2018年高中數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.3復數(shù)的幾何意義學案蘇教版.docx

3.3 復數(shù)的幾何意義問題1：平面向量可以用坐標表示，試想復數(shù)能用坐標表示嗎？提示：可以問題2：試說明理由提示：因復數(shù)zabi(a，bR)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)惟一確定，由(a，b)與平面直角坐標系點一一對應，從而復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間一一對應建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).已知復數(shù)zabi(a，bR)問題1：在復平面內(nèi)作出復數(shù)z所對應的點Z.提示：如圖所示問題2：向量和點Z有何關系？提示：有一一對應關系問題3：復數(shù)zabi與有何關系？提示：也是一一對應1復數(shù)與點，向量間的對應關系2復數(shù)的模復數(shù)zabi(a，bR)對應的向量為，則的模叫做復數(shù)z的模(或絕對值)，記作|z|，且|z|abi|.如圖、分別與復數(shù)abi，cdi對應問題1：試寫出、及、的坐標提示：(a，b)，(c，d)，(ac，bd)，(ac，bd)問題2：向量及所對應的復數(shù)分別是什么？提示：(ac)(bd)i及(ac)(bd)i.1復數(shù)加法的幾何意義設向量，分別與復數(shù)z1abi，z2cdi對應，且和不共線如圖，以，為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2，則其對角線OZ所表示的向量就是復數(shù)(ac)(bd)i對應的向量2復數(shù)減法的幾何意義復數(shù)的減法是加法的逆運算，設，分別與復數(shù)abi，cdi相對應，且，不共線，如圖則這兩個復數(shù)的差z1z2與向量 (等于)對應，這就是復數(shù)減法的幾何意義3設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則|z1z2|，即兩個復數(shù)的差的模就是復平面內(nèi)與這兩個復數(shù)對應的兩點間的距離1復平面上點的橫坐標表示復數(shù)的實部，點的縱坐標表示復數(shù)的虛部2表示實數(shù)的點都在實軸上，實軸上的點都表示實數(shù)，它們是一一對應的；表示純虛數(shù)的點都在虛軸上，但虛軸上的點不都表示純虛數(shù)，如原點表示實數(shù)0.3在平面向量中，向量的加法、減法的幾何解釋同復數(shù)加法、減法的幾何解釋是相同的例1實數(shù)x分別取什么值時，復數(shù)zx2x6(x22x15)i對應的點Z在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直線xy30上？思路點撥利用復數(shù)與復平面內(nèi)點之間的對應關系求解若已知復數(shù)zabi(a，bR)，則當a0且b0且b0時，復數(shù)z對應的點在第四象限；當ab30時，復數(shù)z對應的點在直線xy30上精解詳析因為x是實數(shù)，所以x2x6，x22x15也是實數(shù)若已知復數(shù)zabi，則當a0，且b0時，復數(shù)z對應的點在第三象限；當a0，且b0時，復數(shù)z對應的點在第四象限；當ab30時，復數(shù)z對應的點在直線xy30上(1)當實數(shù)x滿足即3x2時，點Z在第三象限(2)當實數(shù)x滿足即2x5時，點Z在第四象限(3)當實數(shù)x滿足(x2x6)(x22x15)30，即x2時，點Z在直線xy30上一點通按照復數(shù)集和復平面內(nèi)所有的點組成的集合之間的一一對應關系，每一個復數(shù)都對應著一個有序?qū)崝?shù)對，只要在復平面內(nèi)找出這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點，就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)的實部、虛部的取值1(湖北高考改編)在復平面內(nèi)，復數(shù) z(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應點位于第_象限解析：zi1的共軛復數(shù)為1i，對應的點為(1，1)在第四象限答案：四2求當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z(m28m15)(m23m28)i 在復平面內(nèi)的對應點分別滿足下列條件：(1)位于第四象限；(2)位于x軸的負半軸上解：(1)由題意，知解得即7m3.故當7m3時，復數(shù)z的對應點位于第四象限(2)由題意，知由得m7或m4.因m7不適合不等式，m4適合不等式，所以m4.故當m4時，復數(shù)z的對應點位于x軸的負半軸上例2已知復數(shù)z1i及z2i.(1)求|z1|及|z2|的值并比較它們的大?。?2)設zC，滿足|z2|z|z1|的點z的集合是什么圖形思路點撥由復數(shù)的模長公式求出|z1|及|z2|，然后比較大??；(2)根據(jù)點數(shù)模的幾何意義畫出圖形精解詳析(1)|z1|i|2，|z2| 1，所以|z1|z2|.(2)由(1)知1|z|2，因為不等式|z|1的解集是圓|z|1上和該圓外部所有點組成的集合，不等式|z|2的解集是圓|z|2上和該圓內(nèi)部所有點組成的集合，所以滿足條件1|z|2的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界，如圖所示一點通(1)計算復數(shù)的模時，應先找出復數(shù)的實部和虛部，然后再利用模的公式進行計算，兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小(2)復數(shù)的模表示該復數(shù)在復平面內(nèi)對應點到原點的距離3(遼寧高考改編)復數(shù)z的模為_解析：zi，|z| .答案：4已知z3ai，且|z2|2，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：z3ai，z21ai，|z2|2，即1a24，a23，即a.答案：(，)5設zC，則滿足條件|z|34i|的復數(shù)z在復平面上對應的點Z的集合是什么圖形？解：法一：由|z|34i|得|z|5.這表明向量的長度等于5，即點Z到原點的距離等于5.因此滿足條件的點Z的集合是以原點O為圓心，以5為半徑的圓法二：設zxyi(x，yR)，則|z|2x2y2.|34i|5，由|z|34i|得x2y225，點Z的集合是以原點為圓心，以5為半徑的C圓.例3已知OABC的三個頂點O，A，C對應的復數(shù)分別為0,32i，24i，試求：(1) 表示的復數(shù)；(2) 表示的復數(shù)；(3)點B對應的復數(shù)思路點撥精解詳析(1)，故表示的復數(shù)為(32i)，即32i.(2)，故表示的復數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)，故表示的復數(shù)為(32i)(24i)16i，即點B對應的復數(shù)為16i.一點通(1)根據(jù)復數(shù)的兩種幾何意義可知：復數(shù)的加、減運算可以轉(zhuǎn)化為點的坐標運算或向量運算(2)復數(shù)的加、減運算用向量進行時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則(3)復數(shù)及其加、減運算的幾何意義為數(shù)形結(jié)合思想在復數(shù)中的應用提供了可能6已知復數(shù)z12i，z212i在復平面內(nèi)對應的點分別為A、B，求AB對應的復數(shù)z，z在平面內(nèi)對應的點在第幾象限？解：zz2z1(12i)(2i)1i，z的實部10，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限內(nèi)7在復平面內(nèi)，點A、B、C分別對應復數(shù)z11i，z25i，z333i.以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，求D點對應的復數(shù)z4及AD的長解：如圖，由復數(shù)加減法的幾何意義，即z4z1(z2z1)(z3z1)所以z4z2z3z173i.|AD|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.1復數(shù)模的幾何意義復數(shù)模的幾何意義架起了復數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復數(shù)問題的途徑(1)復數(shù)zabi(a，bR)的對應點的坐標為(a，b)，而不是(a，bi)；(2)復數(shù)zabi(a，bR)的對應向量OZ是以原點O為起點的，否則就談不上一一對應，因為復平面上與OZ相等的向量有無數(shù)個2復數(shù)的模(1)復數(shù)zabi(a，bR)的模|z|；(2)從幾何意義上理解，表示點Z和原點間的距離，類比向量的?？蛇M一步引申：|z1z2|表示點Z1和點Z2之間的距離一、填空題1若、對應的復數(shù)分別是7i,32i，則|_.解析：(7,1)，(3，2)，(4，3)，|5.答案：52(重慶高考改編)復平面內(nèi)表示復數(shù)i(12i)的點位于第_象限解析：i(12i)2i對應的點為(2，1)，位于第一象限答案：一3若z|z|28i，則z_解析：法一：設zabi(a，bR)，則|z|，代入方程得abi28i.所以解得所以z158i.法二：原式可化為z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的實部于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i，得z158i.答案：158i4已知z12i，z23ai(aR)，若z1z2所對應的點在實軸上，則a_解析：z1z22i3ai5(a1)i，由z1z2所對應的點在實軸上可知a10，即a1.答案：15(新課標全國卷改編)設zi，則|z|_解析：iiii，則|z| .答案：二、解答題6若復數(shù)z(m2m2)(4m28m3)i(mR)的共軛復數(shù)z對應的點在第一象限，求實數(shù)m的集合解：由題意得z(m2m2)(4m28m3)i，z對應的點位于第一象限，所以有所以所以即1m，故所求m的集合為.7在復平面內(nèi)A，B，C三點對應的復數(shù)分別為1,2i，12i.(1)求，對應的復數(shù)；(2)判斷ABC的形狀；(3)求ABC的面積解：(1)對應的復數(shù)為zBzA(2i)11i.對應的復數(shù)為zCzB(12i)(2i)3i.對應的復數(shù)