立體幾何幾個經典題型(理科)(推薦).doc

教學設計方案XueDa PPTS Learning Center立體幾何1、如圖，在四棱錐中，平面，平分，為的中點，（1）證明：平面（2）證明：平面（3）求直線與平面所成角的正切值2、（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點， （I）設是的中點，證明：平面； （II）證明：在內存在一點，使平面，并求點到，的距離3、如圖，在五面體ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 求平面AMD與平面CDE所成角的大?。唬↖II）求二面角A-CD-E的余弦值。 4.如圖，在正三棱柱（底面是正三角形，側棱垂直底面）中，D是的中點，點E在上，且。（I） 證明平面平面（II） 求直線和平面所成角的正弦值。 BECADP5在四棱錐PABCD中， 底面ABCD為矩形，側棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E為PD的中點(1) 在側面PAB內找一點N，使NE面PAC，并求出N點到AB和AP的距離； (2) 求(1) 中的點N到平面PAC的距離 6、如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結論。7、如圖所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達式；（2）當為何值時，取得最大值？（3）當取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值8、 如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點。 （）求證：； （）若SD平面PAC，求二面角的大小；（）在（）的條件下，側棱SC上是否存在一點E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。答案：立體幾何與空間向量解答題(理科)1、【解】 證明：設，連結EH，在中，因為AD=CD，且DB平分，所以H為AC的中點，又有題設，E為PC的中點，故,又,所以.（2）證明：因為，所以由（1）知，,故(3)解：由可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以為直線與平面PBD所成的角。由,在中，,所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為。2、證明：（I）如圖，連結OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系O，. 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內，因此有平面（II）設點M的坐標為，則，因為平面BOE，所以有，因此有，即點M的坐標為，在平面直角坐標系中，的內部區(qū)域滿足不等式組，經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在內存在一點，使平面，由點M的坐標得點到，的距離為3、分析：本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力?！窘狻糠椒ㄒ唬海ǎ┙猓河深}設知，BF/CE，所以CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角。設P為AD的中點，連結EP，PC。因為FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD設FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60。 （II）因為故平面AMD與平面CDE所成角的大小為.（III）由（I）可得， 方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，點為坐標原點。設依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設，平面的一個法向量為 【點評】純幾何方法求角：求角的思路一般是將空間角的計算問題轉化為平面角的計算問題，求異面直線所成的角時，需要選點平移，一般是設法在其中一條直線 上選出一個恰當的點來平移另一條直線，然后計算其中的銳角或直角；線面角的計算關鍵是找出直線在平面上的射影，通常需要由直線上的某一點向平面作垂線，求出的應當是一個銳角或直角；面面角的計算通常找到平面角或面積射影定理來完成，找平面角的方法有定義法、三垂線定理法(利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。)、垂面法，計算出來的角是可以是銳角、直角或鈍角.向量法求角給解題帶來了極大的方便，其規(guī)律見后面的【溫馨提示】。4、【解】（I） 如圖所示，由正三棱柱的性質知平面，又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法2 如圖所示，設O使AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，不妨設A A=，則AB=2，相關各點的坐標分別是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 設平面ABC的法向量為,則有,解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。【點評】本題主要考查面與面之間的關系和線面關系，同時考查空間想象能力和推理運算能力。本題著眼于讓學生掌握通性通法幾何法在書寫上體現：“作出來、證出來、指出來、算出來、答出來”五步斜線和平面所成的角是一個直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，用公式計算=直線，P面，是與平面所成的角，是平面的法向量，有）6、【解】(1) 建立空間直角坐標系ABDP，則A、B、C、D、P、E的坐標分別是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依題設N(x, 0, z)，則(x, , 1z)，由于NE平面PAC， 即，即點N的坐標為(, 0, 1)，從而N到AB、AP的距離分別為1，.(2) 設N到平面的距離為，是平面的法向量，則d.例9如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結論?！痉治觥勘拘☆}主要考查線面關系、直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決數學問題的能力。9、【解】法1：（）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為PC平面，平面平面APCOG,故OGPC，所以，OGPC.又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角.在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，當m時，直線AP與平面所成的角的正切值為.（）可以推測，點Q應當是AICI的中點O1，因為D1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根據三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。例10如圖所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達式；（2）當為何值時，取得最大值？（3）當取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值10、【解】（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，（）；（2），所以時， ，V(x)單調遞增；時 ，V(x)單調遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值；（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為；【點評】本題采用了函數思想在立體幾何中的應用。例11 如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點。 （）求證：； （）若SD平面PAC，求二面角的大??；（）在（）的條件下，側棱SC上是否存在一點E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。11、【解】法一： （）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，所以,得. ()設正方形邊長，則。又，所以, 連，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。 （）在棱SC上存在一點E，使由（）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖。 設底面邊長為，則高。于是 ， 故，從而 ()