)力,前面研究了梁在橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律及其計算，并建立了橫截面正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件：max，max但實際上梁還可能沿斜截面發(fā)生破壞。例如圖9.26所示的鋼筋混凝土梁，在荷載作用下，除了在跨中產(chǎn)生豎向裂縫外，支座附近會發(fā)生斜向裂縫。這說明在梁的斜截面上也存在著導(dǎo)致破壞的應(yīng)力。,圖9.26,當(dāng)研究梁內(nèi)任意一點A斜截面上的應(yīng)力時，圍繞點A取出一個邊長為dx的無限小的單元體abcd(圖9.27)。由于單元體的邊長為無窮小，可以認(rèn)為各平面上的應(yīng)力是均勻分布的，且平行面上的應(yīng)力是相同的。單元體兩橫截面ab、dc上的應(yīng)力和分別為=M/Iy，=QSz/Izb單元體上、下面ad、bc上的應(yīng)力可由剪應(yīng)力互等定律得到(圖9.27(b)。取任意斜截面ef，其外法線n與x軸的夾角為，規(guī)定由x軸轉(zhuǎn)到外法線n為逆時針轉(zhuǎn)向時，則為正。,9.5.1梁內(nèi)一點斜截面上的應(yīng)力,圖10.27,取ebf為研究對象(圖9.27(d)。若ef面的面積為dA，則eb面和bf面的面積分別為dAcos和dAsin(圖19.27(e)。取垂直和平行于斜截面的坐標(biāo)軸n和。列平衡方程Fn=0dA+(dAcos)sin-(dAcos)cos+(dAsin)cos=0即-cos2+2sincos=0,F=0dA-(dAcos)cos-(dAcos)sin+(dAsin)sin=0即-cossin-(cos2-sin2)=0將三角公式cos2=(1+cos2)/22sincos=sin2cos2-sin2=cos2,代入(a)、(b)兩式，簡化整理后得=/2+/2cos2-sin2=/2sin2+cos2運(yùn)用式(10.13)和式(10.14)可求得梁內(nèi)一點任意斜截面上的應(yīng)力和。,對式(10.13)取導(dǎo)數(shù)并令d/d=0得/2sin2+cos2=0剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面，主平面上的應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主平面的位置可由上式確定，即tan20=-2/求得最大主應(yīng)力1和最小主應(yīng)力3：,9.5.2梁的主應(yīng)力及最大剪應(yīng)力,表明最大剪應(yīng)力等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之差的一半。比較式(10.15)和式(10.17)可以看出tan21=-cot20=tan(20+90)可見剪應(yīng)力極值所在的平面與主平面的夾角為45。,【例10.10】求圖9.28(a)所示梁內(nèi)某點單元體的主應(yīng)力值及其所在的位置。【解】(1)計算主應(yīng)力值根據(jù)公式(10.16)，可得1=(-20+202)MPa=8.28MPa3=(-20-202)MPa=-48.28MPa(2)計算主平面的位置根據(jù)公式(10.15)，可得tan20=-2/=-210/-20=1由三角函數(shù)知20=45，0=22.5則0=0+90=22.5+90=112.5主應(yīng)力及其所在位置如圖9.28(b)所示。,圖9.28,由于應(yīng)力組合有各種可能，要采用試驗的方法建立強(qiáng)度條件是難以達(dá)到的。因此，這類問題應(yīng)根據(jù)材料在各種情況下的破壞現(xiàn)象，運(yùn)用判斷、推理的方法，提出一些假說，說明材料的破壞無論是單向應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，都是由同一個因素所引起。于是，可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。這種假說稱為強(qiáng)度理論。,9.5.3主應(yīng)力強(qiáng)度條件,最大剪應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)這一理論認(rèn)為：材料塑性破壞的主要因素是最大剪應(yīng)力。也就是說，無論是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)還是在單向應(yīng)力狀態(tài)下，只要材料危險點處的最大剪應(yīng)力達(dá)到軸向拉伸破壞時的最大剪應(yīng)力值，材料就發(fā)生塑性破壞。第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為,形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)這一理論認(rèn)為：形狀改變比能是引起材料塑性破壞的主要因素。經(jīng)過推演后，可得到第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為,【例9.10】用20a號工字鋼制成的簡支梁如圖9.29(a)所示。已知材料的許用應(yīng)力=150MPa，=95MPa。試對此梁進(jìn)行全面的強(qiáng)度校核?！窘狻?1)畫剪力圖和彎矩圖，確定危險截面畫出梁的剪力圖和彎矩圖，如圖10.29(b)、(c)所示。在截面C和D上不但彎矩最大，而且剪力也是最大，所以它們是危險截面。任選其中一個截面，例如截面C進(jìn)行強(qiáng)度校核。在截面C上的內(nèi)力為Mmax=