初二數學(二次根式和勾股定理).pdf

QZP初二數學 二次根式二次根式 一二次根式的意義及性質：一二次根式的意義及性質： 題組 1：形如（）的式子叫做二次根式。 注：注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：但必須注意：因為負數沒有平方根，所 以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 跟蹤練習： 1下列各式中一定是二次根式的是（ ） A 2 1x B25 C4 D1x 2下列各式中，是二次根式的有_。 （填序號） 7； 9； 2 a； 2 2x + +； 3 ； ()() 2 5 ； 2 21x； 2 21n + +； 21x + +； 3 9； 3下列各式中，是二次根式的有_。 （填序號） a； a ； 2 2a； 2 a ； 2 1a； 2 1a + +； 5 3 ； 4若01x） ） 1化簡：12=_； 24=_；18=_；28=_；32=_；40=_； 2化簡： 3 8a b=_； 23 16ab c=_；4y=_； 45 12a b c=_。 3化簡： 2 3 =_； 3 1 5 =_； 3 20 =_； 2 2 3 =_； 12 a =_； 題組 6： （最簡二次根式和同類二次根式） 1 1、最簡二次根式：最簡二次根式：必須同時滿足下列條件： 被開方數中不含開方開的盡的因數或因式不含開方開的盡的因數或因式； 被開方數中不含分母不含分母； 分母中不含根式不含根式 2 2、同類二次根式：同類二次根式： 二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式 1.把下列各式化成最簡二次根式： QZP初二數學 （1） 8 3 3 （2） 22 4041 （3） 2 25 5 m （4） 224 yxx + 2.下列各式中哪些是同類二次根式： （1）75， 27 1 ，12，2， 50 1 ，3， 10 1 ； （2）,5 33 cba 323 cba， 4 c ab ，a bc a 題組 7： （乘除法計算） 161520 2182075 3 81 513 54 273 427506 5 3 2 125 2 4 6 ()() 35 13 2 24 aaa 題組 8： （加減法） 1925aa+ + 28045 3 1 2 1263 48 3 + 4( )() 1 240.56 8 + + 5 ()() 189827+ 6 ()()()() 13 23227 24 + 題組 9： （混合運算） 1( )() 836+ 2( )() 4 23 62 2 3( )() 125 83+ 4 1 48627 4 + + 5( )() 2 483 276 6( )()()() 5352+ QZP初二數學 三、分母有理化有兩種方法 I. 分母是單項式 II.分母是多項式 要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 跟蹤練習： 1 已知： 13 2 =x，求1 2 + xx的值。 2.2.已知:x= 23 23 , 23 23 + = + y，求代數式 3x25xy+3y2的值。 3. 21 1 + 32 1 + 43 1 + 10099 1 + 四關于求二次根式的整數部分與小數部分的問題四關于求二次根式的整數部分與小數部分的問題 1.估算312 的值（ ） A在 1 和 2 之間 B在 2 和 3 之間 C在 3 和 4 之間 D在 4 和 5 之間 2若3的整數部分是 a，小數部分是 b，則=ba3 3.已知 9+13913與的小數部分分別是 a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值 4.若 a，b 為有理數，且8+18+ 8 1 =a+b2，則 b a = . 五二次根式的比較大小五二次根式的比較大小 （1）32200 5 1 和 （2）5566和 （3）13151517和（倒數法） QZP初二數學 勾股定理基礎知識點：勾股定理基礎知識點： 勾股定理 2勾股定理的逆定理 3勾股數 4勾股定理、逆定理的應用 勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算計算或直角三角形中線段之間的關 系的證明問題證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形 中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作 垂線） ，構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解 勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是 直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不 可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論 經典例題精講經典例題精講 題型一：直接考查勾股定理題型一：直接考查勾股定理 例.在ABC中，90C= 已知6AC =，8BC =求 AB 的長 已知17AB =，15AC =，求BC的長分析：直接應用勾股定理 222 abc+= 解： 22 10ABACBC=+= 22 8BCABAC= 題型二：利用勾股定理測量長度題型二：利用勾股定理測量長度 例題例題 1 1 如果梯子的底端離建筑物 9 米，那么 15 米長的梯子可以到達建 筑物的高度是多少米？ 解析：解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉化為數學模型后，. 已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！ 根據勾股定理 AC 2+BC2=AB2, 即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12. C BD A QZP初二數學 例題例題 2 2 如圖（8），水池中離岸邊 D 點 1.5 米的 C 處，直立長著一根蘆葦，出水部分 B C 的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B 恰好落到 D 點，并求水池的深度 AC. 解析：解析：同例題 1 一樣，先將實物模型轉化為數學模型，如圖 2. 由題意可知ACD 中, ACD=90,在 RtACD 中， 只知道 CD=1.5， 這是典型的利用勾股定理 “知二求一” 的類型。 標準解題步驟如下（僅供參考）： 解：解：如圖 2，根據勾股定理，AC 2+CD2=AD2 設水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5 x 2+1.52=（ x+0.5）2 解之得 x=2. 故水深為 2 米. 題型三題型三：勾股定理和逆定理并用勾股定理和逆定理并用 例題例題 3 3 如圖 4，正方形 ABCD 中，E 是 BC 邊上的中點，F 是 AB 上一點，且ABFB 4 1 = 那么DEF 是直角三角形嗎？為什么？ 解析：解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發(fā)現規(guī) 律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由ABFB 4 1 =可以設 AB=4a，那么 BE=C E=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAFD 、RtBEF 和 RtCDE 中，分別利用勾股定理 求出 DF,EF 和 DE 的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF 是否是直角三角 形。 QZP初二數學 注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。 題型四題型四：利用勾股定理求線段長度利用勾股定理求線段長度 例題例題 4 4 如圖 3，已知長方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在邊 CD 上取一點 E，將ADE 折 疊使點 D 恰好落在 BC 邊上的點 F，求 CE 的長. 解析：解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設元是關鍵。 題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直 例題例題 5 5 如圖 5，王師傅想要檢測桌子的表面 AD 邊是否垂直與 AB 邊和 CD 邊，他測得 AD =80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD 邊與 AB 邊垂直嗎？怎樣去驗證 AD 邊與 CD 邊是否垂直？ 解析：解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來 驗證。如圖 4，矩形 ABCD 表示桌面形狀，在 AB 上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想 為什么要設為這兩個長度？)，連結 MN，測量 MN 的長度。 果 MN=15,則 AM 2+AN2=MN2,所以 AD 邊與 AB 邊垂直； QZP初二數學 題型六：旋轉問題：題型六：旋轉問題： 例 1、 如圖， ABC 是直角三角形， BC 是斜邊， 將ABP 繞點 A 逆時針旋轉后， 能與ACP重合， 若 AP=3，求 PP的長。 變式 1：如圖，P 是等邊三角形 ABC 內一點，PA=2,PB=2 3,PC=4,求ABC 的邊長. 分析：利用旋轉變換，將BPA繞點B逆時針選擇60，將三條線段集中到同一個三角形中， 根據它們的數量關系，由勾股定理可知這是一個直角三角形. 變式2、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的點，且EAF=45， 試探究 222 BECFEF、間的關系，并說明理由. QZP初二數學 選擇題 1已知一個 Rt的兩邊長分別為 3 和 4，則第三邊長的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角邊的長為 11，另兩邊為自然數，則 Rt的周長為（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能確定 3如果 Rt兩直角邊的比為 512，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ） A、6013 B、512 C、1213 D、60169 4已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，則 RtABC 的面積是（ ） A、24cm 2 B、36cm 2 C、48cm 2 D、60cm 2 5等腰三角形底邊上的高為 8，周長為 32，則三角形的面積為（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 6某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米 售價 a 元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元 7已知，如圖長方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點 B 與點 D 重合，折痕為 EF，則ABE 的